Një gamë e gjerë marrëdhëniesh në shembullin e grupeve shoqërohet nga një numër i madh konceptesh, duke filluar me përkufizimet e tyre dhe duke përfunduar me një analizë analitike të paradokseve. Shumëllojshmëria e konceptit të diskutuar në artikullin mbi grupin është e pafund. Edhe pse, kur flasim për lloje të dyfishta, kjo nënkupton marrëdhënie binare midis disa vlerave. Dhe gjithashtu midis objekteve ose deklaratave.
Si rregull, marrëdhëniet binare shënohen me simbolin R, domethënë, nëse xRx për çdo vlerë x nga fusha R, një veti e tillë quhet refleksive, në të cilën x dhe x janë objekte të pranuara të mendimit, dhe R shërben si një shenjë e nëse ose një formë tjetër e marrëdhënies ndërmjet individëve. Në të njëjtën kohë, nëse shprehni xRy® ose yRx, atëherë kjo tregon një gjendje simetrie, ku ® është një shenjë nënkuptuese e ngjashme me bashkimin "nëse … atëherë …". Dhe, së fundi, dekodimi i mbishkrimi (xRy Ùy Rz) ®xRz tregon për marrëdhëniet kalimtare dhe shenja Ù është një lidhje.
Një lidhje binare që është njëkohësisht refleksive, simetrike dhe kalimtare quhet marrëdhënie ekuivalente. Lidhja f është një funksion dhe barazia y=z rrjedh nga Î f dhe Î f. Një funksion i thjeshtë binar mund të zbatohet lehtësishtpër dy argumente të thjeshta në një rend të caktuar, dhe vetëm në këtë rast i jep asaj një kuptim të drejtuar ndaj këtyre dy shprehjeve të marra në një rast të caktuar.
Duhet thënë se f paraqet x në y,
nëse f është një funksion me diapazonin x dhe diapazonin y. Megjithatë, kur f ekstrapolon x në y, dhe y Í z, kjo bën që f të tregojë x në z. Një shembull i thjeshtë: nëse f(x)=2x është e vërtetë për çdo numër të plotë x, atëherë f thuhet se krahason bashkësinë me shenjë të të gjithë numrave të plotë të njohur në bashkësinë e të njëjtëve numra të plotë, por këtë herë numra çift. Siç u përmend më lart, marrëdhëniet binare që janë edhe refleksive, simetrike dhe kalimtare janë marrëdhënie ekuivalente.
Bazuar në sa më sipër, marrëdhëniet ekuivalente të marrëdhënieve binare përcaktohen nga vetitë:
- refleksiviteti - raporti (M ~ N);
- simetri - nëse barazia është M ~ N, atëherë do të ketë N ~ M;
- tranzitiviteti - nëse dy barazime M ~ N dhe N ~ P, atëherë si rezultat M ~ P.
Le të shqyrtojmë më në detaje vetitë e deklaruara të marrëdhënieve binare. Refleksiviteti është një nga karakteristikat e lidhjeve të caktuara, ku çdo element i grupit në studim është në një barazi të caktuar me vetveten. Për shembull, midis numrave a=c dhe a³ c ka lidhje refleksive, pasi gjithmonë a=a, c=c, a³ a, c³ c. Në të njëjtën kohë, lidhja e pabarazisë a>c është antirefleksive për shkak të pamundësisë së ekzistencës së pabarazisë a>a. Aksioma e kësaj vetie është e koduar nga shenjat: aRc®aRa Ù cRc, këtu simboli ® do të thotë fjala "përfshin" (ose "nënkupton"), dhe shenja Ù - është bashkimi "dhe" (ose lidhëza). Nga ky pohim del se nëse gjykimi aRc është i vërtetë, shprehjet aRa dhe cRc janë gjithashtu të vërteta.
Simetria përfshin praninë e një marrëdhënieje edhe nëse objektet mendore ndërrohen, domethënë me një marrëdhënie simetrike, rirregullimi i objekteve nuk çon në një transformim të llojit "marrëdhënie binare". Për shembull, marrëdhënia e barazisë a=c është simetrike për shkak të ekuivalencës së marrëdhënies c=a; propozimi a¹c është gjithashtu i njëjtë, pasi korrespondon me lidhjen me¹a.
Një bashkësi kalimtare është një veti që plotëson kërkesat e mëposhtme: y н x, z н y ® z н x, ku ® është një shenjë që zëvendëson fjalët: "nëse …, atëherë …". Formula lexohet verbalisht si më poshtë: "Nëse y varet nga x, z i përket y, atëherë z varet gjithashtu nga x".
