Matrica është një objekt i veçantë në matematikë. Ajo përshkruhet në formën e një tabele drejtkëndëshe ose katrore, e përbërë nga një numër i caktuar rreshtash dhe kolonash. Në matematikë, ekziston një shumëllojshmëri e gjerë e llojeve të matricave, të ndryshme në madhësi ose përmbajtje. Numrat e rreshtave dhe kolonave të tij quhen rend. Këto objekte përdoren në matematikë për të organizuar shkrimin e sistemeve të ekuacioneve lineare dhe për të kërkuar me lehtësi rezultatet e tyre. Ekuacionet duke përdorur një matricë zgjidhen duke përdorur metodën e Carl Gauss, Gabriel Cramer, minoret dhe shtesat algjebrike dhe shumë mënyra të tjera. Shkathtësia bazë kur punoni me matrica është t'i çoni ato në një formë standarde. Megjithatë, së pari, le të kuptojmë se cilat lloje matricash dallohen nga matematikanët.
Lloji null
Të gjithë përbërësit e këtij lloji të matricës janë zero. Ndërkohë, numri i rreshtave dhe kolonave të tij është krejtësisht i ndryshëm.
Lloji katror
Numri i kolonave dhe rreshtave të këtij lloji të matricës është i njëjtë. Me fjalë të tjera, është një tabelë në formë "katrore". Numri i kolonave (ose rreshtave) të tij quhet rend. Raste të veçanta janë ekzistenca e një matrice të rendit të dytë (matrica 2x2), rendit të katërt (4x4), të dhjetës (10x10), të shtatëmbëdhjetë (17x17) e kështu me radhë.
Vektor i kolonës
Ky është një nga llojet më të thjeshta të matricave, që përmban vetëm një kolonë, e cila përfshin tre vlera numerike. Ai përfaqëson një seri termash të lirë (numra të pavarur nga ndryshoret) në sistemet e ekuacioneve lineare.
Vektor rreshti
Shiko e ngjashme me atë të mëparshme. Përbëhet nga tre elementë numerikë, të organizuar nga ana tjetër në një rresht.
Lloji diagonal
Vetëm përbërësit e diagonales kryesore (të theksuara në të gjelbër) marrin vlera numerike në formën diagonale të matricës. Diagonalja kryesore fillon me elementin në këndin e sipërm të majtë dhe përfundon me elementin në të djathtën e poshtme, përkatësisht. Pjesa tjetër e komponentëve janë zero. Lloji diagonal është vetëm një matricë katrore e një radhe. Ndër matricat e formës diagonale, mund të veçohet një skalar. Të gjithë përbërësit e tij marrin të njëjtat vlera.
Matrica e identitetit
Një nëngrup i matricës diagonale. Të gjitha vlerat e tij numerike janë njësi. Duke përdorur një lloj të vetëm tabelash matricë, kryeni transformimet e saj bazë ose gjeni një matricë të kundërt me atë origjinale.
Lloji kanonik
Forma kanonike e një matrice konsiderohet si një nga ato kryesore; derdhja në të shpesh nevojitet për të punuar. Numri i rreshtave dhe kolonave në matricën kanonike është i ndryshëm, nuk i përket domosdoshmërisht llojit katror. Është disi e ngjashme me matricën e identitetit, megjithatë, në rastin e saj, jo të gjithë përbërësit e diagonales kryesore marrin një vlerë të barabartë me një. Mund të ketë dy ose katër njësi kryesore diagonale (të gjitha varen nga gjatësia dhe gjerësia e matricës). Ose mund të mos ketë fare njësi (atëherë konsiderohet zero). Përbërësit e mbetur të tipit kanonik, si dhe elementët e diagonales dhe identitetit, janë të barabartë me zero.
Lloji i trekëndëshit
Një nga llojet më të rëndësishme të matricës, që përdoret kur kërkoni përcaktuesin e saj dhe kur kryeni veprime të thjeshta. Lloji trekëndor vjen nga lloji diagonal, kështu që matrica është gjithashtu katrore. Pamja trekëndore e matricës është e ndarë në trekëndëshin e sipërm dhe trekëndëshin e poshtëm.
Në matricën e sipërme trekëndore (Fig. 1), vetëm elementët që janë mbi diagonalen kryesore marrin një vlerë të barabartë me zero. Përbërësit e vetë diagonales dhe pjesa e matricës poshtë saj përmbajnë vlera numerike.
Në matricën trekëndore të poshtme (Fig. 2), përkundrazi, elementët e vendosur në pjesën e poshtme të matricës janë të barabartë me zero.
Matrica e hapit
Pamja është e nevojshme për gjetjen e renditjes së një matrice, si dhe për veprimet elementare mbi to (së bashku me tipin trekëndor). Matrica e hapave është quajtur kështu sepse përmban "hapa" karakteristikë të zerave (siç tregohet në figurë). Në llojin e shkallëzuar, formohet një diagonale me zero (jo domosdoshmërisht ajo kryesore), dhe të gjithë elementët nën këtë diagonale kanë gjithashtu vlera të barabarta me zero. Një parakusht është si vijon: nëse ka një rresht zero në matricën e hapave, atëherë rreshtat e mbetur poshtë saj gjithashtu nuk përmbajnë vlera numerike.
Kështu, ne kemi shqyrtuar llojet më të rëndësishme të matricave të nevojshme për të punuar me to. Tani le të merremi me detyrën e konvertimit të një matrice në formën e kërkuar.
Redukto në formë trekëndore
Si ta sjellim matricën në një formë trekëndore? Më shpesh, në detyra, ju duhet të shndërroni një matricë në një formë trekëndore në mënyrë që të gjeni përcaktorin e saj, i quajtur ndryshe përcaktor. Gjatë kryerjes së kësaj procedure, është jashtëzakonisht e rëndësishme të "ruani" diagonalen kryesore të matricës, sepse përcaktori i një matrice trekëndore është saktësisht produkti i përbërësve të diagonales së saj kryesore. Më lejoni t'ju kujtoj gjithashtu metodat alternative për gjetjen e përcaktorit. Përcaktori i tipit katror gjendet duke përdorur formula të veçanta. Për shembull, mund të përdorni metodën e trekëndëshit. Për matricat e tjera, përdoret metoda e zbërthimit sipas rreshtit, kolonës ose elementeve të tyre. Ju gjithashtu mund të aplikoni metodën e minoreve dhe plotësimeve algjebrike të matricës.
DetajeLe të analizojmë procesin e sjelljes së një matrice në një formë trekëndore duke përdorur shembuj të disa detyrave.
Detyra 1
Është e nevojshme të gjendet përcaktorja e matricës së paraqitur, duke përdorur metodën e sjelljes së saj në një formë trekëndore.
Matrica që na është dhënë është një matricë katrore e rendit të tretë. Prandaj, për ta shndërruar atë në një formë trekëndore, duhet të anulojmë dy përbërës të kolonës së parë dhe një përbërës të kolonës së dytë.
Për ta sjellë atë në një formë trekëndore, filloni transformimin nga këndi i poshtëm i majtë i matricës - nga numri 6. Për ta kthyer atë në zero, shumëzojeni rreshtin e parë me tre dhe zbrisni nga rreshti i fundit.
E rëndësishme! Linja e sipërme nuk ndryshon, por mbetet e njëjtë si në matricën origjinale. Ju nuk keni nevojë të shkruani një varg katër herë më të lartë se ai origjinal. Por vlerat e vargjeve, përbërësit e të cilëve duhet të anulohen po ndryshojnë vazhdimisht.
Tjetra, le të merremi me vlerën tjetër - elementin e rreshtit të dytë të kolonës së parë, numri 8. Shumëzoni rreshtin e parë me katër dhe zbrisni atë nga rreshti i dytë. Marrim zero.
Mbetet vetëm vlera e fundit - elementi i rreshtit të tretë të kolonës së dytë. Ky është numri (-1). Për ta kthyer në zero, zbrit të dytën nga rreshti i parë.
Le të kontrollojmë:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Pra, përgjigja e detyrës është -22.
Detyra 2
Duhet të gjejmë përcaktorin e matricës duke e sjellë atë në një formë trekëndore.
Matrica e përfaqësuari përket tipit katror dhe është një matricë e rendit të katërt. Kjo do të thotë se tre komponentë të kolonës së parë, dy përbërës të kolonës së dytë dhe një komponent i kolonës së tretë duhet të zerohen.
Le të fillojmë reduktimin e tij nga elementi i vendosur në këndin e poshtëm të majtë - nga numri 4. Duhet ta kthejmë këtë numër në zero. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është të shumëzoni rreshtin e sipërm me katër dhe pastaj ta zbrisni atë nga rreshti i katërt. Le të shkruajmë rezultatin e fazës së parë të transformimit.
Pra, komponenti i rreshtit të katërt është vendosur në zero. Le të kalojmë në elementin e parë të rreshtit të tretë, në numrin 3. Ne kryejmë një operacion të ngjashëm. Shumëzojeni me tre rreshtin e parë, zbrisni atë nga rreshti i tretë dhe shkruani rezultatin.
Tjetra, ne shohim numrin 2 në rreshtin e dytë. Ne përsërisim veprimin: shumëzojmë rreshtin e sipërm me dy dhe e zbresim atë nga i dyti.
Kemi arritur të vendosim në zero të gjithë përbërësit e kolonës së parë të kësaj matrice katrore, përveç numrit 1, elementi i diagonales kryesore që nuk kërkon transformim. Tani është e rëndësishme të mbash zero që rezultojnë, kështu që ne do të kryejmë transformime me rreshta, jo me kolona. Le të kalojmë në kolonën e dytë të matricës së paraqitur.
Le të fillojmë përsëri nga fundi - nga elementi i kolonës së dytë të rreshtit të fundit. Ky është numri (-7). Sidoqoftë, në këtë rast është më e përshtatshme të filloni me numrin (-1) - elementi i kolonës së dytë të rreshtit të tretë. Për ta kthyer atë në zero, zbritni rreshtin e dytë nga rreshti i tretë. Pastaj shumëzojmë rreshtin e dytë me shtatë dhe e zbresim atë nga e katërta. Ne morëm zero në vend të elementit të vendosur në rreshtin e katërt të kolonës së dytë. Tani le të kalojmë tek e tretakolona.
Në këtë kolonë, duhet të kthejmë në zero vetëm një numër - 4. Është e lehtë për ta bërë: thjesht shtoni të tretën në rreshtin e fundit dhe shikoni zeron që na nevojitet.
Pas të gjitha transformimeve, ne e sollëm matricën e propozuar në një formë trekëndore. Tani, për të gjetur përcaktuesin e saj, ju duhet vetëm të shumëzoni elementët që rezultojnë të diagonales kryesore. Marrim: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Prandaj, zgjidhja është numri 160.
Pra, tani çështja e sjelljes së matricës në një formë trekëndore nuk do ta bëjë të vështirë për ju.
Reduktim në formën e shkallëzuar
Në veprimet elementare në matrica, forma me shkallë është më pak "e kërkuar" se ajo trekëndore. Më së shpeshti përdoret për të gjetur rangun e një matrice (d.m.th., numrin e rreshtave të saj jozero) ose për të përcaktuar rreshtat e varur dhe të pavarur në mënyrë lineare. Megjithatë, pamja e matricës me shkallë është më e gjithanshme, pasi është e përshtatshme jo vetëm për llojin katror, por për të gjithë të tjerët.
Për të reduktuar një matricë në një formë me shkallë, së pari duhet të gjeni përcaktuesin e saj. Për këtë, metodat e mësipërme janë të përshtatshme. Qëllimi i gjetjes së përcaktorit është të zbulohet nëse ai mund të shndërrohet në një matricë hapi. Nëse përcaktori është më i madh ose më i vogël se zero, atëherë mund të vazhdoni me siguri në detyrë. Nëse është e barabartë me zero, nuk do të funksionojë për të reduktuar matricën në një formë të shkallëzuar. Në këtë rast, duhet të kontrolloni nëse ka ndonjë gabim në regjistrim ose në transformimet e matricës. Nëse nuk ka pasaktësi të tilla, detyra nuk mund të zgjidhet.
Le të shohim se sisillni matricën në një formë me shkallë duke përdorur shembuj të disa detyrave.
Detyra 1. Gjeni renditjen e tabelës së dhënë të matricës.
Përpara nesh është një matricë katrore e rendit të tretë (3x3). Ne e dimë se për të gjetur gradën, është e nevojshme ta reduktojmë atë në një formë të shkallëzuar. Prandaj, së pari duhet të gjejmë përcaktuesin e matricës. Duke përdorur metodën e trekëndëshit: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Përcaktues=12. Është më i madh se zero, që do të thotë se matrica mund të reduktohet në një formë me shkallë. Le të fillojmë transformimet e saj.
Le ta fillojmë me elementin e kolonës së majtë të rreshtit të tretë - numrin 2. Shumëzojeni rreshtin e sipërm me dy dhe zbrisni atë nga i treti. Falë këtij operacioni, si elementi që na nevojitet ashtu edhe numri 4 - elementi i kolonës së dytë të rreshtit të tretë - u kthyen në zero.
Më pas, kthejeni në zero elementin e rreshtit të dytë të kolonës së parë - numrin 3. Për ta bërë këtë, shumëzojeni rreshtin e sipërm me tre dhe zbrisni atë nga i dyti.
Ne shohim se reduktimi rezultoi në një matricë trekëndore. Në rastin tonë, transformimi nuk mund të vazhdohet, pasi komponentët e mbetur nuk mund të kthehen në zero.
Pra, arrijmë në përfundimin se numri i rreshtave që përmbajnë vlera numerike në këtë matricë (ose renditja e saj) është 3. Përgjigjja e detyrës: 3.
Detyra 2. Përcaktoni numrin e rreshtave linearisht të pavarur të kësaj matrice.
Ne duhet të gjejmë vargje që nuk mund të kthehen nga asnjë transformimnë zero. Në fakt, ne duhet të gjejmë numrin e rreshtave jo zero, ose renditjen e matricës së përfaqësuar. Për ta bërë këtë, le ta thjeshtojmë.
Ne shohim një matricë që nuk i përket llojit katror. Ka permasa 3x4. Le të fillojmë gjithashtu kastin nga elementi i këndit të poshtëm të majtë - numri (-1).
Shto rreshtin e parë tek i treti. Më pas, zbrit të dytën prej saj për ta kthyer numrin 5 në zero.
Transformime të mëtejshme janë të pamundura. Pra, arrijmë në përfundimin se numri i linjave të pavarura lineare në të dhe përgjigja e detyrës është 3.
Tani sjellja e matricës në një formë të shkallëzuar nuk është një detyrë e pamundur për ju.
Në shembujt e këtyre detyrave, ne analizuam reduktimin e një matrice në një formë trekëndore dhe një formë shkallë. Për të anuluar vlerat e dëshiruara të tabelave të matricës, në disa raste kërkohet të tregohet imagjinata dhe të transformohen saktë kolonat ose rreshtat e tyre. Fat i mirë në matematikë dhe punë me matricat!
