Trekëndëshi është figura më e thjeshtë e mbyllur në rrafsh, e përbërë nga vetëm tre segmente të ndërlidhura. Në problemet e gjeometrisë, shpesh është e nevojshme të përcaktohet zona e kësaj figure. Çfarë duhet të dini për këtë? Në artikull do t'i përgjigjemi pyetjes se si të gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi në tre anët.
Formula e përgjithshme
Çdo student e di se sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet si prodhimi i gjatësisë së cilësdo brinjë të tij - a nga gjysma e lartësisë - h, e ulur në anën e zgjedhur. Më poshtë është formula përkatëse: S=ah/2.
Kjo shprehje mund të përdoret nëse dihen të paktën dy brinjë dhe vlera e këndit ndërmjet tyre. Në këtë rast, lartësia h është e lehtë për t'u llogaritur duke përdorur funksione trigonometrike, siç është sinusi. Por jo të gjithë e dinë se si të gjejnë zonën në tre anët e një trekëndëshi.
Formula e Heronit
Kjo formulë është përgjigjja e pyetjes se sitre anët gjejnë sipërfaqen e trekëndëshit. Përpara se ta shkruajmë, le të shënojmë gjatësitë e segmenteve të një figure arbitrare si a, b dhe c. Formula e Heronit shkruhet si më poshtë: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Ku p është gjysma e perimetrit të figurës, d.m.th.: p=(a+b+c)/2.
Megjithë rëndimin e dukshëm, shprehja e mësipërme për zonën S është e lehtë për t'u mbajtur mend. Për ta bërë këtë, së pari duhet të llogarisni gjysmëperimetrin e trekëndëshit, pastaj të zbrisni prej tij me një gjatësi të anës së figurës, të shumëzoni të gjitha dallimet e marra dhe vetë gjysmëperimetrin. Së fundi, merrni rrënjën katrore të produktit.
Kjo formulë është emëruar pas Heronit të Aleksandrisë, i cili jetoi në fillim të epokës sonë. Historia moderne beson se ishte ky filozof që aplikoi i pari këtë shprehje për të kryer llogaritjet përkatëse. Kjo formulë është botuar në Metrica e tij, e cila daton në vitin 60 pas Krishtit. Vini re se disa nga veprat e Arkimedit, i cili jetoi dy shekuj më herët se Heroni, përmbajnë shenja se filozofi grek e dinte tashmë formulën. Përveç kësaj, kinezët e lashtë dinin gjithashtu të gjenin sipërfaqen e një trekëndëshi, duke ditur tre brinjë.
Është e rëndësishme të theksohet se problemi mund të zgjidhet pa e ditur ekzistencën e formulës së Heronit. Për ta bërë këtë, vizatoni disa lartësi në trekëndësh dhe përdorni formulën e përgjithshme nga paragrafi i mëparshëm, duke përpiluar sistemin e duhur të ekuacioneve.
Shprehja e Heronit mund të përdoret për të llogaritur sipërfaqet e shumëkëndëshave arbitrar, pas ndarjes së tyre nëtrekëndëshat dhe llogaritja e gjatësive të diagonaleve që rezultojnë.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Duke ditur të gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi në tre anët, le të konsolidojmë njohuritë tona duke zgjidhur problemin e mëposhtëm. Le të jenë anët e figurës 5 cm, 4 cm dhe 3 cm. Gjeni sipërfaqen.
Njihen tre brinjë të një trekëndëshi, kështu që mund të përdorni formulën e Heronit. Ne llogarisim gjysmëperimetrin dhe diferencat e nevojshme, kemi:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Pastaj marrim zonën: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trekëndëshi i dhënë në kushtin e problemit është kënddrejtë, gjë që është e lehtë të kontrollohet nëse përdorni teoremën e Pitagorës. Meqenëse sipërfaqja e një trekëndëshi të tillë është gjysma e prodhimit të këmbëve, marrim: S=43/2=6 cm2.
Vlera që rezulton është e njëjtë me formulën e Heronit, e cila konfirmon vlefshmërinë e kësaj të fundit.
