Mjaft shpesh në shkencën matematikore ka një sërë vështirësish dhe pyetjesh, dhe shumë prej përgjigjeve nuk janë gjithmonë të qarta. Asnjë përjashtim nuk ishte një temë e tillë si kardinaliteti i grupeve. Në fakt, kjo nuk është gjë tjetër veçse një shprehje numerike e numrit të objekteve. Në një kuptim të përgjithshëm, një grup është një aksiomë; nuk ka përkufizim. Ai bazohet në çdo objekt, ose më saktë grupin e tyre, i cili mund të jetë bosh, i fundëm ose i pafund. Përveç kësaj, ai përmban numra të plotë ose natyrorë, matrica, sekuenca, segmente dhe rreshta.
Rreth variablave ekzistues
Një grup null ose bosh pa vlerë të brendshme konsiderohet një element kryesor sepse është një nëngrup. Mbledhja e të gjitha nëngrupeve të një bashkësie jo bosh S është një grup bashkësive. Kështu, grupi i fuqisë i një grupi të caktuar konsiderohet të jetë i shumtë, i imagjinueshëm, por i vetëm. Kjo bashkësi quhet bashkësia e fuqive të S dhe shënohet me P (S). Nëse S përmban N elementë, atëherë P(S) përmban 2^n nënbashkësi, pasi një nëngrup i P(S) është ose ∅ ose një nëngrup që përmban r elemente nga S, r=1, 2, 3, … Përbëhet nga çdo gjë e pafundmegrupi M quhet sasi fuqie dhe simbolikisht shënohet me P (M).
Elementet e teorisë së grupeve
Kjo fushë e njohurive u zhvillua nga George Cantor (1845-1918). Sot përdoret pothuajse në të gjitha degët e matematikës dhe shërben si pjesë themelore e saj. Në teorinë e bashkësive, elementët përfaqësohen në formën e një liste dhe jepen sipas llojeve (bashkësi boshe, njëshe, bashkësi të fundme dhe të pafundme, të barabarta dhe ekuivalente, universale), bashkim, kryqëzim, ndryshim dhe mbledhje numrash. Në jetën e përditshme shpesh flasim për një koleksion objektesh si një tufë çelësash, një tufë zogjsh, një paketë letrash, etj. Në klasën e matematikës 5 e më tej, ka numra natyrorë, të plotë, të thjeshtë dhe të përbërë.
Mund të merren parasysh grupet e mëposhtme:
- numrat natyrorë;
- shkronjat e alfabetit;
- shanset kryesore;
- trekëndësha me brinjë të ndryshme.
Mund të shihet se këta shembuj të specifikuar janë grupe objektesh të përcaktuara mirë. Shqyrtoni disa shembuj të tjerë:
- pesë shkencëtarët më të famshëm në botë;
- shtatë vajza të bukura në shoqëri;
- tre kirurgët më të mirë.
Këta shembuj kardinaliteti nuk janë koleksione objektesh të përcaktuara mirë, sepse kriteret për "më të famshmit", "më të bukurat", "më të mirët" ndryshojnë nga personi në person.
Sets
Kjo vlerë është një numër i mirëpërcaktuar objektesh të ndryshme. Duke supozuar se:
- bashkësia e fjalëve është sinonim, agregat, klasë dhe përmban elemente;
- objektet, anëtarët janë terma të barabartë;
- zakonisht shënohen me shkronja të mëdha A, B, C;
- elementet e grupit përfaqësohen me shkronja të vogla a, b, c.
grupet
Nëse "a" është një element i bashkësisë A, atëherë thuhet se "a" i përket A. Le të shënojmë togfjalëshin "i përket" me karakterin grek "∈" (epsilon). Kështu, rezulton se a ∈ A. Nëse 'b' është një element që nuk i përket A, ai përfaqësohet si b ∉ A. Disa grupe të rëndësishme të përdorura në matematikën e klasës 5 përfaqësohen duke përdorur tre metodat e mëposhtme:
- aplikacione;
- regjistra ose tabelare;
- rregull për krijimin e një formacioni.
Në ekzaminim më të afërt, formulari i aplikimit bazohet në sa vijon. Në këtë rast, jepet një përshkrim i qartë i elementeve të grupit. Ata janë të gjithë të mbyllur në mbajtëse kaçurrelë. Për shembull:
- bashkësi me numra tek më pak se 7 - shkruar si {më pak se 7};
- një grup numrash më të mëdhenj se 30 dhe më pak se 55;
- numri i nxënësve në një klasë që peshojnë më shumë se mësuesi.
Në formularin e regjistrit (tabela), elementet e një grupi renditen brenda një çifti kllapash {} dhe ndahen me presje. Për shembull:
- Le të tregojë N bashkësinë e pesë numrave të parë natyrorë. Prandaj, N=→ formulari i regjistrimit
- Set i të gjitha zanoreve të alfabetit anglez. Prandaj V={a, e, i, o, u, y} → formulari i regjistrimit
- Bashkimi i të gjithë numrave tek është më i vogël se 9. Prandaj, X={1, 3, 5, 7} → formaregjistri
- Set i të gjitha shkronjave në fjalën "Math". Prandaj, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formulari i Regjistrit
- W është grupi i katër muajve të fundit të vitit. Prandaj, W={Shtator, Tetor, Nëntor, Dhjetor} → regjistri.
Vini re se radha në të cilën janë renditur elementët nuk ka rëndësi, por ato nuk duhet të përsëriten. Një formë e vendosur ndërtimi, në një rast të caktuar, një rregull, formulë ose operator shkruhet në një palë kllapa në mënyrë që grupi të përcaktohet saktë. Në formën e ndërtuesit të grupeve, të gjithë elementët duhet të kenë të njëjtën veti për t'u bërë anëtar i vlerës në fjalë.
Në këtë formë të paraqitjes së grupit, një element i grupit përshkruhet me karakterin "x" ose ndonjë ndryshore tjetër të ndjekur nga një dy pika (":" ose "|" përdoret për të treguar). Për shembull, le të jetë P bashkësia e numrave të numërueshëm më të mëdhenj se 12. P në formën e ndërtuesit të grupeve shkruhet si - {numër i numërueshëm dhe më i madh se 12}. Do të lexohet në një mënyrë të caktuar. Kjo do të thotë, "P është një grup x elementësh të tillë që x është i numërueshëm dhe më i madh se 12."
Shembull i zgjidhur duke përdorur tre metoda të paraqitjes së grupeve: numri i numrave të plotë midis -2 dhe 3. Më poshtë janë shembuj të llojeve të ndryshme të bashkësive:
- Një grup bosh ose null që nuk përmban asnjë element dhe shënohet me simbolin ∅ dhe lexohet si phi. Në formën e listës, ∅ shkruhet {}. Bashkësia e fundme është bosh, pasi numri i elementeve është 0. Për shembull, grupi i vlerave të numrave të plotë është më i vogël se 0.
- Natyrisht që nuk duhet të ketë <0. Prandaj, kjogrup bosh.
- Një grup që përmban vetëm një variabël quhet një grup i vetëm. Nuk është as e thjeshtë as e përbërë.
Setë e fundme
Një grup që përmban një numër të caktuar elementesh quhet bashkësi e fundme ose e pafundme. Bosh i referohet të parës. Për shembull, një grup i të gjitha ngjyrave në ylber.
Infinity është një grup. Elementet në të nuk mund të numërohen. Kjo do të thotë, që përmban ndryshore të ngjashme quhet një grup i pafund. Shembuj:
- fuqia e grupit të të gjitha pikave në plan;
- bashkësi e të gjithë numrave të thjeshtë.
Por duhet të kuptoni se të gjitha kardinalitetet e bashkimit të një grupi nuk mund të shprehen në formën e një liste. Për shembull, numrat realë, pasi elementët e tyre nuk korrespondojnë me ndonjë model të veçantë.
Numri kardinal i një grupi është numri i elementeve të ndryshëm në një sasi të caktuar A. Shënohet n (A).
Për shembull:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Prandaj, n (A)=4.
- B=grup shkronjash në fjalën ALGEBRA.
Grupe ekuivalente për krahasimin e grupeve
Dy kardinalitete të një bashkësie A dhe B janë të tilla nëse numri i tyre kardinal është i njëjtë. Simboli për grupin ekuivalent është "↔". Për shembull: A ↔ B.
Komplete të barabarta: dy kardinalitete të grupeve A dhe B nëse përmbajnë të njëjtat elementë. Çdo koeficient nga A është një variabël nga B, dhe secili nga B është vlera e specifikuar e A. Prandaj, A=B. Llojet e ndryshme të bashkimeve të kardinalitetit dhe përkufizimet e tyre shpjegohen duke përdorur shembujt e dhënë.
Esenca e fundshmërisë dhe pafundësisë
Cilat janë ndryshimet midis kardinalitetit të një bashkësie të fundme dhe një bashkësie të pafundme?
Vlera e parë ka emrin e mëposhtëm nëse është ose bosh ose ka një numër të kufizuar elementësh. Në një grup të kufizuar, një ndryshore mund të specifikohet nëse ka një numër të kufizuar. Për shembull, duke përdorur numrin natyror 1, 2, 3. Dhe procesi i listimit përfundon në disa N. Numri i elementeve të ndryshëm të numëruar në grupin e fundëm S shënohet me n (S). Quhet edhe rendi ose kardinal. Shënohet simbolikisht sipas parimit standard. Kështu, nëse grupi S është alfabeti rus, atëherë ai përmban 33 elementë. Është gjithashtu e rëndësishme të mbani mend se një element nuk ndodh më shumë se një herë në një grup.
Pafund në grup
Një grup quhet i pafund nëse elementët nuk mund të numërohen. Nëse ka një numër natyror të pakufizuar (domethënë të panumërueshëm) 1, 2, 3, 4 për çdo n. Një grup që nuk është i kufizuar quhet i pafund. Tani mund të diskutojmë shembuj të vlerave numerike në shqyrtim. Opsionet e vlerës së fundit:
- Le të Q={numrat natyrorë më të vegjël se 25}. Atëherë Q është një grup i kufizuar dhe n (P)=24.
- Le të jetë R={numrat e plotë midis 5 dhe 45}. Atëherë R është një grup i kufizuar dhe n (R)=38.
- Le të jetë S={moduli i numrave 9}. Atëherë S={-9, 9} është një grup i kufizuar dhe n (S)=2.
- Set i të gjithë njerëzve.
- Numri i të gjithë zogjve.
Shembuj të pafund:
- numri i pikave ekzistuese në aeroplan;
- numri i të gjitha pikave në segmentin e linjës;
- bashkësia e numrave të plotë pozitiv të pjesëtueshëm me 3 është e pafundme;
- të gjithë numrat e plotë dhe natyrorë.
Kështu, nga arsyetimi i mësipërm, është e qartë se si të bëhet dallimi midis grupeve të fundme dhe të pafundme.
Fuqia e grupit të vazhdimësisë
Nëse krahasojmë grupin dhe vlerat e tjera ekzistuese, atëherë grupit i bashkëngjitet një shtesë. Nëse ξ është universal dhe A është një nëngrup i ξ, atëherë komplementi i A është numri i të gjithë elementëve të ξ që nuk janë elementë të A. Në mënyrë simbolike, plotësimi i A në lidhje me ξ është A'. Për shembull, 2, 4, 5, 6 janë elementët e vetëm të ξ që nuk i përkasin A. Prandaj, A'={2, 4, 5, 6}
Një komplet me vazhdimësi kardinaliteti ka karakteristikat e mëposhtme:
- komplementi i sasisë universale është vlera boshe në fjalë;
- kjo ndryshore e grupit null është universale;
- shuma dhe plotësuesi i saj janë të ndarë.
Për shembull:
- Le të jetë numri i numrave natyrorë një bashkësi universale dhe A të jetë çift. Atëherë A '{x: x është një grup tek me të njëjtat shifra}.
- Let ξ=grup shkronjash në alfabet. A=grup bashkëtingëlloresh. Pastaj A '=numri i zanoreve.
- Plotësuesi i grupit universal është sasia boshe. Mund të shënohet me ξ. Atëherë ξ '=Tërësia e atyre elementeve që nuk përfshihen në ξ. Bashkësia boshe φ shkruhet dhe shënohet. Prandaj ξ=φ. Kështu, plotësimi i grupit universal është bosh.
Në matematikë, "vazhdimësia" përdoret ndonjëherë për të përfaqësuar një vijë reale. Dhe në përgjithësi, për të përshkruar objekte të ngjashme:
- vazhdimësi (në teorinë e grupeve) - rreshti real ose numri kardinal përkatës;
- lineare - çdo grup i renditur që ndan veçori të caktuara të një linje reale;
- kontinuum (në topologji) - hapësirë metrike e lidhur kompakte jo bosh (nganjëherë Hausdorff);
- hipoteza se asnjë bashkësi e pafundme nuk është më e madhe se numrat e plotë por më të vegjël se numrat realë;
- fuqia e vazhdimësisë është një numër kardinal që përfaqëson madhësinë e grupit të numrave realë.
Në thelb, një vazhdimësi (matje), teori ose modele që shpjegojnë kalimet graduale nga një gjendje në tjetrën pa ndonjë ndryshim të papritur.
Problemet e bashkimit dhe kryqëzimit
Dihet se kryqëzimi i dy ose më shumë grupeve është numri që përmban të gjithë elementët që janë të zakonshëm në këto vlera. Detyrat me fjalë në grupe zgjidhen për të marrë ide themelore se si të përdoren vetitë e bashkimit dhe kryqëzimit të grupeve. Zgjidhi problemet kryesore të fjalëve nësetet duken kështu:
Le të jenë A dhe B dy grupe të fundme. Ato janë të tilla që n (A)=20, n (B)=28 dhe n (A ∪ B)=36, gjeni n (A ∩ B)
Marrëdhënia në grupe duke përdorur diagramin e Venit:
- Bashkimi i dy bashkësive mund të përfaqësohet nga një zonë e hijezuar që përfaqëson A ∪ B. A ∪ B kur A dhe B janë bashkësi të shkëputura.
- Kryqëzimi i dy grupeve mund të përfaqësohet nga një diagram i Venit. Me zonën e hijezuar që përfaqëson A ∩ B.
- Dallimi midis dy grupeve mund të përfaqësohet nga diagramet e Venit. Me një zonë të hijezuar që përfaqëson A - B.
- Marrëdhënia midis tre grupeve duke përdorur një diagram të Venit. Nëse ξ përfaqëson një sasi universale, atëherë A, B, C janë tre nënbashkësi. Këtu të tre grupet mbivendosen.
Përmbledhja e informacionit të grupit
Kardinaliteti i një grupi përcaktohet si numri total i elementeve individuale në grup. Dhe vlera e fundit e specifikuar përshkruhet si numri i të gjitha nëngrupeve. Kur studiohen çështje të tilla, kërkohen metoda, metoda dhe zgjidhje. Pra, për kardinalitetin e një grupi, shembujt e mëposhtëm mund të shërbejnë si:
Le të A={0, 1, 2, 3}| |=4, ku | A | përfaqëson kardinalitetin e grupit A.
Tani mund të gjeni paketën tuaj të energjisë. Është gjithashtu mjaft e thjeshtë. Siç u tha tashmë, grupi i fuqisë vendoset nga të gjitha nëngrupet e një numri të caktuar. Pra, në thelb duhet të përcaktohen të gjitha variablat, elementët dhe vlerat e tjera të A-së,të cilat janë {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}..
Tani zbuloni fuqinë P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} i cili ka 16 elemente. Kështu, kardinaliteti i grupit A=16. Natyrisht, kjo është një metodë e lodhshme dhe e rëndë për zgjidhjen e këtij problemi. Sidoqoftë, ekziston një formulë e thjeshtë me të cilën, drejtpërdrejt, mund të dini numrin e elementeve në grupin e fuqisë së një numri të caktuar. | P |=2 ^ N, ku N është numri i elementeve në disa A. Kjo formulë mund të merret duke përdorur kombinatorikë të thjeshtë. Pra pyetja është 2^11 pasi numri i elementeve në grupin A është 11.
Pra, një grup është çdo sasi e shprehur numerikisht, e cila mund të jetë çdo objekt i mundshëm. Për shembull, makina, njerëz, numra. Në kuptimin matematikor, ky koncept është më i gjerë dhe më i përgjithësuar. Nëse në fazat fillestare zgjidhen numrat dhe opsionet për zgjidhjen e tyre, atëherë në fazat e mesme dhe të larta kushtet dhe detyrat janë të ndërlikuara. Në fakt, kardinaliteti i bashkimit të një grupi përcaktohet nga përkatësia e objektit në ndonjë grup. Kjo do të thotë, një element i përket një klase, por ka një ose më shumë variabla.
