Logjika simbolike është një degë e shkencës që studion format e sakta të arsyetimit. Ai luan një rol themelor në filozofi, matematikë dhe shkenca kompjuterike. Ashtu si filozofia dhe matematika, logjika ka rrënjë të lashta. Traktatet më të hershme mbi natyrën e arsyetimit të saktë janë shkruar mbi 2000 vjet më parë. Disa nga filozofët më të famshëm të Greqisë së lashtë shkruan për natyrën e mbajtjes mbi 2300 vjet më parë. Mendimtarët e lashtë kinezë po shkruanin rreth paradokseve logjike në të njëjtën kohë. Edhe pse rrënjët e saj shkojnë shumë larg, logjika është ende një fushë e gjallë studimi.
Logjika simbolike matematikore
Duhet gjithashtu të jeni në gjendje të kuptoni dhe arsyetoni, prandaj vëmendje e veçantë iu kushtua përfundimeve logjike kur nuk kishte pajisje speciale për analizimin dhe diagnostikimin e fushave të ndryshme të jetës. Logjika moderne simbolike lindi nga vepra e Aristotelit (384-322 p.e.s.), filozofit të madh grek dhe një nga mendimtarët më me ndikim të të gjitha kohërave. Sukseset e mëtejshme ishinnga filozofi grek stoik Chrysippus, i cili zhvilloi themelet e asaj që ne tani e quajmë logjikë propozicionale.
Logjika matematikore ose simbolike mori zhvillim aktiv vetëm në shekullin e 19-të. U shfaqën veprat e Boole, de Morgan, Schroeder, në të cilat shkencëtarët algjebrizuan mësimet e Aristotelit, duke formuar kështu bazën për llogaritjen propozicionale. Kjo u pasua nga puna e Frege dhe Preece, në të cilën u prezantuan konceptet e variablave dhe kuantifikuesve, të cilët filluan të zbatoheshin në logjikë. Kështu u formua llogaritja e kallëzuesve - pohimeve rreth temës.
Logjika nënkuptonte prova të fakteve të padiskutueshme kur nuk kishte konfirmim të drejtpërdrejtë të së vërtetës. Shprehjet logjike duhej ta bindin bashkëbiseduesin për vërtetësinë.
Formulat logjike u ndërtuan mbi parimin e vërtetimit matematik. Kështu ata i bindën bashkëbiseduesit për saktësinë dhe besueshmërinë.
Megjithatë, të gjitha format e argumenteve shkruheshin me fjalë. Nuk kishte mekanizma formalë që do të krijonin një llogaritje logjike të zbritjes. Njerëzit filluan të dyshojnë nëse shkencëtari fshihej pas llogaritjeve matematikore, duke fshehur pas tyre absurditetin e supozimeve të tij, sepse të gjithë mund t'i paraqesin argumentet e tyre në një favor tjetër.
Lindja e kuptimësisë: logjika e fortë në matematikë si provë e së vërtetës
Në fund të shekullit të 18-të, logjika matematikore ose simbolike u shfaq si një shkencë, e cila përfshinte procesin e studimit të saktësisë së përfundimeve. Ata duhej të kishin një fund logjik dhe një lidhje. Por si duhej vërtetuarapo justifikoni të dhënat e kërkimit?
Filozofi dhe matematikani i madh gjerman Gottfried Leibniz ishte një nga të parët që kuptoi nevojën për të zyrtarizuar argumentet logjike. Ishte ëndrra e Leibniz-it: të krijonte një gjuhë zyrtare universale të shkencës që do t'i reduktonte të gjitha mosmarrëveshjet filozofike në një llogaritje të thjeshtë, duke ripunuar arsyetimin në diskutime të tilla në këtë gjuhë. Logjika matematikore ose simbolike u shfaq në formën e formulave që lehtësonin detyrat dhe zgjidhjet në pyetjet filozofike. Po, dhe kjo fushë e shkencës u bë më domethënëse, sepse më pas muhabetet e pakuptimta filozofike u bënë fundi mbi të cilin mbështetet vetë matematika!
Në kohën tonë, logjika tradicionale është simbolike aristoteliane, e cila është e thjeshtë dhe jo modeste. Në shekullin e 19-të, shkenca u përball me paradoksin e grupeve, gjë që shkaktoi mospërputhje në ato zgjidhje shumë të famshme të sekuencave logjike të Aristotelit. Ky problem duhej zgjidhur, sepse në shkencë nuk mund të ketë as gabime sipërfaqësore.
Formaliteti Lewis Carroll - logjika simbolike dhe hapat e saj të transformimit
Logjika formale tani është një lëndë që përfshihet në kurs. Megjithatë, pamjen e saj ia detyron asaj simbolike, asaj që u krijua fillimisht. Logjika simbolike është një metodë e përfaqësimit të shprehjeve logjike duke përdorur simbole dhe variabla në vend të gjuhës së zakonshme. Kjo eliminon paqartësinë që shoqëron gjuhët e zakonshme si rusishtja dhe i bën gjërat më të lehta.
Ka shumë sisteme të logjikës simbolike, si p.sh.:
- Propozim klasik.
- Logjika e rendit të parë.
- Modal.
Logjika simbolike siç kuptohet nga Lewis Carroll duhet të tregojë pohimet e vërteta dhe të rreme në pyetjen e bërë. Secili mund të ketë karaktere të veçanta ose të përjashtojë përdorimin e karaktereve të caktuara. Këtu janë disa shembuj të deklaratave që mbyllin zinxhirin logjik të përfundimeve:
- Të gjithë njerëzit që janë identikë me mua janë qenie që ekzistojnë.
- Të gjithë heronjtë që janë identikë me Batman janë krijesa që ekzistojnë.
- Pra (meqenëse unë dhe Batman nuk jemi parë kurrë në të njëjtin vend), të gjithë njerëzit identikë me mua janë heronj identikë me Batman-in.
Ky nuk është një silogizëm i vlefshëm i formës, por është i njëjtë me strukturën e mëposhtme:
- Të gjithë qentë janë gjitarë.
- Të gjitha macet janë gjitarë.
- Kjo është arsyeja pse të gjithë qentë janë mace.
Duhet të jetë e qartë se forma simbolike e mësipërme në logjikë nuk është e vlefshme. Megjithatë, në logjikë, drejtësia përcaktohet me këtë shprehje: nëse premisa do të ishte e vërtetë, atëherë përfundimi do të ishte i vërtetë. Kjo qartazi nuk është e vërtetë. E njëjta gjë do të jetë e vërtetë për shembullin e heroit, i cili ka të njëjtën formë. Vlefshmëria vlen vetëm për argumentet deduktive që synojnë të vërtetojnë përfundimin e tyre me siguri, pasi një argument deduktiv nuk mund të jetë i vlefshëm. Këto "korrigjime" zbatohen edhe në statistika kur ka një rezultat të gabimit të të dhënave, dhe logjika simbolike moderne siformaliteti i të dhënave të thjeshtuara ndihmon në shumë nga këto çështje.
Induksion në logjikën moderne
Një argument induktiv ka për qëllim vetëm të demonstrojë përfundimin e tij me probabilitet ose përgënjeshtrim të lartë. Argumentet induktive janë ose të forta ose të dobëta.
Si një argument induktiv, shembulli i superheroit Batman është thjesht i dobët. Është e dyshimtë që Batman ekziston, kështu që një nga deklaratat tashmë është e gabuar me një probabilitet të lartë. Edhe pse nuk e keni parë kurrë në të njëjtin vend me dikë tjetër, është qesharake ta marrësh këtë shprehje si provë. Për të kuptuar thelbin e logjikës, imagjinoni:
- Ju nuk jeni parë kurrë në të njëjtin vend si vendasja e Guinesë.
- Është e pabesueshme që ti dhe personi Guinean të jeni i njëjti person.
- Tani imagjinoni që ju dhe një afrikan nuk jeni takuar kurrë në të njëjtin vend. Nuk është e besueshme që ju dhe një afrikan të jeni i njëjti person. Por Guineja dhe Afrika kryqëzuan rrugët, kështu që nuk mund të jesh të dyja në të njëjtën kohë. Dëshmia se jeni afrikanë ose guineane ka rënë ndjeshëm.
Nga ky këndvështrim, vetë ideja e logjikës simbolike nuk nënkupton një lidhje apriori me matematikën. Gjithçka që duhet për të njohur logjikën si një simbol është përdorimi i gjerë i simboleve për të përfaqësuar operacionet logjike.
Teoria logjike e Carroll: Ngatërrimi ose minimalizmi në filozofinë matematikore
Carroll mësoi disa mënyra të pazakontagjë që e detyroi të zgjidhte probleme mjaft të vështira me të cilat përballeshin kolegët e tij. Kjo e pengoi atë të bënte përparim të konsiderueshëm për shkak të kompleksitetit të shënimit logjik dhe sistemeve që ai mori si rezultat i punës së tij. Arsyeja e ekzistencës së logjikës simbolike të Carroll është problemi i eliminimit. Si të gjendet përfundimi që duhet nxjerrë nga një grup premisash në lidhje me marrëdhëniet midis termave të dhënë? Eliminimi i "afateve të mesme".
Ishte për të zgjidhur këtë problem qendror të logjikës në mesin e shekullit të nëntëmbëdhjetë që u shpikën pajisje simbolike, diagramatike, madje edhe mekanike. Megjithatë, metodat e Carroll për përpunimin e "sekuencave logjike" të tilla (siç i quante ai) nuk jepnin gjithmonë zgjidhjen e duhur. Më vonë, filozofi botoi dy punime mbi hipotezat, të cilat pasqyrohen në revistën Mind: Paradoksi Logjik (1894) dhe Çfarë i tha breshka Akilit (1895).
Këto dokumente u diskutuan gjerësisht nga logjikëtarët e shekujve të nëntëmbëdhjetë dhe të njëzetë (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine, etj.). Artikulli i parë citohet shpesh si një ilustrim i mirë i paradokseve të nënkuptimit material, ndërsa i dyti çon në atë që njihet si paradoksi i përfundimit.
Thjeshtësia e simboleve në logjikë
Gjuha simbolike e logjikës është një zëvendësues i fjalive të gjata të paqarta. I përshtatshëm, sepse në rusisht mund të thuash të njëjtën gjë për rrethana të ndryshme, të cilat do të bëjnë të mundur ngatërrimin, dhe në matematikë, simbolet do të zëvendësojnë identitetin e secilit kuptim.
- Së pari, shkurtësia është e rëndësishme për efikasitetin. Logjika simbolike nuk mund të bëjë pa shenja dhe emërtime, përndryshe do të mbetej vetëm filozofike, pa të drejtën e kuptimit të vërtetë.
- Së dyti, simbolet e bëjnë më të lehtë shikimin dhe formulimin e të vërtetave logjike. Pikat 1 dhe 2 inkurajojnë manipulimin "algjebrik" të formulave logjike.
- Së treti, kur logjika shpreh të vërteta logjike, formulimi simbolik inkurajon studimin e strukturës së logjikës. Kjo lidhet me pikën e mëparshme. Kështu, logjika simbolike i jepet vetes studimit matematikor të logjikës, e cila është një degë e lëndës së logjikës matematikore.
- Së katërti, gjatë përsëritjes së përgjigjes, përdorimi i simboleve është një ndihmë për parandalimin e paqartësisë (p.sh. kuptime të shumëfishta) të gjuhës së zakonshme. Ndihmon gjithashtu të sigurohet që kuptimi të jetë unik.
Më në fund, gjuha simbolike e logjikës lejon llogaritjen e kallëzuesit të prezantuar nga Frege. Me kalimin e viteve, vetë shënimi simbolik për llogaritjen e kallëzuesit është përmirësuar dhe bërë më efikas, pasi shënimi i mirë është i rëndësishëm në matematikë dhe logjikë.
Ontologjia e Antikitetit të Aristotelit
Shkencëtarët u interesuan për punën e mendimtarit kur filluan të përdorin metodat e Slinin në interpretimet e tyre. Libri paraqet teori të logjikës klasike dhe modale. Një pjesë e rëndësishme e konceptit ishte reduktimi në CNF në logjikën simbolike të formulës së logjikës së propozimit. Shkurtesa do të thotë lidhje ose shkëputje e variablave.
Slinin Ya. A. sugjeroi që mohimet komplekse, të cilat kërkojnë reduktim të përsëritur të formulave, duhet të kthehen në një nënformulë. Kështu, ai i konvertoi disa vlera në më minimale dhe i zgjidhi problemet në një version të shkurtuar. Puna me mohime u reduktua në formulat e de Morganit. Ligjet që mbajnë emrin e De Morganit janë një palë teorema të lidhura që bëjnë të mundur shndërrimin e pohimeve dhe formulave në alternativa dhe shpesh më të përshtatshme. Ligjet janë si më poshtë:
- Negacioni (ose mospërputhja) e një disjunksioni është i barabartë me bashkimin e mohimit të alternativave - p ose q nuk është e barabartë me p dhe jo q ose simbolikisht ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Mohimi i lidhëzës është i barabartë me disjunksionin e mohimit të lidhëzave origjinale, d.m.th. jo (p dhe q) nuk është i barabartë me jo p ose jo q, ose simbolikisht ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Falë këtyre të dhënave fillestare, shumë matematikanë filluan të aplikojnë formula për të zgjidhur probleme komplekse logjike. Shumë njerëz e dinë se ekziston një kurs leksionesh ku studiohet zona e kryqëzimit të funksioneve. Dhe interpretimi i matricës bazohet gjithashtu në formula logjike. Cili është thelbi i logjikës në lidhjen algjebrike? Ky është një funksion linear i nivelit, kur ju mund të vendosni shkencën e numrave dhe filozofinë në të njëjtin tas si një zonë "pa shpirt" dhe jo fitimprurëse arsyetimi. Edhe pse E. Kant mendonte ndryshe, duke qenë matematikan dhe filozof. Ai vuri në dukje se filozofia nuk është asgjë derisa të vërtetohet e kundërta. Dhe provat duhet të jenë të qëndrueshme shkencërisht. Dhe kështu ndodhi që filozofia filloi të kishte rëndësi falë sajpërputhje me natyrën e vërtetë të numrave dhe llogaritjeve.
Zbatimi i logjikës në shkencë dhe botën materiale të realitetit
Filozofët zakonisht nuk e zbatojnë shkencën e arsyetimit logjik vetëm për disa projekte ambicioze pas diplomës (zakonisht me një shkallë të lartë specializimi, si shtimi i shkencave sociale, psikologjisë ose kategorizimit etik). Është paradoksale që shkenca filozofike “lindi” metodën e llogaritjes së së vërtetës dhe të gënjeshtrës, por vetë filozofët nuk e përdorin atë. Pra, për kë krijohen dhe transformohen silogjizma kaq të qarta matematikore?
- Programuesit dhe inxhinierët përdorën logjikën simbolike (e cila nuk është aq e ndryshme nga origjinali) për të zbatuar programet kompjuterike dhe madje edhe tabelat e projektimit.
- Në rastin e kompjuterëve, logjika është bërë mjaft komplekse për të trajtuar thirrjet e shumta të funksioneve, si dhe për të avancuar matematikën dhe për të zgjidhur problemet matematikore. Pjesa më e madhe e tij bazohet në njohuritë e zgjidhjes së problemeve matematikore dhe probabilitetit të kombinuar me rregullat logjike të eliminimit, zgjerimit dhe reduktueshmërisë.
- Gjuhët kompjuterike nuk mund të kuptohen lehtësisht për të punuar logjikisht brenda kufijve të njohurive të matematikës dhe madje kryejnë funksione të veçanta. Pjesa më e madhe e gjuhës kompjuterike është ndoshta e patentuar ose e kuptuar vetëm nga kompjuterët. Programuesit tani shpesh i lejojnë kompjuterët të bëjnë detyra logjike dhe t'i zgjidhin ato.
Në rrjedhën e këtyre parakushteve, shumë shkencëtarë supozojnë krijimin e materialit të avancuar jo për hir të shkencës, por përlehtësinë e përdorimit të mediave dhe teknologjisë. Ndoshta së shpejti logjika do të depërtojë në sferat e ekonomisë, biznesit, madje edhe kuantit "me dy fytyra", i cili sillet si një atom dhe si një valë.
Logjika kuantike në praktikën moderne të analizës matematikore
Logjika kuantike (QL) u zhvillua si një përpjekje për të ndërtuar një strukturë propozicionale që do të lejonte përshkrimin e ngjarjeve interesante në mekanikën kuantike (QM). QL zëvendësoi strukturën boolean, e cila nuk ishte e mjaftueshme për të përfaqësuar sferën atomike, megjithëse është e përshtatshme për ligjërimin e fizikës klasike.
Struktura matematikore e një gjuhe propozicionale për sistemet klasike është një grup fuqish, pjesërisht të renditura nga grupi i përfshirjes, me një palë operacionesh që përfaqësojnë bashkimin dhe ndarjen.
Kjo algjebër është në përputhje me diskursin e fenomeneve klasike dhe relativiste, por është e papajtueshme në një teori që ndalon, për shembull, dhënien e vlerave të së vërtetës së njëkohshme. Propozimi i etërve themelues të QL u krijua për të zëvendësuar strukturën Boolean të logjikës klasike me një strukturë më të dobët që do të dobësonte vetitë shpërndarëse të lidhjes dhe ndarjes.
Dobësimi i depërtimit simbolik të vendosur: a nevojitet vërtet e vërteta në matematikë si shkencë ekzakte
Gjatë zhvillimit të saj, logjika kuantike filloi t'i referohej jo vetëm tradicionale, por edhe disa fushave të kërkimit modern që u përpoqën të kuptonin mekanikën nga një këndvështrim logjik. Të shumëfishtaQasjet kuantike për të prezantuar strategji dhe probleme të ndryshme të diskutuara në literaturën e mekanikës kuantike. Sa herë që është e mundur, formulat e panevojshme eliminohen për të dhënë një kuptim intuitiv të koncepteve përpara marrjes ose prezantimit të matematikës përkatëse.
Një pyetje e përhershme në interpretimin e mekanikës kuantike është nëse ekzistojnë shpjegime thelbësisht klasike për fenomenet mekanike kuantike. Logjika kuantike ka luajtur një rol të madh në formësimin dhe përsosjen e këtij diskutimi, në veçanti duke na lejuar të jemi mjaft të saktë për atë që nënkuptojmë me shpjegimin klasik. Tani është e mundur të përcaktohet me saktësi se cilat teori mund të konsiderohen të besueshme dhe cilat janë përfundimi logjik i gjykimeve matematikore.
