Shfaqja e konceptit të integralit erdhi për shkak të nevojës për të gjetur funksionin antiderivativ nga derivati i tij, si dhe për të përcaktuar sasinë e punës, sipërfaqen e figurave komplekse, distancën e përshkuar, me parametrat e përvijuar nga kthesat e përshkruara nga formula jolineare.
Nga kursi
dhe fizika e di se puna është e barabartë me produktin e forcës dhe distancës. Nëse e gjithë lëvizja ndodh me një shpejtësi konstante ose distanca tejkalohet me aplikimin e së njëjtës forcë, atëherë gjithçka është e qartë, thjesht duhet t'i shumëzoni ato. Çfarë është një integral i një konstante? Ky është një funksion linear i formës y=kx+c.
Por forca gjatë punës mund të ndryshojë, dhe në një lloj varësie natyrore. E njëjta situatë ndodh me llogaritjen e distancës së përshkuar nëse shpejtësia nuk është konstante.
Pra, është e qartë se për çfarë shërben integrali. Përkufizimi i tij si shuma e produkteve të vlerave të funksionit me një rritje infiniteminale të argumentit përshkruan plotësisht kuptimin kryesor të këtij koncepti si zona e një figure të kufizuar nga lart nga vija e funksionit, dhe në skajet nga kufijtë e përkufizimit.
Jean Gaston Darboux, matematikan francez, në gjysmën e dytë të shekullit XIXshekulli shpjegoi shumë qartë se çfarë është një integral. Ai e bëri të qartë se në përgjithësi nuk do të ishte e vështirë edhe për një nxënës të shkollës së mesme të kuptonte këtë çështje.
Le të themi se ekziston një funksion i çdo forme komplekse. Boshti y, mbi të cilin vizatohen vlerat e argumentit, ndahet në intervale të vogla, në mënyrë ideale ato janë pafundësisht të vogla, por duke qenë se koncepti i pafundësisë është mjaft abstrakt, mjafton të imagjinojmë vetëm segmente të vogla, vlerën e cila zakonisht shënohet me shkronjën greke Δ (delta).
Funksioni doli të ishte "i prerë" në tulla të vogla.
Çdo vlerë argumenti korrespondon me një pikë në boshtin y, në të cilën janë paraqitur vlerat përkatëse të funksionit. Por duke qenë se zona e zgjedhur ka dy kufij, do të ketë edhe dy vlera të funksionit, më shumë e më pak.
Shuma e produkteve me vlera më të mëdha me shtimin Δ quhet shuma e madhe Darboux dhe shënohet si S. Prandaj, vlerat më të vogla në një zonë të kufizuar, shumëzuar me Δ, të gjitha së bashku formojnë një shumë të vogël Darboux s. Vetë seksioni i ngjan një trapezi drejtkëndor, pasi lakimi i vijës së funksionit me rritjen e tij infiniteminale mund të neglizhohet. Mënyra më e lehtë për të gjetur sipërfaqen e një figure të tillë gjeometrike është të shtoni produktet e vlerës më të madhe dhe më të vogël të funksionit me rritjen Δ dhe të ndani me dy, domethënë ta përcaktoni atë si mesatare aritmetike.
Ky është integrali Darboux:
s=Σf(x) Δ është një sasi e vogël;
S=Σf(x+Δ)Δ është një shumë e madhe.
Pra, çfarë është një integral? Zona e kufizuar nga linja e funksionit dhe kufijtë e përkufizimit do të jenë:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Dmth, mesatarja aritmetike e shumave të mëdha dhe të vogla Darboux.c është një vlerë konstante që vendoset në zero gjatë diferencimit.
Bazuar në shprehjen gjeometrike të këtij koncepti, kuptimi fizik i integralit bëhet i qartë. Zona e figurës, e përshkruar nga funksioni i shpejtësisë dhe e kufizuar nga intervali kohor përgjatë boshtit të abshisës, do të jetë gjatësia e shtegut të përshkuar.
L=∫f(x)dx në intervalin nga t1 në t2, Ku
f(x) – funksioni i shpejtësisë, domethënë formula me të cilën ndryshon me kalimin e kohës;
L – gjatësia e rrugës;
t1 – ora e fillimit;
t2 – koha e përfundimit të udhëtimit.
Pikërisht sipas të njëjtit parim, sasia e punës përcaktohet, vetëm distanca do të vizatohet përgjatë abshisës dhe sasia e forcës së aplikuar në çdo pikë të caktuar do të vihet në grafik përgjatë ordinatës.
