Çfarë janë variablat? Ndryshore në matematikë

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Rëndësia e variablave në matematikë është e madhe, sepse gjatë ekzistencës së saj, shkencëtarët arritën të bëjnë shumë zbulime në këtë fushë, dhe për të shprehur shkurtimisht dhe qartë këtë apo atë teoremë, ne përdorim variabla për të shkruar formulat përkatëse.. Për shembull, teorema e Pitagorës në një trekëndësh kënddrejtë: a² =b² + c^{2. Si të shkruajmë çdo herë kur zgjidhim një problem: sipas teoremës së Pitagorës, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve - ne e shkruajmë këtë me një formulë dhe gjithçka bëhet menjëherë e qartë.}

Pra, ky artikull do të diskutojë se cilat janë variablat, llojet dhe vetitë e tyre. Do të merren parasysh edhe shprehje të ndryshme matematikore: pabarazitë, formula, sisteme dhe algoritme për zgjidhjen e tyre.

Koncepti i ndryshueshëm

Së pari, çfarë është një ndryshore? Kjo është një vlerë numerike që mund të marrë shumë vlera. Nuk mund të jetë konstante, pasi në problema dhe ekuacione të ndryshme, për lehtësi, marrim zgjidhje sivariabël numra të ndryshëm, domethënë, për shembull, z është një emërtim i përgjithshëm për secilën nga sasitë për të cilat është marrë. Zakonisht ato shënohen me shkronja të alfabetit latin ose grek (x, y, a, b, e kështu me radhë).

Ka lloje të ndryshme variablash. Ata vendosin të dy sasitë fizike - rrugën (S), kohën (t), dhe thjesht vlera të panjohura në ekuacione, funksione dhe shprehje të tjera.

Për shembull, ekziston një formulë: S=Vt. Këtu, variablat tregojnë sasi të caktuara që lidhen me botën reale - rrugën, shpejtësinë dhe kohën.

Dhe ka një ekuacion të formës: 3x - 16=12x. Këtu, x tashmë është marrë si një numër abstrakt që ka kuptim në këtë shënim.

Llojet e sasive

Sasi do të thotë diçka që shpreh vetitë e një objekti, lënde ose dukurie të caktuar. Për shembull, temperatura e ajrit, pesha e një kafshe, përqindja e vitaminave në një tabletë - të gjitha këto janë sasi, vlerat numerike të të cilave mund të llogariten.

Çdo sasi ka njësitë e veta të matjes, të cilat së bashku formojnë një sistem. Quhet sistemi i numrave (SI).

Çfarë janë variablat dhe konstantet? Shqyrtoni ato me shembuj specifik.

Le të marrim lëvizje uniforme drejtvizore. Një pikë në hapësirë lëviz çdo herë me të njëjtën shpejtësi. Kjo do të thotë, koha dhe distanca ndryshojnë, por shpejtësia mbetet e njëjtë. Në këtë shembull, koha dhe distanca janë variabla dhe shpejtësia është konstante.

Ose, për shembull, "pi". Ky është një numër irracional që vazhdon pa u përsëriturnjë sekuencë shifrash dhe nuk mund të shkruhet e plotë, kështu që në matematikë shprehet me një simbol të pranuar përgjithësisht që merr vetëm vlerën e një fraksioni të dhënë të pafund. Kjo do të thotë, "pi" është një vlerë konstante.

Histori

Historia e shënimit të variablave fillon në shekullin e shtatëmbëdhjetë me shkencëtarin René Descartes.

Ai caktoi vlerat e njohura me shkronjat e para të alfabetit: a, b e kështu me radhë, dhe për të panjohurën sugjeroi përdorimin e shkronjave të fundit: x, y, z. Vlen të përmendet se Dekarti i konsideronte variabla të tillë si numra jonegativë dhe kur përballej me parametra negativë, ai vendoste një shenjë minus përpara ndryshores ose, nëse nuk dihej se çfarë shenje ishte numri, një elipsë. Por me kalimin e kohës, emrat e variablave filluan të tregojnë numra të çdo shenje, dhe kjo filloi me matematikanin Johann Hudde.

Me variabla, llogaritjet në matematikë janë më të lehta për t'u zgjidhur, sepse, për shembull, si t'i zgjidhim ekuacionet bikuadratike tani? Ne futim një ndryshore. Për shembull:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Për x2 marrim disa k, dhe ekuacioni bëhet i qartë:

x2=k, për k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Kjo është ajo që futja e variablave sjell në matematikë.

Pabarazitë, shembuj zgjidhjesh

Një pabarazi është një rekord në të cilin dy shprehje matematikore ose dy numra lidhen me shenja krahasimi:, ≦, ≧. Ato janë strikte dhe tregohen me shenja ose jo të rrepta me shenjat ≦, ≧.

Për herë të parë paraqiten këto shenjaThomas Harriot. Pas vdekjes së Thomas, libri i tij me këto shënime u botua, matematikanët i pëlqyen dhe me kalimin e kohës u përdorën gjerësisht në llogaritjet matematikore.

Ka disa rregulla që duhen ndjekur kur zgjidhen pabarazitë e një ndryshoreje:

Kur transferoni një numër nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën, ndryshoni shenjën e tij në të kundërtën.
Kur shumëzohen ose pjesëtohen pjesët e një pabarazie me një numër negativ, shenjat e tyre janë të kundërta.
Nëse shumëzoni ose pjesëtoni të dyja anët e pabarazisë me një numër pozitiv, ju merrni një pabarazi të barabartë me atë origjinal.

Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh të gjitha vlerat e vlefshme për një ndryshore.

Shembull i variablit të vetëm:

10x - 50 > 150

E zgjidhim si një ekuacion linear normal - i lëvizim termat me një ndryshore në të majtë, pa një ndryshore - në të djathtë dhe japim terma të ngjashëm:

10x > 200

Ndajmë të dyja anët e pabarazisë me 10 dhe marrim:

x > 20

Për qartësi, në shembullin e zgjidhjes së një pabarazie me një ndryshore, vizatoni një vijë numerike, shënoni pikën e shpuar 20 mbi të, pasi pabarazia është e rreptë dhe ky numër nuk përfshihet në grupin e zgjidhjeve të tij..

Zgjidhja e kësaj pabarazie është intervali (20; +∞).

Zgjidhja e një pabarazie jo strikte kryhet në të njëjtën mënyrë si një e rreptë:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Por ka një përjashtim. Një rekord i formës x ≧ 5 duhet kuptuar si më poshtë: x është më i madh ose i barabartë me pesë, që do të thotënumri pesë përfshihet në grupin e të gjitha zgjidhjeve të pabarazisë, domethënë kur shkruajmë përgjigjen vendosim një kllapë katrore para numrit pesë.

x ∈ [5; +∞)

Pabarazitë katrore

Nëse marrim një ekuacion kuadratik të formës ax2 + bx +c=0 dhe ndryshojmë shenjën e barazimit në shenjën e pabarazisë në të, atëherë në përputhje me rrethanat do të marrim një pabarazi kuadratike.

Për të zgjidhur një pabarazi kuadratike, duhet të jeni në gjendje të zgjidhni ekuacionet kuadratike.

y=ax2 + bx + c është një funksion kuadratik. Mund ta zgjidhim duke përdorur diskriminuesin, ose duke përdorur teoremën Vieta. Kujtoni se si zgjidhen këto ekuacione:

1) y=x2 + 12x + 11 - funksioni është një parabolë. Degët e tij janë të drejtuara lart, pasi shenja e koeficientit "a" është pozitive.

2) x2 + 12x + 11=0 - barazohet me zero dhe zgjidh duke përdorur diskriminuesin.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 rrënjë

Sipas formulës së rrënjëve të ekuacionit kuadratik, marrim:

x₁ =-1, x_2=-11

Ose mund ta zgjidhni këtë ekuacion duke përdorur teoremën Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Duke përdorur metodën e përzgjedhjes, marrim të njëjtat rrënjë të ekuacionit.

Parabola

Pra, mënyra e parë për të zgjidhur një pabarazi kuadratike është një parabolë. Algoritmi për zgjidhjen e tij është si më poshtë:

1. Përcaktoni se ku janë drejtuar degët e parabolës.

2. Barazoni funksionin me zero dhe gjeni rrënjët e ekuacionit.

3. Ndërtojmë një vijë numerike, shënojmë rrënjët në të, vizatojmë një parabolë dhe gjejmë boshllëkun që na nevojitet, në varësi të shenjës së pabarazisë.

Zgjidhni pabarazinë x2 + x - 12 > 0

Shkruaj si funksion:

1) y=x2 + x - 12 - parabolë, degëzohet lart.

Vendos në zero.

2) x2 + x -12=0

Më pas, zgjidhim si ekuacion kuadratik dhe gjejmë zerot e funksionit:

x₁ =3, x_2=-4

3) Vizatoni një vijë numerike me pikat 3 dhe -4 mbi të. Parabola do të kalojë nëpër to, do të degëzohet dhe përgjigja ndaj pabarazisë do të jetë një grup vlerash pozitive, domethënë (-∞; -4), (3; +∞).

Metoda e intervalit

Mënyra e dytë është metoda e ndarjes. Algoritmi për zgjidhjen e tij:

1. Gjeni rrënjët e ekuacionit për të cilin mosbarazimi është i barabartë me zero.

2. I shënojmë në vijën numerike. Kështu, ajo ndahet në disa intervale.

3. Përcaktoni shenjën e çdo intervali.

4. Ne vendosim tabela në intervalet e mbetura, duke i ndryshuar ato pas një.

Zgjidhni pabarazinë (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Pabarazia zero: 4, 5 dhe -7.

2) Vizato ato në vijën numerike.

3) Përcaktoni shenjat e intervaleve.

Përgjigje: (-∞; -7]; [4; 5].

Zgjidh një pabarazi më shumë: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Pabarazi zero: 0, 2, -2 dhe 1.

2. Shënojini ato në vijën numerike.

3. Përcaktoni shenjat e intervalit.

Rreshti ndahet në intervale - nga -2 në 0, nga 0 në 1, nga 1 në 2.

Merrni vlerën në intervalin e parë - (-1). Zëvendësimi në pabarazi. Me këtë vlerë, pabarazia bëhet pozitive, që do të thotë se shenja në këtë interval do të jetë +.

Më tej, duke filluar nga boshllëku i parë, renditim tabelat duke i ndryshuar ato pas një.

Pabarazia është më e madhe se zero, domethënë, ju duhet të gjeni një grup vlerash pozitive në vijë.

Përgjigje: (-2; 0), (1; 2).

Sistemet e ekuacioneve

Një sistem ekuacionesh me dy ndryshore janë dy ekuacione të bashkuara nga një mbajtës kaçurrelë për të cilin është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët.

Sistemet mund të jenë ekuivalente nëse zgjidhja e përgjithshme e njërit prej tyre është zgjidhja e tjetrit, ose të dyja nuk kanë zgjidhje.

Do të studiojmë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve me dy ndryshore. Ka dy mënyra për t'i zgjidhur ato - metoda e zëvendësimit ose metoda algjebrike.

Metodë algjebrike

Për të zgjidhur sistemin e paraqitur në figurë duke përdorur këtë metodë, fillimisht duhet të shumëzoni një pjesë të tij me një numër të tillë, në mënyrë që më vonë të mund të anuloni reciprokisht një ndryshore nga të dyja pjesët e ekuacionit. Këtu ne shumëzojmë me tre, vizatojmë një vijë nën sistem dhe mbledhim pjesët e tij. Si rezultat, x-të bëhen identike në modul, por të kundërta në shenjë, dhe ne i zvogëlojmë ato. Më pas, marrim një ekuacion linear me një ndryshore dhe e zgjidhim atë.

Kemi gjetur Y, por nuk mund të ndalemi me kaq, sepse nuk e kemi gjetur ende X. ZëvendësuesY në pjesën nga e cila do të jetë e përshtatshme për të tërhequr X, për shembull:

-x + 5y=8, me y=1

-x + 5=8

Zgjidhni ekuacionin që rezulton dhe gjeni x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Gjëja kryesore në zgjidhjen e sistemit është të shkruani saktë përgjigjen. Shumë studentë bëjnë gabim duke shkruar:

Përgjigje: -3, 1.

Por kjo është një hyrje e gabuar. Në fund të fundit, siç u përmend më lart, kur zgjidhim një sistem ekuacionesh, ne po kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për pjesët e tij. Përgjigja e saktë do të ishte:

(-3; 1)