Matematika është në thelb një shkencë abstrakte, nëse largohemi nga konceptet elementare. Pra, në disa mollë, ju mund të përshkruani vizualisht operacionet bazë që qëndrojnë në themel të matematikës, por sapo të zgjerohet rrafshi i aktivitetit, këto objekte bëhen të pamjaftueshme. A ka provuar dikush të përshkruajë operacione në grupe të pafundme në mollë? Kjo është çështja, jo. Sa më komplekse bëheshin konceptet me të cilat operon matematika në gjykimet e saj, aq më problematike dukej shprehja e tyre vizuale, e cila do të projektohej për të lehtësuar të kuptuarit. Megjithatë, për lumturinë e studentëve modernë dhe shkencës në përgjithësi, u nxorën qarqet e Euler-it, shembuj dhe mundësi të të cilave do t'i shqyrtojmë më poshtë.
Pak histori
Më 17 prill 1707, bota i dha shkencës Leonhard Euler, një shkencëtar i shquar, kontributi i të cilit në matematikë, fizikë, ndërtimin e anijeve dhe madje edhe teorinë e muzikës nuk mund të mbivlerësohet.
Veprat e tij njihen dhe kërkohen në të gjithë botën edhe sot e kësaj dite, pavarësisht se shkenca nuk qëndron ende. Me interes të veçantë është fakti se zoti Euler mori pjesë direkt në formimin e shkollës ruse të matematikës së lartë, aq më tepër që, me vullnetin e fatit, ai u kthye dy herë në shtetin tonë. Shkencëtari kishte një aftësi unike për të ndërtuar algoritme që ishin transparente në logjikën e tyre, duke prerë gjithçka të tepërt dhe duke lëvizur nga e përgjithshme në të veçantën në kohën më të shkurtër të mundshme. Ne nuk do të rendisim të gjitha meritat e tij, pasi do të duhet një kohë e konsiderueshme dhe do t'i drejtohemi drejtpërdrejt temës së artikullit. Ishte ai që sugjeroi përdorimin e një paraqitje grafike të operacioneve në grupe. Rrathët e Euler-it janë në gjendje të përfytyrojnë zgjidhjen e çdo problemi, madje edhe më kompleks.
Cili është thelbi?
Në praktikë, qarqet Euler, skema e të cilave tregohet më poshtë, mund të përdoren jo vetëm në matematikë, pasi koncepti i "bashkësisë" është i natyrshëm jo vetëm në këtë disiplinë. Pra, ato aplikohen me sukses në menaxhim.
Diagrami i mësipërm tregon marrëdhëniet e bashkësive A (numrat irracionalë), B (numrat racional) dhe C (numrat natyrorë). Rrathët tregojnë se grupi C përfshihet në grupin B, ndërsa grupi A nuk kryqëzohet me to në asnjë mënyrë. Shembulli është më i thjeshti, por ai shpjegon qartë specifikat e "marrëdhënieve të grupeve", të cilat janë shumë abstrakte për krahasim real, qoftë edhe për shkak të pafundësisë së tyre.
Algjebra e logjikës
Kjo zonëlogjika matematikore funksionon me pohime që mund të jenë edhe të vërteta edhe të rreme. Për shembull, nga elementi: numri 625 pjesëtohet me 25, numri 625 pjesëtohet me 5, numri 625 është i thjeshtë. Deklaratat e para dhe të dyta janë të vërteta, ndërsa e fundit është e rreme. Sigurisht, në praktikë gjithçka është më e ndërlikuar, por thelbi tregohet qartë. Dhe, sigurisht, rrathët e Euler janë përsëri të përfshirë në zgjidhje, shembujt me përdorimin e tyre janë shumë të përshtatshëm dhe vizualë për t'u injoruar.
Pak teori:
- Le të ekzistojnë grupet A dhe B dhe nuk janë bosh, atëherë për to përcaktohen veprimet e mëposhtme të kryqëzimit, bashkimit dhe mohimit.
- Kryqëzimi i grupeve A dhe B përbëhet nga elementë që i përkasin njëkohësisht grupit A dhe grupit B.
- Bashkimi i bashkësive A dhe B përbëhet nga elementë që i përkasin grupit A ose grupit B.
- Mohimi i grupit A është një grup që përbëhet nga elementë që nuk i përkasin grupit A.
E gjithë kjo përshkruhet përsëri nga qarqet Euler në logjikë, pasi me ndihmën e tyre çdo detyrë, pavarësisht nga shkalla e kompleksitetit, bëhet e dukshme dhe vizuale.
Aksiomat e algjebrës së logjikës
Supozojmë se 1 dhe 0 ekzistojnë dhe përcaktohen në grupin A, atëherë:
- negacioni i mohimit të grupit A është vendosur A;
- bashkimi i grupit A me not_A është 1;
- bashkimi i grupit A me 1 është 1;
- bashkimi i bashkësisë A me vetveten është vendosur A;
- bashkimi i grupit Ame 0 ka një grup A;
- kryqëzimi i grupit A me not_A është 0;
- kryqëzimi i grupit A me vetveten është vendosur A;
- kryqëzimi i grupit A me 0 është 0;
- kryqëzimi i grupit A me 1 është vendosur A.
Vetitë themelore të algjebrës së logjikës
Le të ekzistojnë grupet A dhe B dhe nuk janë bosh, atëherë:
- për kryqëzimin dhe bashkimin e grupeve A dhe B, zbatohet ligji komutativ;
- ligji i kombinimit zbatohet për kryqëzimin dhe bashkimin e grupeve A dhe B;
- ligji shpërndarës zbatohet për kryqëzimin dhe bashkimin e grupeve A dhe B;
- negacioni i kryqëzimit të bashkësive A dhe B është kryqëzimi i mohimeve të bashkësive A dhe B;
- negacioni i bashkësisë së bashkësive A dhe B është bashkimi i mohimeve të bashkësive A dhe B.
Në vijim tregon rrathët e Euler-it, shembujt e kryqëzimit dhe bashkimit të grupeve A, B dhe C.
Perspektivat
Punimet e Leonhard Euler konsiderohen me të drejtë baza e matematikës moderne, por tani ato përdoren me sukses në fushat e veprimtarisë njerëzore që janë shfaqur relativisht kohët e fundit, për shembull, merrni qeverisjen e korporatës: rrathët, shembujt dhe grafikët e Euler përshkruajnë mekanizmat e modele zhvillimi, qofshin versioni rus ose anglisht-amerikan.
