Problemi i Goldbach është një nga problemet më të vjetra dhe më të komentuara në historinë e të gjithë matematikës.
Ky supozim është vërtetuar se është i vërtetë për të gjithë numrat e plotë më pak se 4 × 1018, por mbetet i paprovuar pavarësisht përpjekjeve të konsiderueshme nga matematikanët.
Numri
Numri Goldbach është një numër i plotë pozitiv pozitiv që është shuma e një çifti numrash të thjeshtë tek. Një formë tjetër e hamendjes së Goldbach është se të gjithë numrat çift më të mëdhenj se katër janë numra Goldbach.
Ndarja e numrave të tillë quhet ndarja (ose ndarja e Goldbach). Më poshtë janë shembuj të seksioneve të ngjashme për disa numra çift:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Zbulimi i hipotezës
Goldbach kishte një koleg të quajtur Euler, të cilit i pëlqente të numëronte, të shkruante formula komplekse dhe të parashtronte teori të pazgjidhshme. Në këtë ata ishin të ngjashëm me Goldbach. Euler bëri një gjëegjëzë të ngjashme matematikore edhe para Goldbach, me të cilin aikorrespondencë e vazhdueshme. Më pas ai propozoi një sugjerim të dytë në kufirin e dorëshkrimit të tij, sipas të cilit një numër i plotë më i madh se 2 mund të shkruhet si shuma e tre numrave të thjeshtë. Ai e konsideroi 1 si një numër të thjeshtë.
Të dy hipotezat tashmë dihet se janë të ngjashme, por kjo nuk dukej të ishte problem në atë kohë. Versioni modern i problemit të Goldbach thotë se çdo numër i plotë më i madh se 5 mund të shkruhet si shuma e tre numrave të thjeshtë. Euler u përgjigj në një letër të datës 30 qershor 1742 dhe i kujtoi Goldbach një bisedë të mëparshme që kishin bërë ("…pra ne po flasim për hipotezën origjinale (dhe jo margjinale) që rrjedh nga deklarata e mëposhtme").
Problemi Euler-Goldbach
2 dhe numrat çift të tij mund të shkruhen si shuma e dy numrave të thjeshtë, që është gjithashtu hamendje e Goldbach-ut. Në një letër të datës 30 qershor 1742, Euler deklaroi se çdo numër i plotë çift është rezultat i mbledhjes së dy numrave të thjeshtë, të cilën ai e konsideron si një teoremë të mirëpërcaktuar, megjithëse ai nuk mund ta vërtetojë atë.
Versioni i tretë
Versioni i tretë i problemit të Goldbach (ekuivalent me dy versionet e tjera) është forma në të cilën hamendësimi zakonisht jepet sot. Njihet gjithashtu si hamendja "e fortë", "çift" ose "binare" e Goldbach për ta dalluar atë nga hipoteza më e dobët e njohur sot si hamendësimi "i dobët", "i rastësishëm" ose "treshësh" i Goldbach. Supozimi i dobët thotë se të gjithë numrat tek më të mëdhenj se 7 janë shuma e tre numrave të thjeshtë tek. Hamendësimi i dobët u vërtetua në vitin 2013. Hipoteza e dobët ështëpasojë e një hipoteze të fortë. Pasoja e kundërt dhe hamendja e fortë e Goldbach mbeten të paprovuara edhe sot e kësaj dite.
Kontrollo
Për vlera të vogla të n, problemi Goldbach (dhe si rrjedhim hamendësimi Goldbach) mund të verifikohet. Për shembull, Nils Pipping në vitin 1938 testoi me kujdes hipotezën deri në n ≦ 105. Me ardhjen e kompjuterëve të parë, u llogaritën shumë më tepër vlera të n.
Oliveira Silva kreu një kërkim të shpërndarë në kompjuter që konfirmoi hipotezën për n ≦ 4 × 1018 (dhe kontrolluar dyfish deri në 4 × 1017) që nga viti 2013. Një hyrje nga ky kërkim është se 3,325,581,707,333,960,528 është numri më i vogël që nuk ka një ndarje Goldbach me një kryeministër nën 9781.
Heuristics
Versioni për formën e fortë të hamendjes së Goldbach-ut është si vijon: meqënëse sasia priret në pafundësi kur rritet n, presim që çdo numër i plotë çift i madh të ketë më shumë se një paraqitje si shumë e dy numrave të thjeshtë. Por në fakt, ka shumë përfaqësime të tilla. Kush e zgjidhi problemin Goldbach? Mjerisht, ende askush.
Ky argument heuristik është në fakt disi i pasaktë, pasi supozon se m është statistikisht i pavarur nga n. Për shembull, nëse m është tek, atëherë n - m është gjithashtu tek, dhe nëse m është çift, atëherë n - m është çift, dhe kjo është një lidhje jo e parëndësishme (komplekse), sepse përveç numrit 2, vetëm tek numrat mund të jenë të thjeshtë. Në mënyrë të ngjashme, nëse n është i pjesëtueshëm me 3 dhe m ishte tashmë një i thjeshtë i thjeshtë përveç 3, atëherë n - m është gjithashtu reciprokishti thjeshtë me 3, kështu që ka më shumë gjasa të jetë një numër i thjeshtë në krahasim me një numër total. Duke kryer këtë lloj analize me më shumë kujdes, Hardy dhe Littlewood në vitin 1923, si pjesë e hamendjes së tyre të famshme me tufë të thjeshtë Hardy-Littlewood, bënë përsosjen e mësipërme të të gjithë teorisë. Por nuk ka ndihmuar në zgjidhjen e problemit deri më tani.
Hipotezë e fortë
Hupozimi i fortë i Goldbach është shumë më i ndërlikuar se hamendësimi i dobët i Goldbach. Shnirelman më vonë vërtetoi se çdo numër natyror më i madh se 1 mund të shkruhet si shuma e më së shumti numrave të thjeshtë C, ku C është një konstante efektivisht e llogaritshme. Shumë matematikanë u përpoqën ta zgjidhnin atë, duke numëruar dhe shumëzuar numra, duke ofruar formula komplekse, etj. Por ata nuk ia dolën kurrë, sepse hipoteza është shumë e ndërlikuar. Asnjë formula nuk ndihmoi.
Por ia vlen të largohemi pak nga çështja e vërtetimit të problemit të Goldbach. Konstanta Shnirelman është numri më i vogël C me këtë veti. Vetë Shnirelman mori C <800 000. Ky rezultat u plotësua më pas nga shumë autorë, si Olivier Ramaret, i cili tregoi në 1995 se çdo numër çift n ≧ 4 është në fakt shuma e jo më shumë se gjashtë numrave të thjeshtë. Rezultati më i famshëm aktualisht i lidhur me teorinë Goldbach nga Harald Helfgott.
Zhvillim i mëtejshëm
Në vitin 1924, Hardy dhe Littlewood supozuan G. R. H. tregoi se numri i numrave çift deri në X, duke shkelur problemin binar të Goldbach, është shumë më i vogël se për c të vogla.
Në vitin 1973 Chen JingyunU përpoqa ta zgjidh këtë problem, por nuk funksionoi. Ai ishte gjithashtu një matematikan, kështu që i pëlqente shumë të zgjidhte gjëegjëza dhe të provonte teorema.
Në vitin 1975, dy matematikanë amerikanë treguan se ka konstante pozitive c dhe C - ato për të cilat N është mjaft i madh. Në veçanti, grupi i numrave çift ka densitet zero. E gjithë kjo ishte e dobishme për punën për zgjidhjen e problemit tresh të Goldbach, që do të ndodhë në të ardhmen.
Në vitin 1951, Linnik vërtetoi ekzistencën e një konstante K të tillë që çdo numër çift mjaftueshëm i madh është rezultat i shtimit të një numri të thjeshtë dhe një numri tjetër të thjeshtë me njëri-tjetrin. Roger Heath-Brown dhe Jan-Christoph Schlage-Puchta zbuluan në 2002 se K=13 punon. Kjo është shumë interesante për të gjithë njerëzit që duan të shtojnë me njëri-tjetrin, të mbledhin numra të ndryshëm dhe të shohin se çfarë ndodh.
Zgjidhja e problemit Goldbach
Ashtu si me shumë hamendje të njohura në matematikë, ekzistojnë një sërë provash të supozuara të hamendësimit të Goldbach, asnjëra prej të cilave nuk pranohet nga komuniteti matematikor.
Megjithëse hamendja e Goldbach nënkupton se çdo numër i plotë pozitiv më i madh se një mund të shkruhet si shuma e jo më shumë se tre numrave të thjeshtë, nuk është gjithmonë e mundur të gjendet një shumë e tillë duke përdorur një algoritëm të pangopur që përdor numrin më të madh të mundshëm. në çdo hap. Sekuenca Pillai mban gjurmët e numrave që kërkojnë numrin më të madh të numrave në paraqitjet e tyre lakmitare. Prandaj, zgjidhja e problemit Goldbachende në pikëpyetje. Megjithatë, herët a vonë ka shumë të ngjarë që do të zgjidhet.
Ekzistojnë teori të ngjashme me problemin e Goldbach në të cilin numrat e thjeshtë zëvendësohen nga grupe të tjera specifike numrash, të tillë si katrorët.
Christian Goldbach
Christian Goldbach ishte një matematikan gjerman i cili studioi gjithashtu drejtësi. Ai mbahet mend sot për hamendësimin e Goldbach.
Ai punoi si matematikan gjatë gjithë jetës së tij - i pëlqente shumë shtimi i numrave, shpikja e formulave të reja. Ai dinte gjithashtu disa gjuhë, në secilën prej të cilave mbante ditarin e tij personal. Këto gjuhë ishin gjermanishtja, frëngjishtja, italishtja dhe rusishtja. Gjithashtu, sipas disa burimeve, ai fliste anglisht dhe latinisht. Ai ishte i njohur si një matematikan mjaft i njohur gjatë jetës së tij. Goldbach ishte gjithashtu mjaft i lidhur ngushtë me Rusinë, sepse ai kishte shumë kolegë rusë dhe favorin personal të familjes mbretërore.
Ai vazhdoi të punonte në Akademinë e Shkencave të Shën Peterburgut të sapohapur në 1725 si profesor i matematikës dhe historian i akademisë. Në 1728, kur Pjetri II u bë Car i Rusisë, Goldbach u bë mentori i tij. Në 1742 ai hyri në Ministrinë e Jashtme Ruse. Domethënë, ai në fakt ka punuar në vendin tonë. Në atë kohë në Rusi erdhën shumë shkencëtarë, shkrimtarë, filozofë dhe ushtarakë, sepse Rusia në atë kohë ishte një vend me mundësi si Amerika. Shumë prej tyre kanë bërë karrierë këtu. Dhe heroi ynë nuk bën përjashtim.
Christian Goldbach ishte shumëgjuhësh - ai shkroi një ditar në gjermanisht dhe latinisht, letrat e tijishin shkruar në gjermanisht, latinisht, frëngjisht dhe italisht, dhe për dokumentet zyrtare ai përdorte rusisht, gjermanisht dhe latinisht.
Vdiq më 20 nëntor 1764 në moshën 74 vjeçare në Moskë. Dita kur problemi i Goldbach do të zgjidhet do të jetë një nderim i përshtatshëm për kujtimin e tij.
Përfundim
Goldbach ishte një matematikan i madh që na dha një nga misteret më të mëdha të kësaj shkence. Nuk dihet nëse do të zgjidhet ndonjëherë apo jo. Ne e dimë vetëm se zgjidhja e supozuar e saj, si në rastin e teoremës së Fermatit, do të hapë perspektiva të reja për matematikën. Matematikanët janë shumë të dashur për ta zgjidhur dhe analizuar atë. Është shumë interesante dhe kurioze nga pikëpamja heuristike. Edhe studentët e matematikës pëlqejnë të zgjidhin problemin Goldbach. Kush tjeter? Në fund të fundit, të rinjtë tërhiqen vazhdimisht nga gjithçka e ndritshme, ambicioze dhe e pazgjidhur, sepse duke kapërcyer vështirësitë mund të pohohet. Le të shpresojmë që së shpejti ky problem të zgjidhet nga mendjet e reja, ambicioze, kureshtare.
