Tema “Progresioni aritmetik” studiohet në lëndën e përgjithshme të algjebrës në shkollat e klasës së 9-të. Kjo temë është e rëndësishme për studimin e mëtejshëm të thelluar të matematikës së serive të numrave. Në këtë artikull do të njihemi me progresionin aritmetik, ndryshimin e tij, si dhe me detyrat tipike me të cilat mund të përballen nxënësit e shkollës.
Koncepti i progresionit algjebrik
Progresioni numerik është një sekuencë numrash në të cilën çdo element pasues mund të merret nga ai i mëparshmi, nëse zbatohet ndonjë ligj matematikor. Ekzistojnë dy lloje të thjeshta të progresionit: gjeometrik dhe aritmetik, i cili gjithashtu quhet algjebrik. Le të ndalemi në të më në detaje.
Le të imagjinojmë një numër racional, ta shënojmë me simbolin a1, ku indeksi tregon numrin rendor të tij në serinë në shqyrtim. Le të shtojmë një numër tjetër në një 1 , le ta shënojmë atë d. Pastaj e dytanjë element i një serie mund të pasqyrohet si më poshtë: a2=a1+d. Tani shtoni d përsëri, marrim: a3=a2+d. Duke vazhduar këtë veprim matematikor, ju mund të merrni një seri të tërë numrash, të cilët do të quhen një progresion aritmetik.
Siç mund të kuptohet nga sa më sipër, për të gjetur elementin e n-të të kësaj sekuence, duhet të përdorni formulën: a =a1+ (n -1)d. Në të vërtetë, duke zëvendësuar n=1 në shprehjen, marrim një1=a1, nëse n=2, atëherë formula nënkupton: a2=a1 + 1d, e kështu me radhë.
Për shembull, nëse diferenca e një progresioni aritmetik është 5, dhe a1=1, atëherë kjo do të thotë se seria e numrave të llojit në fjalë duket si: 1, 6, 11, 16, 21, … Siç mund ta shihni, secili prej termave të tij është më i madh se ai i mëparshmi me 5.
Formulat për diferencën e progresionit aritmetik
Nga përkufizimi i mësipërm i serisë së konsideruar të numrave, rrjedh se për ta përcaktuar atë, duhet të dini dy numra: a1 dhe d. Kjo e fundit quhet dallimi i këtij progresioni. Ajo përcakton në mënyrë unike sjelljen e të gjithë serisë. Në të vërtetë, nëse d është pozitive, atëherë seria e numrave do të rritet vazhdimisht, përkundrazi, në rastin e d negative, numrat në seri do të rriten vetëm modul, ndërsa vlera e tyre absolute do të ulet me rritjen e numrit n.
Cili është ndryshimi i progresionit aritmetik? Merrni parasysh dy formulat kryesore që përdoren për të llogaritur këtë vlerë:
- d=an+1-a , kjo formulë rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i serisë së numrave në fjalë.
- d=(-a1+a)/(n-1), kjo shprehje përftohet duke shprehur d nga formula e dhënë në paragrafin e mëparshëm të artikullit. Vini re se kjo shprehje bëhet e pacaktuar (0/0) nëse n=1. Kjo për faktin se është e nevojshme të njihen të paktën 2 elementë të serisë për të përcaktuar ndryshimin e saj.
Këto dy formula bazë përdoren për të zgjidhur çdo problem të gjetjes së ndryshimit të progresionit. Megjithatë, ekziston një formulë tjetër për të cilën duhet të dini gjithashtu.
Shuma e elementeve të parë
Formula që mund të përdoret për të përcaktuar shumën e çdo numri anëtarësh të një progresion algjebrik, sipas dëshmive historike, u mor për herë të parë nga "princi" i matematikës i shekullit të 18-të, Carl Gauss. Një shkencëtar gjerman, ndërsa ishte ende djalë në klasat fillore të një shkolle fshati, vuri re se për të shtuar numrat natyrorë në seri nga 1 në 100, fillimisht duhet të mblidhni elementin e parë dhe të fundit (vlera që rezulton do të jetë e barabartë me shumën e elementeve të parafundit dhe të dytë, të parafundit dhe të tretë, e kështu me radhë), dhe më pas ky numër duhet të shumëzohet me numrin e këtyre shumave, domethënë me 50.
Formula që pasqyron rezultatin e deklaruar në një shembull të caktuar mund të përgjithësohet në një rast arbitrar. Do të duket kështu: S =n/2(a +a1). Vini re se për të gjetur vlerën e specifikuar, nuk kërkohet njohuri për ndryshimin d,nëse dihen dy terma të progresionit (a dhe a1).
Shembulli 1. Përcaktoni ndryshimin, duke ditur dy termat e serisë a1 dhe an
Le të tregojmë se si të zbatojmë formulat e përmendura më sipër në artikull. Le të japim një shembull të thjeshtë: diferenca e progresionit aritmetik është e panjohur, është e nevojshme të përcaktohet se me çfarë do të jetë e barabartë nëse a13=-5, 6 dhe a1 =-12, 1.
Meqenëse i dimë vlerat e dy elementeve të sekuencës numerike dhe njëri prej tyre është numri i parë, mund të përdorim formulën nr. 2 për të përcaktuar ndryshimin d. Kemi: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Në shprehje kemi përdorur vlerën n=13, pasi anëtari me këtë numër serial është i njohur.
Diferenca që rezulton tregon se progresioni është në rritje, pavarësisht se elementët e dhënë në kushtin e problemit kanë një vlerë negative. Mund të shihet se a13>a1, megjithëse |a13|<|a 1 |.
Shembulli 2. Anëtarët pozitivë të progresionit në shembullin 1
Le të përdorim rezultatin e marrë në shembullin e mëparshëm për të zgjidhur një problem të ri. Formulohet si më poshtë: nga cili numër sekuence elementet e progresionit në shembullin 1 fillojnë të marrin vlera pozitive?
Siç tregohet, progresioni në të cilin a1=-12, 1 dhe d=0. 54167 po rritet, kështu që nga disa numra numrat do të fillojnë të marrin vetëm pozitiv vlerat. Për të përcaktuar këtë numër n, duhet të zgjidhet një pabarazi e thjeshtë, e cila ështëshkruhet matematikisht si më poshtë: a >0 ose, duke përdorur formulën e duhur, rishkruajmë pabarazinë: a1 + (n-1)d>0. Është e nevojshme të gjejmë të panjohurën n, le ta shprehim atë: n>-1a1/d + 1. Tani mbetet të zëvendësojmë vlerat e njohura të diferencës dhe anëtarit të parë të sekuencës. Marrim: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ose n>23, 338. Meqenëse n mund të marrë vetëm vlera të plota, rrjedh nga pabarazia që rezulton se çdo anëtar i serisë që do të kesh një numër më të madh se 23 do të jetë pozitiv.
Kontrollo përgjigjen duke përdorur formulën e mësipërme për të llogaritur elementët e 23-të dhe të 24-të të këtij progresioni aritmetik. Kemi: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (numër negativ); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (vlera pozitive). Kështu, rezultati i marrë është i saktë: duke filluar nga n=24, të gjithë anëtarët e serisë së numrave do të jenë më të mëdhenj se zero.
Shembulli 3. Sa shkrime do të përshtaten?
Le të japim një problem kurioz: gjatë prerjeve, u vendos që të grumbulloheshin trungjet e sharruara njëri mbi tjetrin, siç tregohet në figurën më poshtë. Sa shkrime mund të grumbullohen në këtë mënyrë, duke ditur që gjithsej do të përshtaten 10 rreshta?
Në këtë mënyrë të grumbullimit të regjistrave, mund të vëreni një gjë interesante: çdo rresht pasues do të përmbajë një regjistër më pak se ai i mëparshmi, domethënë ka një progresion algjebrik, ndryshimi i të cilit është d=1. Duke supozuar se numri i regjistrave në çdo rresht është një anëtar i këtij progresi,dhe gjithashtu duke pasur parasysh se a1=1 (vetëm një regjistër do të përshtatet në krye), gjejmë numrin a10. Kemi: a10=1 + 1(10-1)=10. Domethënë, në rreshtin e 10-të, që shtrihet në tokë, do të ketë 10 trungje.
Sasia totale e këtij konstruksioni "piramidal" mund të merret duke përdorur formulën Gauss. Ne marrim: S10=10/2(10+1)=55 regjistra.
