Piramida trekëndore dhe formula për përcaktimin e sipërfaqes së saj

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Piramida është një figurë gjeometrike hapësinore, karakteristikat e së cilës studiohen në shkollën e mesme në kursin e gjeometrisë së ngurtë. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë një piramidë trekëndore, llojet e saj, si dhe formulat për llogaritjen e sipërfaqes së saj.

Për cilën piramidë po flasim?

Një piramidë trekëndore është një figurë që mund të merret duke lidhur të gjitha kulmet e një trekëndëshi arbitrar me një pikë të vetme që nuk shtrihet në rrafshin e këtij trekëndëshi. Sipas këtij përkufizimi, piramida në shqyrtim duhet të përbëhet nga një trekëndësh fillestar, i cili quhet baza e figurës, dhe tre trekëndësha anësor që kanë një anë të përbashkët me bazën dhe janë të lidhur me njëri-tjetrin në një pikë. Kjo e fundit quhet maja e piramidës.

Figura e mësipërme tregon një piramidë arbitrare trekëndore.

Figura në shqyrtim mund të jetë e zhdrejtë ose e drejtë. Në rastin e fundit, pingulja e rënë nga maja e piramidës në bazën e saj duhet ta presë atë në qendrën gjeometrike. qendra gjeometrike e çdotrekëndëshi është pika e kryqëzimit të ndërmjetësve të tij. Qendra gjeometrike përkon me qendrën e masës së figurës në fizikë.

Nëse një trekëndësh i rregullt (barabrinjës) shtrihet në bazën e një piramide të drejtë, atëherë ai quhet trekëndësh i rregullt. Në një piramidë të rregullt, të gjitha brinjët janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe janë trekëndësha barabrinjës.

Nëse lartësia e një piramide të rregullt është e tillë që trekëndëshat anësorë të saj bëhen barabrinjës, atëherë ajo quhet katërkëndësh. Në një katërkëndor, të katër fytyrat janë të barabarta me njëra-tjetrën, kështu që secila prej tyre mund të konsiderohet një bazë.

Elementet piramidale

Këta elementë përfshijnë fytyrat ose anët e një figure, skajet, kulmet, lartësinë dhe apotemat e saj.

Siç tregohet, të gjitha anët e një piramide trekëndore janë trekëndësha. Numri i tyre është 4 (3 anë dhe një në bazë).

Kulmet janë pikat e kryqëzimit të tre brinjëve trekëndore. Nuk është e vështirë të merret me mend se për piramidën në shqyrtim janë 4 prej tyre (3 i përkasin bazës dhe 1 majës së piramidës).

Skajet mund të përkufizohen si vija që kryqëzojnë dy anët trekëndore, ose si vija që lidhin çdo dy kulme. Numri i skajeve korrespondon me dyfishin e numrit të kulmeve bazë, domethënë, për një piramidë trekëndore është 6 (3 skajet i përkasin bazës dhe 3 skajet formohen nga faqet anësore).

Lartësia, siç u përmend më lart, është gjatësia e pingulit të tërhequr nga maja e piramidës në bazën e saj. Nëse tërheqim lartësi nga kjo kulm në secilën anë të bazës trekëndore,atëherë ato do të quhen apoteme (ose apotema). Kështu, piramida trekëndore ka një lartësi dhe tre apotema. Këto të fundit janë të barabarta me njëra-tjetrën për një piramidë të rregullt.

Baza e piramidës dhe zona e saj

Meqenëse baza për figurën në shqyrtim është përgjithësisht një trekëndësh, për të llogaritur sipërfaqen e tij mjafton të gjesh lartësinë e saj h_o dhe gjatësinë e brinjës së bazës a, mbi të cilën është ulur. Formula për zonën S_o të bazës është:

S_o=1/2h_oa

Nëse trekëndëshi i bazës është barabrinjës, atëherë sipërfaqja e bazës së piramidës trekëndore llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

S_o=√3/4a²

Dmth, zona S_oështë përcaktuar në mënyrë unike nga gjatësia e anës a të bazës trekëndore.

Ana dhe sipërfaqja totale e figurës

Para se të shqyrtojmë sipërfaqen e një piramide trekëndore, është e dobishme të tregojmë zhvillimin e saj. Ajo është fotografuar më poshtë.

Sipërfaqja e kësaj fshirjeje e formuar nga katër trekëndësha është sipërfaqja e përgjithshme e piramidës. Një nga trekëndëshat korrespondon me bazën, formula për vlerën e konsideruar të së cilës është shkruar më lart. Tre fytyra anësore trekëndore së bashku formojnë zonën anësore të figurës. Prandaj, për të përcaktuar këtë vlerë, mjafton të aplikoni formulën e mësipërme për një trekëndësh arbitrar në secilin prej tyre dhe më pas të shtoni tre rezultatet.

Nëse piramida është e saktë, atëherë llogaritjasipërfaqja anësore është e lehtësuar, pasi të gjitha faqet anësore janë trekëndësha identikë barabrinjës. Shënoni h_bgjatësinë e apotemës, atëherë sipërfaqja e sipërfaqes anësore S_b mund të përcaktohet si më poshtë:

S_b=3/2ah_b

Kjo formulë rrjedh nga shprehja e përgjithshme për sipërfaqen e një trekëndëshi. Numri 3 u shfaq në numërues për faktin se piramida ka tre faqe anësore.

Apotema h_b në një piramidë të rregullt mund të llogaritet nëse dihet lartësia e figurës h. Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, marrim:

h_b=√(h²+ a²/12)

Natyrisht, sipërfaqja totale S e sipërfaqes së figurës është e barabartë me shumën e sipërfaqeve anësore dhe bazës së saj:

S=S_o+ S_b

Për një piramidë të rregullt, duke zëvendësuar të gjitha vlerat e njohura, marrim formulën:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Sipërfaqja e një piramide trekëndore varet vetëm nga gjatësia e anës së bazës së saj dhe nga lartësia.

Shembull problem

Dihet që skaji anësor i një piramide trekëndore është 7 cm, dhe ana e bazës është 5 cm. Duhet të gjeni sipërfaqen e figurës nëse e dini se piramida është i rregullt.

Përdor një barazi të përgjithshme:

S=S_o+ S_b

Zona S_oështë e barabartë me:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Për të përcaktuar sipërfaqen anësore, duhet të gjeni apotemën. Nuk është e vështirë të tregohet se përmes gjatësisë së skajit anësor a_b përcaktohet me formulën:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Atëherë zona e S_b është:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Sipërfaqja e përgjithshme e piramidës është:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86cm².

Vini re se gjatë zgjidhjes së problemit, ne nuk kemi përdorur vlerën e lartësisë së piramidës në llogaritjet.