Si të gjejmë prodhimin e matricave. Shumëzimi i matricës. Produkt skalar i matricave. Produkti i tre matricave

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Matricat (tabelat me elemente numerike) mund të përdoren për llogaritje të ndryshme. Disa prej tyre janë shumëzim me një numër, një vektor, një matricë tjetër, me disa matrica. Produkti ndonjëherë është i pasaktë. Një rezultat i gabuar është rezultat i mosnjohjes së rregullave për kryerjen e veprimeve llogaritëse. Le të kuptojmë se si të bëjmë shumëzimin.

Matrica dhe numri

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë - shumëzimin e një tabele me numra me një vlerë specifike. Për shembull, kemi një matricë A me elementë a_ij (i janë numrat e rreshtit dhe j janë numrat e kolonës) dhe numrin e. Prodhimi i matricës me numrin e do të jetë matrica B me elementet b_ij, të cilat gjenden me formulën:

b_ij=e × a_ij.

T. e. për të marrë elementin b₁₁ duhet të merrni elementin a₁₁ dhe ta shumëzoni me numrin e dëshiruar, për të marrë b₁₂ kërkohet për të gjetur prodhimin e elementit a₁₂ dhe numrin e, etj.

Le të zgjidhim problemin numër 1 të paraqitur në figurë. Për të marrë matricën B, thjesht shumëzojini elementet nga A me 3:

1. a₁₁ × 3=18. E shkruajmë këtë vlerë në matricën B në vendin ku kryqëzohen kolona nr. 1 dhe rreshti nr. 1.
2. a₂₁ × 3=15. Ne morëm elementin b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Morëm elementin b₁₂. E shkruajmë në matricën B në vendin ku kryqëzohen kolona 2 dhe rreshti 1.
4. a₂₂ × 3=9. Ky rezultat është elementi b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Fusni këtë numër në matricë në vend të elementit b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Numri i fundit i marrë është elementi b₂₃.

Kështu, kemi marrë një grup drejtkëndor me elemente numerike.

18	–6	12
15	9	–3

Vektorët dhe kushti për ekzistencën e një prodhimi të matricave

Në disiplinat matematikore ekziston një gjë e tillë si "vektor". Ky term i referohet një grupi të renditur vlerash nga a₁ në një . Quhen koordinata të hapësirës vektoriale dhe shkruhen si kolonë. Ekziston edhe termi "vektor i transpozuar". Përbërësit e tij janë të rregulluar si një varg.

Vektorët mund të quhen matrica:

• vektori i kolonës është një matricë e ndërtuar nga një kolonë;

Vektori

• rresht është një matricë që përfshin vetëm një rresht.

Kur të përfundojëmbi matricat e operacioneve të shumëzimit, është e rëndësishme të mbani mend se ekziston një kusht për ekzistencën e një produkti. Veprimi llogaritës A × B mund të kryhet vetëm kur numri i kolonave në tabelën A është i barabartë me numrin e rreshtave në tabelën B. Matrica që rezulton nga llogaritja ka gjithmonë numrin e rreshtave në tabelën A dhe numrin e kolonave në tabelën B.

Gjatë shumëzimit, nuk rekomandohet rirregullimi i matricave (shumëzuesit). Produkti i tyre zakonisht nuk korrespondon me ligjin komutativ (zhvendosje) të shumëzimit, d.m.th. rezultati i veprimit A × B nuk është i barabartë me rezultatin e veprimit B × A. Ky tipar quhet jokomutativiteti i prodhimit të matricat. Në disa raste, rezultati i shumëzimit A × B është i barabartë me rezultatin e shumëzimit B × A, d.m.th., produkti është komutativ. Matricat për të cilat vlen barazia A × B=B × A quhen matrica permutacioni. Shihni shembuj të tabelave të tilla më poshtë.

Shumëzimi me një vektor kolone

Kur shumëzojmë një matricë me një vektor kolone, duhet të kemi parasysh kushtin për ekzistencën e produktit. Numri i kolonave (n) në tabelë duhet të përputhet me numrin e koordinatave që përbëjnë vektorin. Rezultati i llogaritjes është vektori i transformuar. Numri i koordinatave të tij është i barabartë me numrin e vijave (m) nga tabela.

Si llogariten koordinatat e vektorit y nëse ka një matricë A dhe një vektor x? Për llogaritjet e krijuara formula:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

ku x₁, …, x janë koordinata nga x-vektori, m është numri i rreshtave në matricë dhe numri i koordinatave në vektorin e ri y, n është numri i kolonave në matricë dhe numri i koordinatave në vektorin x, a₁₁, a_{12, …, a}mn– elementet e matricës A.

Kështu, për të marrë komponentin i-të të vektorit të ri, kryhet prodhimi skalar. Vektori i rreshtit të i-të është marrë nga matrica A dhe shumëzohet me vektorin e disponueshëm x.

Le të zgjidhim problemin 2. Ju mund të gjeni produktin e një matrice dhe një vektori sepse A ka 3 kolona dhe x përbëhet nga 3 koordinata. Si rezultat, ne duhet të marrim një vektor kolone me 4 koordinata. Le të përdorim formulat e mësipërme:

1. Llogarit y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Vlera përfundimtare është 2.
2. Llogarit y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Gjatë llogaritjes, marrim 0.
3. Llogaritni y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Shuma e produkteve të faktorëve të treguar është 6.
4. Llogarit y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinata është -8.

Shumëzimi i vektorit të rreshtit-matricës

Ju nuk mund të shumëzoni një matricë me shumë kolona me një vektor rreshti. Në raste të tilla, kushti për ekzistimin e veprës nuk plotësohet. Por shumëzimi i një vektori rresht me një matricë është i mundur. Kjooperacioni llogaritës kryhet kur numri i koordinatave në vektor dhe numri i rreshtave në tabelë përputhen. Rezultati i produktit të një vektori dhe një matrice është një vektor i ri rreshti. Numri i koordinatave të tij duhet të jetë i barabartë me numrin e kolonave në matricë.

Llogaritja e koordinatës së parë të një vektori të ri përfshin shumëzimin e vektorit të rreshtit dhe vektorit të kolonës së parë nga tabela. Koordinata e dytë llogaritet në mënyrë të ngjashme, por në vend të vektorit të kolonës së parë, merret vektori i kolonës së dytë. Këtu është formula e përgjithshme për llogaritjen e koordinatave:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, ku y_k është një koordinatë nga vektori y, (k është midis 1 dhe n), m është numri i rreshtave në matricë dhe numri i koordinatave në vektorin x, n është numri i kolonave në matricë dhe numri i koordinatave në vektorin y, a me indekse alfanumerik janë elementët e matricës A.

Produkt i matricave drejtkëndore

Kjo llogaritje mund të duket e ndërlikuar. Sidoqoftë, shumëzimi bëhet lehtësisht. Le të fillojmë me një përkufizim. Prodhimi i një matrice A me m rreshta dhe n kolona dhe një matricë B me n rreshta dhe P kolona është një matricë C me m rreshta dhe P kolona, në të cilën elementi c_ij është shuma e produkteve të elementeve të rreshtit i-të nga tabela A dhe kolonës j-të nga tabela B. Në terma më të thjeshtë, elementi c_ij është prodhimi skalar i rreshtit të i-të vektori nga tabela A dhe vektori i kolonës j nga tabela B.

Tani le të kuptojmë në praktikë se si të gjejmë produktin e matricave drejtkëndore. Për këtë të zgjidhim problemin nr.3. Kushti për ekzistencën e një produkti është i plotësuar. Le të fillojmë llogaritjen e elementeve c_ij:

1. Matrica C do të ketë 2 rreshta dhe 3 kolona.
2. Llogaritni elementin c₁₁. Për ta bërë këtë, ne kryejmë produktin skalar të rreshtit nr. 1 nga matrica A dhe kolonës nr. 1 nga matrica B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Më pas vazhdojmë në mënyrë të ngjashme, duke ndryshuar vetëm rreshtat, kolonat (në varësi të indeksit të elementit).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Elementet janë llogaritur. Tani mbetet vetëm të bëjmë një bllok drejtkëndor të numrave të marrë.

16	12	9
31	18	36

Shumëzimi i tre matricave: pjesa teorike

A mund ta gjeni produktin e tre matricave? Ky operacion llogaritës është i realizueshëm. Rezultati mund të merret në disa mënyra. Për shembull, ka 3 tabela katrore (të të njëjtit renditje) - A, B dhe C. Për të llogaritur produktin, mund të:

1. Së pari shumëzoni A dhe B. Më pas shumëzojeni rezultatin me C.
2. Së pari gjeni prodhimin e B dhe C. Më pas shumëzoni matricën A me rezultatin.

Nëse ju duhet të shumëzoni matrica drejtkëndore, atëherë së pari duhet të siguroheni që ky operacion llogaritës është i mundur. Duhetekzistojnë produktet A × B dhe B × C.

Shumëzimi në rritje nuk është gabim. Ekziston një gjë e tillë si "asociativiteti i shumëzimit të matricës". Ky term i referohet barazisë (A × B) × C=A × (B × C).

Praktikë e shumëzimit të tre matricave

Matricat katror

Filloni duke shumëzuar matricat e vogla katrore. Figura më poshtë tregon problemin numër 4, të cilin duhet ta zgjidhim.

Ne do të përdorim veçorinë e asociativitetit. Së pari ne shumëzojmë ose A dhe B, ose B dhe C. Kujtojmë vetëm një gjë: nuk mund të ndërroni faktorët, domethënë nuk mund të shumëzoni B × A ose C × B. Me këtë shumëzim, do të marrim një rezultat i gabuar.

Përparimi i vendimit.

Hapi i parë. Për të gjetur produktin e përbashkët, fillimisht shumëzojmë A me B. Kur shumëzojmë dy matrica, do të udhëhiqemi nga rregullat që u përshkruan më lart. Pra, rezultati i shumëzimit të A dhe B do të jetë një matricë D me 2 rreshta dhe 2 kolona, domethënë një grup drejtkëndor do të përfshijë 4 elementë. Le t'i gjejmë duke bërë llogaritjen:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Rezultati i ndërmjetëm gati.

30	10
15	16

Hapi i dytë. Tani le të shumëzojmë matricën D me matricën C. Rezultati duhet të jetë një matricë katrore G me 2 rreshta dhe 2 kolona. Llogarit elementet:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Kështu, rezultati i prodhimit të matricave katrore është një tabelë G me elementë të llogaritur.

250	180
136	123

Matrica drejtkëndore

Figura më poshtë tregon problemin numër 5. Kërkohet të shumëzohen matricat drejtkëndore dhe të gjendet një zgjidhje.

Le të kontrollojmë nëse është plotësuar kushti për ekzistencën e prodhimeve A × B dhe B × C. Rendit e matricave të treguara na lejojnë të kryejmë shumëzim. Le të fillojmë të zgjidhim problemin.

Përparimi i vendimit.

Hapi i parë. Shumëzojeni B me C për të marrë D. Matrica B ka 3 rreshta dhe 4 kolona, dhe matrica C ka 4 rreshta dhe 2 kolona. Kjo do të thotë se do të marrim një matricë D me 3 rreshta dhe 2 kolona. Le të llogarisim elementet. Këtu janë 2 shembuj llogaritjeje:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Ne vazhdojmë ta zgjidhim problemin. Si rezultat i llogaritjeve të mëtejshme, gjejmë vlerat d₂₁, d₂ 2, d₃₁ dhe d₃₂. Këta elementë janë përkatësisht 0, 19, 1 dhe 11. Le t'i shkruajmë vlerat e gjetura në një grup drejtkëndor.

0	7
0	19
1	11

Hapi i dytë. Shumëzojeni A me D për të marrë matricën përfundimtare F. Ajo do të ketë 2 rreshta dhe 2 kolona. Llogarit elementet:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Përpiloni një grup drejtkëndor, i cili është rezultati përfundimtar i shumëzimit të tre matricave.

1	139
3	52

Hyrje në punën e drejtpërdrejtë

Mjaft i vështirë për t'u kuptuar materiali është produkti i matricave Kronecker. Ai gjithashtu ka një emër shtesë - një vepër e drejtpërdrejtë. Çfarë nënkuptohet me këtë term? Le të themi se kemi tabelën A të rendit m × n dhe tabelën B të rendit p × q. Prodhimi i drejtpërdrejtë i matricës A dhe matricës B është një matricë e rendit mp × nq.

Kemi 2 matrica katrore A, B, të cilat tregohen në foto. E para ka 2 kolona dhe 2 rreshta, dhe e dyta ka 3 kolona dhe 3 rreshta. Ne shohim se matrica që rezulton nga produkti i drejtpërdrejtë përbëhet nga 6 rreshta dhe saktësisht të njëjtin numër kolonash.

Si llogariten elementet e një matrice të re në një produkt të drejtpërdrejtë? Gjetja e përgjigjes për këtë pyetje është shumë e lehtë nëse analizoni foton. Fillimisht plotësoni rreshtin e parë. Merrni elementin e parë nga rreshti i sipërm i tabelës A dhe shumëzoni në mënyrë sekuenciale me elementët e rreshtit të parënga tabela B. Më pas, merrni elementin e dytë të rreshtit të parë të tabelës A dhe shumëzoni në mënyrë sekuenciale me elementët e rreshtit të parë të tabelës B. Për të mbushur rreshtin e dytë, merrni përsëri elementin e parë nga rreshti i parë i tabelës A dhe shumëzojeni atë me elementet e rreshtit të dytë të tabelës B.

Matrica përfundimtare e përftuar nga prodhimi i drejtpërdrejtë quhet matricë blloku. Nëse e analizojmë figurën përsëri, mund të shohim se rezultati ynë përbëhet nga 4 blloqe. Të gjithë ata përfshijnë elementë të matricës B. Përveç kësaj, një element i çdo blloku shumëzohet me një element specifik të matricës A. Në bllokun e parë, të gjithë elementët shumëzohen me një ₁₁, në e dyta - me një_{12, në të tretën - në një}21_{, në të katërtin - në një}22.

Përcaktuesi i produktit

Kur shqyrtojmë temën e shumëzimit të matricës, ia vlen të merret parasysh një term i tillë si "përcaktori i produktit të matricave". Çfarë është një përcaktues? Kjo është një karakteristikë e rëndësishme e një matrice katrore, një vlerë e caktuar që i është caktuar kësaj matrice. Emërtimi fjalë për fjalë i përcaktorit është det.

Për një matricë A që përbëhet nga dy kolona dhe dy rreshta, përcaktori është i lehtë për t'u gjetur. Ekziston një formulë e vogël që është ndryshimi midis produkteve të elementeve specifike:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së përcaktorit për një tabelë të rendit të dytë. Ekziston një matricë A në të cilën a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 dhe a22_{=1. Për të llogaritur përcaktorin, përdorni formulën:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

Për matricat 3 × 3, përcaktori llogaritet duke përdorur një formulë më komplekse. Është paraqitur më poshtë për matricën A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Për të kujtuar formulën, ne dolëm me rregullin e trekëndëshit, i cili është ilustruar në foto. Së pari, elementet e diagonales kryesore shumëzohen. Vlerës së përftuar i shtohen produktet e atyre elementeve të treguara nga këndet e trekëndëshave me brinjë të kuqe. Më pas, zbritet prodhimi i elementeve të diagonales dytësore dhe zbriten prodhimet e atyre elementeve të treguara nga këndet e trekëndëshave me brinjë blu.

Tani le të flasim për përcaktorin e prodhimit të matricave. Ekziston një teoremë që thotë se ky tregues është i barabartë me produktin e përcaktorëve të tabelave të shumëzuesit. Le ta verifikojmë këtë me një shembull. Ne kemi matricën A me hyrjet a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 dhe a22_{=1 dhe matrica B me hyrjet b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 dhe b}22_{=2. Gjeni përcaktorët për matricat A dhe B, produktin A × B dhe përcaktorin e këtij produkti.}

Përparimi i vendimit.

Hapi i parë. Llogaritni përcaktorin për A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Më pas, llogaritni përcaktorin për B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Hapi i dytë. Le të gjejmëprodukti A × B. Shënoni matricën e re me shkronjën C. Llogaritni elementet e saj:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Hapi i tretë. Llogaritni përcaktorin për C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Krahasoni me vlerën që mund të merret duke shumëzuar përcaktuesit e matricave origjinale. Numrat janë të njëjtë. Teorema e mësipërme është e vërtetë.

Ranku i produktit

Randi i një matrice është një karakteristikë që pasqyron numrin maksimal të rreshtave ose kolonave linearisht të pavarura. Për të llogaritur gradën, kryhen shndërrimet elementare të matricës:

• rirregullim i dy rreshtave paralelë;
• shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti të caktuar nga tabela me një numër jozero;
• shtimi i elementeve të një rreshti elementësh nga një rresht tjetër, i shumëzuar me një numër specifik.

Pas transformimeve elementare, shikoni numrin e vargjeve jozero. Numri i tyre është rangu i matricës. Merrni parasysh shembullin e mëparshëm. Ai prezantoi 2 matrica: A me elemente a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 dhe a₂₂ =1 dhe B me elementet b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 dhe b}22_{=2. Do të përdorim edhe matricën C të përftuar si rezultat i shumëzimit. Nëse kryejmë transformime elementare, atëherë nuk do të ketë rreshta zero në matricat e thjeshtuara. Kjo do të thotë se si renditja e tabelës A, dhe renditja e tabelës B, dhe renditjatabela C është 2.}

Tani le t'i kushtojmë vëmendje të veçantë renditjes së prodhimit të matricave. Ekziston një teoremë që thotë se rangu i një produkti të tabelave që përmbajnë elemente numerike nuk e kalon renditjen e asnjërit prej faktorëve. Kjo mund të vërtetohet. Le të jetë A një matricë k × s dhe B një matricë s × m. Prodhimi i A dhe B është i barabartë me C.

Le të studiojmë foton e mësipërme. Ai tregon kolonën e parë të matricës C dhe shënimin e saj të thjeshtuar. Kjo kolonë është një kombinim linear i kolonave të përfshira në matricën A. Në mënyrë të ngjashme, mund të thuhet për çdo kolonë tjetër nga grupi drejtkëndor C. Kështu, nënhapësira e formuar nga vektorët e kolonës së tabelës C është në nënhapësirën e formuar nga vektorët e kolonës së tabelës A. Prandaj, dimensioni i nënhapësirës nr. 1 nuk e kalon dimensionin e nënhapësirës nr. 2. Kjo nënkupton që renditja në kolonat e tabelës C nuk e kalon renditjen në kolonat e tabelës A, d.m.th., r(C) ≦ r(A). Nëse argumentojmë në mënyrë të ngjashme, atëherë mund të sigurohemi që rreshtat e matricës C janë kombinime lineare të rreshtave të matricës B. Kjo nënkupton pabarazinë r(C) ≦ r(B).

Si të gjesh produktin e matricave është një temë mjaft e ndërlikuar. Mund të përvetësohet lehtësisht, por për të arritur një rezultat të tillë, do t'ju duhet të shpenzoni shumë kohë duke mësuar përmendësh të gjitha rregullat dhe teoremat ekzistuese.