Kur përgatiten për provimin në matematikë, studentët duhet të sistemojnë njohuritë e tyre për algjebrën dhe gjeometrinë. Unë do të doja të kombinoja të gjitha informacionet e njohura, për shembull, si të llogarisni sipërfaqen e një piramide. Për më tepër, duke filluar nga baza dhe faqet anësore deri në të gjithë sipërfaqen. Nëse situata është e qartë me faqet anësore, pasi ato janë trekëndësha, atëherë baza është gjithmonë e ndryshme.
Si të gjejmë sipërfaqen e bazës së piramidës?
Mund të jetë absolutisht çdo formë: nga një trekëndësh arbitrar në një kënd n. Dhe kjo bazë, përveç ndryshimit në numrin e këndeve, mund të jetë një figurë e rregullt ose e pasaktë. Në detyrat USE me interes për nxënësit e shkollës, ka vetëm detyra me figurat e sakta në bazë. Prandaj, ne do të flasim vetëm për to.
Trekëndësh i rregullt
Kjo është barabrinjës. Një në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe shënohen me shkronjën "a". Në këtë rast, sipërfaqja e bazës së piramidës llogaritet me formulën:
S=(a2√3) / 4.
Sheshi
Formula për llogaritjen e sipërfaqes së saj është më e thjeshta,këtu "a" është përsëri ana:
S=a2.
N-gon i rregullt arbitrar
Banja e një shumëkëndëshi ka të njëjtin emërtim. Për numrin e qosheve, përdoret shkronja latine n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Si të llogarisni sipërfaqen anësore dhe totale?
Meqenëse baza është një figurë e rregullt, të gjitha anët e piramidës janë të barabarta. Për më tepër, secila prej tyre është një trekëndësh izosceles, pasi skajet anësore janë të barabarta. Pastaj, për të llogaritur zonën anësore të piramidës, ju nevojitet një formulë e përbërë nga shuma e monomëve identikë. Numri i termave përcaktohet nga numri i anëve të bazës.
Sipërfaqja e një trekëndëshi dykëndësh llogaritet me formulën në të cilën gjysma e prodhimit të bazës shumëzohet me lartësinë. Kjo lartësi në piramidë quhet apotemë. Emërtimi i tij është "A". Formula e përgjithshme për sipërfaqen anësore është:
S=½ PA, ku P është perimetri i bazës së piramidës.
Ka situata kur anët e bazës nuk dihen, por jepen skajet anësore (c) dhe këndi i sheshtë në kulmin e saj (α). Pastaj supozohet të përdoret kjo formulë për të llogaritur sipërfaqen anësore të piramidës:
S=n/2në2 mëkat α.
Problemi 1
Gjendja. Gjeni sipërfaqen e përgjithshme të piramidës nëse baza e saj është një trekëndësh barabrinjës me brinjë 4 cm dhe apotema është √3 cm.
Vendim. E tijJu duhet të filloni duke llogaritur perimetrin e bazës. Meqenëse ky është një trekëndësh i rregullt, atëherë P \u003d 34 \u003d 12 cm. Meqenëse apotema dihet, mund të llogaritni menjëherë sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes anësore: ½12√3=6 √3 cm 2.
Për një trekëndësh në bazë, ju merrni vlerën e mëposhtme të zonës: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Për të përcaktuar sipërfaqen totale, duhet të shtoni dy vlerat që rezultojnë: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Përgjigje. 10√3cm2.
Problemi 2
Gjendja. Ekziston një piramidë e rregullt katërkëndore. Gjatësia e anës së bazës është 7 mm, buza anësore është 16 mm. Duhet të dini sipërfaqen e saj.
Vendim. Meqenëse poliedri është katërkëndor dhe i rregullt, atëherë baza e tij është një katror. Pasi të keni mësuar zonat e bazës dhe faqet anësore, do të jetë e mundur të llogaritet sipërfaqja e piramidës. Formula për katrorin është dhënë më sipër. Dhe në faqet anësore, të gjitha anët e trekëndëshit janë të njohura. Prandaj, mund të përdorni formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqet e tyre.
Llogaritjet e para janë të thjeshta dhe çojnë në këtë numër: 49 mm2. Për vlerën e dytë, do t'ju duhet të llogaritni gjysmë-perimetrin: (7 + 162): 2=19,5 mm. Tani mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Ekzistojnë vetëm katër trekëndësha të tillë, kështu që kur llogaritni numrin përfundimtar, do t'ju duhet ta shumëzoni atë me 4.
Rezulton: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Përgjigje. Vlera e deshiruar 267, 576mm2.
Problemi 3
Gjendja. Për një piramidë të rregullt katërkëndore, duhet të llogaritni sipërfaqen. Ai njeh faqen e katrorit - 6 cm dhe lartësinë - 4 cm.
Vendim. Mënyra më e lehtë është përdorimi i formulës me produktin e perimetrit dhe apotemës. Vlera e parë është e lehtë për t'u gjetur. E dyta është pak më e vështirë.
Do të duhet të kujtojmë teoremën e Pitagorës dhe të marrim parasysh një trekëndësh kënddrejtë. Formohet nga lartësia e piramidës dhe apotema, e cila është hipotenuza. Këmba e dytë është e barabartë me gjysmën e anës së katrorit, pasi lartësia e poliedrit bie në mes.
Apotema e dëshiruar (hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë) është √(32 + 42)=5 (cm).
Tani mund të llogarisni vlerën e kërkuar: ½(46)5+62=96 (shih2
Përgjigje. 96 cm2.
Problemi 4
Gjendja. Jepet një piramidë e rregullt gjashtëkëndore. Anët e bazës së saj janë 22 mm, brinjët anësore janë 61 mm. Sa është sipërfaqja anësore e këtij poliedri?
Vendim. Arsyetimi në të është i njëjtë me atë të përshkruar në problemin nr. 2. Vetëm aty iu dha një piramidë me një katror në bazë, dhe tani është një gjashtëkëndësh.
Së pari, sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Tani duhet të zbuloni gjysmëperimetrin e një trekëndëshi dykëndësh, që është faqja anësore. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Mbetet për të llogaritur sipërfaqen e secilëstrekëndësh, dhe më pas shumëzojeni me gjashtë dhe shtojeni me atë që doli për bazën.
Llogaritja sipas formulës së Heronit: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Llogaritjet që do të japin sipërfaqen anësore: 6606=3960 cm2. Mbetet t'i mbledhim ato për të gjetur të gjithë sipërfaqen: 5217, 47≈5217 cm2.
Përgjigje. Baza - 726√3cm2, sipërfaqja anësore - 3960cm2, sipërfaqja totale - 5217cm2.
