Në botën e sotme, ne përdorim gjithnjë e më shumë një shumëllojshmëri makinash dhe pajisjesh. Dhe jo vetëm kur është e nevojshme të aplikoni forcë fjalë për fjalë çnjerëzore: lëvizni ngarkesën, ngrini atë në një lartësi, gërmoni një llogore të gjatë dhe të thellë, etj. Makinat sot montohen nga robotë, ushqimi përgatitet nga shumë gatimet dhe llogaritjet elementare aritmetike janë kryhet nga kalkulatorë. Gjithnjë e më shpesh dëgjojmë shprehjen "algjebër Buliane". Ndoshta është koha për të kuptuar rolin e njeriut në krijimin e robotëve dhe aftësinë e makinerive për të zgjidhur jo vetëm probleme matematikore, por edhe logjike.
Logic
Përkthyer nga greqishtja, logjika është një sistem i rregulluar i të menduarit që krijon marrëdhënie midis kushteve të dhëna dhe të lejon të nxjerrësh përfundime bazuar në premisa dhe supozime. Shumë shpesh ne pyesim njëri-tjetrin: "A është e logjikshme?" Përgjigja e marrë konfirmon supozimet tona ose kritikon trenin e mendimit. Por procesi nuk ndalet: ne vazhdojmë të arsyetojmë.
Ndonjëherë numri i kushteve (hyrëse) është aq i madh, dhe marrëdhëniet midis tyre janë aq të ndërlikuara dhe komplekse sa truri i njeriut nuk është në gjendje të "tretë" gjithçka menjëherë. Mund të duhet më shumë se një muaj (javë, vit) për të kuptuar se çfarë po ndodh. PorJeta moderne nuk na jep intervale të tilla kohore për të marrë vendime. Dhe ne i drejtohemi ndihmës së kompjuterëve. Dhe këtu shfaqet algjebra e logjikës, me ligjet dhe vetitë e veta. Duke shkarkuar të gjitha të dhënat fillestare, ne lejojmë kompjuterin të njohë të gjitha marrëdhëniet, të eliminojë kontradiktat dhe të gjejë një zgjidhje të kënaqshme.
Matematikë dhe Logjikë
I famshmi Gottfried Wilhelm Leibniz formuloi konceptin e "logjikës matematikore", problemet e së cilës ishin të kuptueshme vetëm për një rreth të ngushtë shkencëtarësh. Ky drejtim nuk ngjalli interes të veçantë dhe deri në mesin e shekullit të 19-të, pak njerëz dinin për logjikën matematikore.
Interesimi i madh në komunitetin shkencor shkaktoi një mosmarrëveshje në të cilën anglezi George Boole njoftoi synimin e tij për të krijuar një degë të matematikës që nuk ka absolutisht asnjë aplikim praktik. Siç kujtojmë nga historia, prodhimi industrial po zhvillohej në mënyrë aktive në atë kohë, po zhvilloheshin të gjitha llojet e makinerive ndihmëse dhe mjeteve të makinerisë, domethënë të gjitha zbulimet shkencore kishin një fokus praktik.
Duke parë përpara, le të themi se algjebra e Bulit është pjesa më e përdorur e matematikës në botën moderne. Kështu që Bull humbi argumentin e tij.
George Buhl
Vetë personaliteti i autorit meriton vëmendje të veçantë. Edhe duke pasur parasysh se në të kaluarën njerëzit u rritën para nesh, është ende e pamundur të mos theksohet se në moshën 16-vjeçare, J. Buhl dha mësim në një shkollë fshati dhe në moshën 20-vjeçare hapi shkollën e tij në Lincoln. Matematikani zotëronte rrjedhshëm pesë gjuhë të huaja dhe në kohën e lirë lexonte vepraNjutoni dhe Lagranzhi. Dhe e gjithë kjo ka të bëjë me djalin e një punëtori të thjeshtë!
Në 1839 Boole paraqiti për herë të parë punimet e tij shkencore në Revistën Matematikore të Kembrixhit. Shkencëtari është 24 vjeç. Puna e Boole në mënyrë të interesuar anëtarët e Shoqërisë Mbretërore që në 1844 ai mori një medalje për kontributin e tij në zhvillimin e analizës matematikore. Disa vepra të tjera të botuara, të cilat përshkruanin elementet e logjikës matematikore, e lejuan matematikanin e ri të merrte postin e profesorit në Kolegjin e Kontesë Cork. Kujtojmë se vetë Buhl nuk kishte arsim.
Ide
Në parim, algjebra e Bulit është shumë e thjeshtë. Ka pohime (shprehje logjike) që, nga pikëpamja e matematikës, mund të përkufizohen vetëm me dy fjalë: "e vërtetë" ose "e rreme". Për shembull, në pranverë pemët lulëzojnë - e vërtetë, në verë bie borë - një gënjeshtër. E bukura e kësaj matematike është se nuk ka nevojë strikte për të përdorur vetëm numra. Çdo pohim me një kuptim të qartë është mjaft i përshtatshëm për algjebrën e gjykimeve.
Kështu, algjebra e logjikës mund të përdoret fjalë për fjalë kudo: në planifikimin dhe shkrimin e udhëzimeve, analizimin e informacioneve konfliktuale rreth ngjarjeve dhe përcaktimin e sekuencës së veprimeve. Gjëja më e rëndësishme është të kuptojmë se është krejtësisht e parëndësishme se si ne përcaktojmë vërtetësinë ose falsitetin e deklaratës. Këto "si" dhe "pse" duhet të abstragohen. Vetëm deklarata e faktit ka rëndësi: e vërtetë-e gabuar.
Sigurisht, për programim, funksionet e algjebrës së logjikës janë të rëndësishme, të cilat shkruhen nga ato përkatëse.shenjat dhe simbolet. Dhe t'i mësosh ato do të thotë të zotërosh një gjuhë të re të huaj. Asgjë nuk është e pamundur.
Konceptet dhe përkufizimet bazë
Pa u thelluar, le të merremi me terminologjinë. Pra algjebra e Bulit supozon:
- deklarata;
- operacione logjike;
- funksionet dhe ligjet.
Deklaratat janë çdo shprehje pohuese që nuk mund të interpretohet në mënyrë të paqartë. Ato janë të shkruara si numra (5 > 3) ose të formuluara me fjalë të njohura (elefanti është gjitari më i madh). Në të njëjtën kohë, shprehja "gjirafa nuk ka qafë" gjithashtu ka të drejtë të ekzistojë, vetëm algjebra e Bulit do ta përkufizojë atë si "të rreme".
Të gjitha pohimet duhet të jenë të paqarta, por ato mund të jenë elementare dhe të përbëra. Këta të fundit përdorin lidhje logjike. Kjo do të thotë, në algjebrën e gjykimeve, pohimet e përbëra formohen duke shtuar pohime elementare me anë të veprimeve logjike.
Veprimet e algjebrës Boolean
Ne tashmë kujtojmë se veprimet në algjebrën e gjykimeve janë logjike. Ashtu si algjebra e numrave përdor aritmetikën për të shtuar, zbritur ose krahasuar numrat, elementët e logjikës matematikore ju lejojnë të bëni pohime komplekse, të mohoni ose llogaritni rezultatin përfundimtar.
Veprimet logjike për formalizimin dhe thjeshtësinë shkruhen me formula të njohura për ne në aritmetikë. Vetitë e algjebrës së Bulit bëjnë të mundur shkrimin e ekuacioneve dhe llogaritjen e të panjohurave. Operacionet logjike zakonisht shkruhen duke përdorur një tabelë të së vërtetës. Kolonat e sajpërcaktoni elementet e llogaritjes dhe operacionin që kryhet mbi to, dhe rreshtat tregojnë rezultatin e llogaritjes.
Veprimet bazë logjike
Veprimet më të zakonshme në algjebrën e Bulit janë mohimi (NOT) dhe logjika DHE dhe OSE. Pothuajse të gjitha veprimet në algjebrën e gjykimeve mund të përshkruhen në këtë mënyrë. Le të studiojmë secilin nga tre operacionet më në detaje.
Negacioni (jo) zbatohet vetëm për një element (operand). Prandaj, operacioni i mohimit quhet unar. Për të shkruar konceptin "jo A" përdorni simbolet e mëposhtme: ¬A, A¯¯¯ ose !A. Në formë tabelare duket kështu:
Funksioni i mohimit karakterizohet nga pohimi i mëposhtëm: nëse A është e vërtetë, atëherë B është e gabuar. Për shembull, Hëna rrotullohet rreth Tokës - e vërtetë; Toka rrotullohet rreth hënës - e rreme.
Shumëzimi dhe mbledhja logjike
Logjike AND quhet operacioni lidhor. Çfarë do të thotë? Së pari, se mund të aplikohet në dy operandë, d.m.th. Dhe është një operacion binar. Së dyti, se vetëm në rastin e së vërtetës së të dy operandëve (si A ashtu edhe B) është e vërtetë vetë shprehja. Proverbi "Durimi dhe puna do të bluajnë gjithçka" sugjeron se vetëm të dy faktorët do ta ndihmojnë një person të përballojë vështirësitë.
Simbolet e përdorura për të shkruar: A∧B, A⋅B ose A&&B.
Lidhja është e ngjashme me shumëzimin në aritmetikë. Ndonjëherë ata thonë se - shumëzim logjik. Nëse i shumëzojmë elementet e tabelës rresht pas rreshti, marrim një rezultat të ngjashëm me arsyetimin logjik.
Disjunction është një operacion logjik OSE. Ajo merr vlerën e së vërtetëskur të paktën një nga pohimet është i vërtetë (ose A ose B). Shkruhet kështu: A∨B, A+B ose A||B. Tabelat e së vërtetës për këto operacione janë:
Disjunksioni është si mbledhja aritmetike. Operacioni i mbledhjes logjike ka vetëm një kufizim: 1+1=1. Por ne kujtojmë se në formatin dixhital, logjika matematikore është e kufizuar në 0 dhe 1 (ku 1 është e vërtetë, 0 është e gabuar). Për shembull, thënia "në një muze mund të shihni një kryevepër ose të takoni një bashkëbisedues interesant" do të thotë që mund të shihni vepra arti ose mund të takoni një person interesant. Në të njëjtën kohë, nuk përjashtohet mundësia që të dyja ngjarjet të ndodhin njëkohësisht.
Funksionet dhe ligjet
Pra, ne tashmë e dimë se çfarë operacionesh logjike përdor algjebra e Bulit. Funksionet përshkruajnë të gjitha vetitë e elementeve të logjikës matematikore dhe ju lejojnë të thjeshtoni kushtet komplekse komplekse të problemeve. Vetia më e kuptueshme dhe e thjeshtë duket të jetë refuzimi i operacioneve të prejardhura. Derivatet janë OR ekskluzive, nënkuptim dhe ekuivalencë. Meqenëse kemi studiuar vetëm operacionet bazë, do të marrim edhe veçoritë vetëm të tyre.
Asociativiteti do të thotë që në pohime si "dhe A, dhe B, dhe C", rendi i operandëve nuk ka rëndësi. Formula është shkruar kështu:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Siç mund ta shihni, kjo është karakteristikë jo vetëm e lidhëzës, por edhe e disjunksionit.
Komuntueshmëria thotë se rezultatilidhëza ose veçimi nuk varet nga cili element është konsideruar i pari:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Shpërndarja lejon zgjerimin e kllapave në shprehje komplekse logjike. Rregullat janë të ngjashme me hapjen e kllapave në shumëzim dhe mbledhje në algjebër:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Vetitë e njës dhe zeros, që mund të jetë një nga operandët, janë gjithashtu të ngjashme me shumëzimin algjebrik me zero ose një dhe mbledhjen me një:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotenca na tregon se nëse, në lidhje me dy operandë të barabartë, rezultati i një operacioni rezulton të jetë i ngjashëm, atëherë ne mund t'i "hedhim" operandët shtesë që ndërlikojnë rrjedhën e arsyetimit. Si lidhja ashtu edhe disjunksioni janë operacione idempotente.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorbimi na lejon gjithashtu të thjeshtojmë ekuacionet. Absorbimi thotë se kur një veprim tjetër me të njëjtin element zbatohet në një shprehje me një operand, rezultati është operandi nga operacioni absorbues.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Sekuenca e veprimeve
Sekuenca e veprimeve nuk ka rëndësi të vogël. Në fakt, për sa i përket algjebrës, ekziston një përparësi funksionesh që përdor algjebra e Bulit. Formulat mund të thjeshtohen vetëm nëse vërehet rëndësia e operacioneve. Duke u renditur nga më e rëndësishmja tek më e vogla, marrim sekuencën e mëposhtme:
1. Mohimi.
2. Lidhëza.
3. Disjunction, ekskluziveOSE.
4. Implikimi, ekuivalenca.
Siç mund ta shihni, vetëm mohimi dhe lidhja nuk kanë përparësi të barabartë. Dhe përparësia e ndarjes dhe XOR janë të barabarta, si dhe përparësitë e nënkuptimit dhe ekuivalencës.
Funksionet e nënkuptimit dhe ekuivalencës
Siç kemi thënë tashmë, përveç veprimeve bazë logjike, logjika matematikore dhe teoria e algoritmeve përdorin derivate. Më të përdorurat janë implikimi dhe ekuivalenca.
Ndikimi, ose pasoja logjike, është një deklaratë në të cilën një veprim është kusht dhe tjetri është pasojë e zbatimit të tij. Me fjalë të tjera, kjo është një fjali me parafjalë "nëse … atëherë". "Nëse ju pëlqen të hipni, pëlqeni të mbani sajë." Kjo është, për ski, ju duhet të shtrëngoni sajë deri në kodër. Nëse nuk ka dëshirë për të lëvizur poshtë malit, atëherë nuk keni pse të mbani sajë. Është shkruar kështu: A→B ose A⇒B.
Ekuivalenca supozon se veprimi që rezulton ndodh vetëm kur të dy operandët janë të vërtetë. Për shembull, nata kthehet në ditë kur (dhe vetëm kur) dielli lind mbi horizont. Në gjuhën e logjikës matematikore, ky pohim shkruhet si më poshtë: A≡B, A⇔B, A==B.
Ligje të tjera të algjebrës së Bulit
Algjebra e gjykimeve po zhvillohet dhe shumë shkencëtarë të interesuar kanë formuluar ligje të reja. Postulatet e matematikanit skocez O. de Morgan konsiderohen më të famshmit. Ai vuri re dhe përcaktoi veti të tilla si mohimi i ngushtë, plotësimi dhe mohimi i dyfishtë.
Mohimi i ngushtë do të thotë që nuk ka mohim para kllapave:jo (A ose B)=jo A ose JO B.
Kur një operand mohohet, pavarësisht nga vlera e tij, flitet për një plotësues:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Dhe së fundi, mohimi i dyfishtë kompenson vetveten. ato. ose mohimi zhduket para operandit, ose mbetet vetëm një.
Si të zgjidhim teste
Logjika matematikore nënkupton thjeshtimin e ekuacioneve të dhëna. Ashtu si në algjebër, së pari duhet ta bëni kushtin sa më të lehtë (të hiqni qafe hyrjet dhe operacionet komplekse me to) dhe më pas të filloni të kërkoni përgjigjen e duhur.
Çfarë mund të bëhet për të thjeshtuar? Konvertoni të gjitha operacionet e prejardhura në ato të thjeshta. Pastaj hapni të gjitha kllapat (ose anasjelltas, nxirreni nga kllapat për të shkurtuar këtë element). Hapi tjetër duhet të jetë zbatimi i vetive të algjebrës së Bulit në praktikë (përthithja, vetitë e zeros dhe njës, etj.).
Përfundimisht, ekuacioni duhet të përbëhet nga numri minimal i të panjohurave të kombinuara nga operacione të thjeshta. Mënyra më e lehtë për të gjetur një zgjidhje është të arrini një numër të madh negativësh të afërt. Pastaj përgjigja do të shfaqet sikur më vete.
