Për ta thënë thjesht dhe shkurt, qëllimi është vlerat që mund të marrë çdo funksion. Për të eksploruar plotësisht këtë temë, duhet të çmontoni gradualisht pikat dhe konceptet e mëposhtme. Së pari, le të kuptojmë përkufizimin e funksionit dhe historinë e paraqitjes së tij.
Çfarë është një funksion
Të gjitha shkencat ekzakte na ofrojnë shumë shembuj ku variablat në fjalë varen në një farë mënyre nga njëri-tjetri. Për shembull, dendësia e një lënde përcaktohet plotësisht nga masa dhe vëllimi i saj. Presioni i një gazi ideal në vëllim konstant ndryshon me temperaturën. Këta shembuj bashkohen nga fakti se të gjitha formulat kanë varësi ndërmjet ndryshoreve, të cilat quhen funksionale.
Një funksion është një koncept që shpreh varësinë e një sasie nga një tjetër. Ka formën y=f(x), ku y është vlera e funksionit, e cila varet nga x - argumenti. Kështu, mund të themi se y është një ndryshore e varur nga vlera e x. Vlerat që x mund të marrë së bashku janëdomeni i funksionit të dhënë (D(y) ose D(f)), dhe në përputhje me rrethanat, vlerat e y përbëjnë grupin e vlerave të funksionit (E(f) ose E(y)). Ka raste kur një funksion jepet me ndonjë formulë. Në këtë rast, fusha e përkufizimit përbëhet nga vlera e ndryshoreve të tilla, në të cilat shënimi me formulën ka kuptim.
Ka veçori që përputhen ose të barabarta. Këto janë dy funksione që kanë vargje të barabarta vlerash të vlefshme, si dhe vlerat e vetë funksionit janë të barabarta për të gjitha të njëjtat argumente.
Shumë ligje të shkencave ekzakte emërtohen në mënyrë të ngjashme me situatat në jetën reale. Ekziston një fakt kaq interesant edhe për funksionin matematik. Ekziston një teoremë për kufirin e një funksioni "të vendosur" midis dy të tjerëve që kanë të njëjtin kufi - rreth dy policë. Ata e shpjegojnë këtë në këtë mënyrë: duke qenë se dy policë po çojnë një të burgosur në një qeli mes tyre, krimineli detyrohet të shkojë atje dhe ai thjesht nuk ka zgjidhje.
Referencë e veçorive historike
Koncepti i një funksioni nuk u bë menjëherë përfundimtar dhe i saktë, ai ka kaluar një rrugë të gjatë për t'u bërë. Së pari, Prezantimi dhe Studimi i Fermatit për vendet e rrafshët dhe të ngurtë, botuar në fund të shekullit të 17-të, deklaroi si vijon:
Sa herë që ka dy të panjohura në ekuacionin përfundimtar, ka vend.
Në përgjithësi, kjo vepër flet për varësinë funksionale dhe imazhin e saj material (vend=vijë).
Gjithashtu, afërsisht në të njëjtën kohë, Rene Descartes studioi linjat me ekuacionet e tyre në veprën e tij "Geometria" (1637), ku përsëri faktivarësia e dy sasive nga njëra-tjetra.
Vetë përmendja e termit "funksion" u shfaq vetëm në fund të shekullit të 17-të me Leibniz, por jo në interpretimin e tij modern. Në punën e tij shkencore, ai konsideroi se një funksion është segmente të ndryshme të lidhura me një vijë të lakuar.
Por tashmë në shekullin e 18-të, funksioni filloi të përcaktohej më saktë. Bernoulli shkroi sa vijon:
Një funksion është një vlerë e përbërë nga një ndryshore dhe një konstante.
Mendimet e Euler ishin gjithashtu afër kësaj:
Një funksion i sasisë së ndryshueshme është një shprehje analitike e përbërë në një farë mënyre nga kjo sasi e ndryshueshme dhe numra ose sasi konstante.
Kur disa sasi varen nga të tjerat në atë mënyrë që kur këto të fundit ndryshojnë, ato vetë ndryshojnë, atëherë të parat quhen funksione të kësaj të fundit.
Grafiku i funksionit
Grafiku i funksionit përbëhet nga të gjitha pikat që i përkasin boshteve të planit koordinativ, abshisat e të cilave marrin vlerat e argumentit dhe vlerat e funksionit në këto pika janë ordinata.
Shpërndarja e një funksioni lidhet drejtpërdrejt me grafikun e tij, sepse nëse ndonjë abshisa përjashtohet nga diapazoni i vlerave të vlefshme, atëherë duhet të vizatoni pika boshe në grafik ose të vizatoni grafikun brenda kufijve të caktuar. Për shembull, nëse merret një grafik i formës y=tgx, atëherë vlera x=pi / 2 + pin, n∉R përjashtohet nga zona e përkufizimit, në rastin e një grafiku tangjent, duhet të vizatonivijat vertikale paralele me boshtin y (ato quhen asimptota) që kalojnë nëpër pikat ±pi/2.
Çdo studim i plotë dhe i kujdesshëm i funksioneve përbën një degë të madhe të matematikës të quajtur kalkulus. Në matematikën elementare, pyetjet elementare rreth funksioneve preken gjithashtu, për shembull, ndërtimi i një grafiku të thjeshtë dhe vendosja e disa vetive themelore të një funksioni.
Çfarë funksioni mund të vendoset në
Funksioni mund:
- të jetë një formulë, për shembull: y=cos x;
- vendosur nga çdo tabelë çiftesh të formës (x; y);
- menjëherë keni një pamje grafike, për këtë çiftet nga artikulli i mëparshëm i formës (x; y) duhet të shfaqen në boshtet e koordinatave.
Kini kujdes kur zgjidhni disa probleme të nivelit të lartë, pothuajse çdo shprehje mund të konsiderohet si funksion në lidhje me ndonjë argument për vlerën e funksionit y (x). Gjetja e fushës së përkufizimit në detyra të tilla mund të jetë çelësi i zgjidhjes.
Për çfarë është qëllimi?
Gjëja e parë që duhet të dini rreth një funksioni për ta studiuar ose ndërtuar atë është fushëveprimi i tij. Grafiku duhet të përmbajë vetëm ato pika ku funksioni mund të ekzistojë. Domeni i përkufizimit (x) mund të referohet gjithashtu si domeni i vlerave të pranueshme (shkurtuar si ODZ).
Për të ndërtuar saktë dhe shpejt një grafik funksionesh, duhet të dini domenin e këtij funksioni, sepse pamja e grafikut dhe besnikëria varen prej tij.ndërtimi. Për shembull, për të ndërtuar një funksion y=√x, duhet të dini se x mund të marrë vetëm vlera pozitive. Prandaj, ai ndërtohet vetëm në kuadrantin e parë koordinativ.
Fusha e përkufizimit në shembullin e funksioneve elementare
Në arsenalin e saj, matematika ka një numër të vogël funksionesh të thjeshta e të përcaktuara. Ata kanë një shtrirje të kufizuar. Zgjidhja e kësaj çështjeje nuk do të shkaktojë vështirësi edhe nëse keni para jush një të ashtuquajtur funksion kompleks. Është vetëm një kombinim i disa të thjeshtave.
- Pra, funksioni mund të jetë i pjesshëm, për shembull: f(x)=1/x. Kështu, ndryshorja (argumenti ynë) është në emërues, dhe të gjithë e dinë se emëruesi i një thyese nuk mund të jetë i barabartë me 0, prandaj, argumenti mund të marrë çdo vlerë përveç 0. Shënimi do të duket kështu: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Nëse ka ndonjë shprehje me një ndryshore në emërues, atëherë duhet të zgjidhni ekuacionin për x dhe të përjashtoni vlerat që e kthejnë emëruesin në 0. Për një paraqitje skematike, mjaftojnë 5 pika të zgjedhura mirë. Grafiku i këtij funksioni do të jetë një hiperbolë me një asimptotë vertikale që kalon nëpër pikën (0; 0) dhe, në kombinim, boshtet Ox dhe Oy. Nëse imazhi grafik kryqëzohet me asimptotat, atëherë një gabim i tillë do të konsiderohet më i madhi.
- Por cili është domeni i rrënjës? Fusha e një funksioni me një shprehje radikale (f(x)=√(2x + 5)), që përmban një ndryshore, gjithashtu ka nuancat e veta (zbatohet vetëm për rrënjën e një shkalle çift). Sirrënja aritmetike është një shprehje pozitive ose e barabartë me 0, atëherë shprehja e rrënjës duhet të jetë më e madhe ose e barabartë me 0, zgjidhim pabarazinë e mëposhtme: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, pra, domeni i kësaj funksioni: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafiku është një nga degët e një parabole, e rrotulluar me 90 gradë, e vendosur në kuadrantin e parë koordinativ.
- Nëse kemi të bëjmë me një funksion logaritmik, atëherë duhet të mbani mend se ka një kufizim në lidhje me bazën e logaritmit dhe shprehjen nën shenjën e logaritmit, në këtë rast domenin e përkufizimit mund ta gjeni si vijon. Kemi një funksion: y=loga(x + 7), zgjidhim pabarazinë: x + 7 > 0, x > -7. Atëherë domeni i këtij funksioni është D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Gjithashtu kushtojini vëmendje funksioneve trigonometrike të formës y=tgx dhe y=ctgx, pasi y=tgx=sinx/cos/x dhe y=ctgx=cosx/sinx, prandaj, duhet të përjashtoni vlerat në të cilin emëruesi mund të jetë i barabartë me zero. Nëse jeni të njohur me grafikët e funksioneve trigonometrike, të kuptuarit e fushës së tyre është një detyrë e thjeshtë.
Si është e ndryshme të punosh me funksione komplekse
Mos harroni disa rregulla bazë. Nëse po punojmë me një funksion kompleks, atëherë nuk ka nevojë të zgjidhim diçka, të thjeshtojmë, shtojmë thyesa, reduktojmë në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe nxjerrim rrënjë. Ne duhet ta hetojmë këtë funksion sepse operacione të ndryshme (madje edhe identike) mund të ndryshojnë shtrirjen e funksionit, duke rezultuar në një përgjigje të pasaktë.
Për shembull, ne kemi një funksion kompleks: y=(x2 - 4)/(x - 2). Ne nuk mund të zvogëlojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës, pasi kjo është e mundur vetëm nëse x ≠ 2, dhe kjo është detyra e gjetjes së domenit të funksionit, kështu që ne nuk e faktorizojmë numëruesin dhe nuk zgjidhim asnjë pabarazi, sepse vlera në të cilën funksioni nuk ekziston, e dukshme me sy të lirë. Në këtë rast, x nuk mund të marrë vlerën 2, pasi emëruesi nuk mund të shkojë në 0, shënimi do të duket kështu: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
funksionet reciproke
Për fillestarët, ia vlen të thuhet se një funksion mund të bëhet i kthyeshëm vetëm në një interval rritjeje ose uljeje. Për të gjetur funksionin e anasjelltë, duhet të ndërroni x dhe y në shënim dhe të zgjidhni ekuacionin për x. Domenet e përkufizimit dhe domenet e vlerës janë thjesht të kundërta.
Kushti kryesor për kthyeshmërinë është një interval monoton i një funksioni, nëse një funksion ka intervale rritjeje dhe zvogëlimi, atëherë është e mundur të kompozohet funksioni i anasjelltë i çdo intervali të vetëm (në rritje ose në ulje).
Për shembull, për funksionin eksponencial y=exreciproku është funksioni logaritmik natyror y=logea=lna. Për trigonometrinë, këto do të jenë funksione me parashtesën arc-: y=sinx dhe y=arcsinx e kështu me radhë. Grafikët do të vendosen në mënyrë simetrike në lidhje me disa boshte ose asimptota.
Përfundime
Kërkimi për gamën e vlerave të pranueshme zbret në ekzaminimin e grafikut të funksioneve (nëse ka një të tillë),regjistrimin dhe zgjidhjen e sistemit të nevojshëm specifik të pabarazive.
Pra, ky artikull ju ndihmoi të kuptoni se për çfarë është qëllimi i një funksioni dhe si ta gjeni atë. Shpresojmë se do t'ju ndihmojë të kuptoni mirë kursin e shkollës bazë.
