Një sistem mekanik që përbëhet nga një pikë materiale (trup) e varur në një fije pa peshë të pazgjatur (masa e saj është e papërfillshme në krahasim me peshën e trupit) në një fushë graviteti uniform quhet lavjerrës matematik (një emër tjetër është një oshilator). Ka lloje të tjera të kësaj pajisjeje. Në vend të një fije, mund të përdoret një shufër pa peshë. Një lavjerrës matematikor mund të zbulojë qartë thelbin e shumë fenomeneve interesante. Me një amplitudë të vogël lëkundjeje, lëvizja e tij quhet harmonike.
Përmbledhje e sistemit mekanik
Formula për periudhën e lëkundjes së këtij lavjerrësi është nxjerrë nga shkencëtari holandez Huygens (1629-1695). Ky bashkëkohës i I. Njutonit ishte shumë i dhënë pas këtij sistemi mekanik. Në vitin 1656 ai krijoi orën e parë me lavjerrës. Ata e matën kohën me të jashtëzakonshmepër ato kohë saktësi. Kjo shpikje është bërë një moment historik i madh në zhvillimin e eksperimenteve fizike dhe aktiviteteve praktike.
Nëse lavjerrësi është në ekuilibër (i varur vertikalisht), atëherë forca e gravitetit do të balancohet nga forca e tensionit të fillit. Një lavjerrës i sheshtë në një fije të pazgjatur është një sistem me dy shkallë lirie me një lidhje. Kur ndryshoni vetëm një komponent, karakteristikat e të gjitha pjesëve të tij ndryshojnë. Pra, nëse filli zëvendësohet me një shufër, atëherë ky sistem mekanik do të ketë vetëm 1 shkallë lirie. Cilat janë vetitë e lavjerrësit matematik? Në këtë sistem më të thjeshtë, kaosi lind nën ndikimin e një shqetësimi periodik. Në rastin kur pika e pezullimit nuk lëviz, por lëkundet, lavjerrësi ka një pozicion të ri ekuilibri. Me lëkundje të shpejta lart e poshtë, ky sistem mekanik fiton një pozicion të qëndrueshëm me kokë poshtë. Ajo ka edhe emrin e saj. Quhet lavjerrësi i Kapitzës.
Vetitë e lavjerrës
Lavjerrësi matematik ka veti shumë interesante. Të gjitha ato konfirmohen nga ligjet e njohura fizike. Periudha e lëkundjes së çdo lavjerrës tjetër varet nga rrethana të ndryshme, të tilla si madhësia dhe forma e trupit, distanca midis pikës së pezullimit dhe qendrës së gravitetit, shpërndarja e masës në lidhje me këtë pikë. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i periudhës së një trupi të varur është një detyrë mjaft e vështirë. Është shumë më e lehtë të llogaritet periudha e një lavjerrës matematikor, formula e të cilit do të jepet më poshtë. Si rezultat i vëzhgimeve të ngjashmesistemet mekanike mund të vendosin modelet e mëposhtme:
• Nëse, duke ruajtur të njëjtën gjatësi të lavjerrësit, varim pesha të ndryshme, atëherë periudha e lëkundjeve të tyre do të jetë e njëjtë, megjithëse masat e tyre do të ndryshojnë shumë. Prandaj, periudha e një lavjerrësi të tillë nuk varet nga masa e ngarkesës.
• Gjatë fillimit të sistemit, nëse lavjerrësi devijohet nga kënde jo shumë të mëdha, por të ndryshme, ai do të fillojë të lëkundet me të njëjtën periudhë, por me amplituda të ndryshme. Për sa kohë që devijimet nga qendra e ekuilibrit nuk janë shumë të mëdha, lëkundjet në formën e tyre do të jenë mjaft afër atyre harmonike. Periudha e një lavjerrës të tillë nuk varet në asnjë mënyrë nga amplituda e lëkundjes. Kjo veti e këtij sistemi mekanik quhet izokronizëm (përkthyer nga greqishtja "chronos" - kohë, "isos" - e barabartë).
Periudha e lavjerrësit matematik
Ky tregues paraqet periudhën e lëkundjeve natyrore. Pavarësisht formulimit kompleks, vetë procesi është shumë i thjeshtë. Nëse gjatësia e fillit të një lavjerrës matematik është L, dhe nxitimi i rënies së lirë është g, atëherë kjo vlerë është:
T=2π√L/g
Periudha e lëkundjeve të vogla natyrore në asnjë mënyrë nuk varet nga masa e lavjerrësit dhe amplituda e lëkundjeve. Në këtë rast, lavjerrësi lëviz si një lavjerrës matematik me një gjatësi të reduktuar.
Lëkundjet e lavjerrësit matematik
Një lavjerrës matematikor lëkundet, i cili mund të përshkruhet me një ekuacion të thjeshtë diferencial:
x + ω2 sin x=0, ku x (t) është një funksion i panjohur (ky është këndi i devijimit nga më i ulëtipozicioni i ekuilibrit në kohën t, i shprehur në radianë); ω është një konstante pozitive, e cila përcaktohet nga parametrat e lavjerrësit (ω=√g/L, ku g është nxitimi i rënies së lirë dhe L është gjatësia e lavjerrësit matematik (pezullimi).
Ekuacioni i luhatjeve të vogla pranë pozicionit të ekuilibrit (ekuacioni harmonik) duket kështu:
x + ω2 sin x=0
Lëvizjet osciluese të lavjerrës
Një lavjerrës matematik që bën lëkundje të vogla lëviz përgjatë një sinusoidi. Ekuacioni diferencial i rendit të dytë plotëson të gjitha kërkesat dhe parametrat e një lëvizjeje të tillë. Për të përcaktuar trajektoren, duhet të specifikoni shpejtësinë dhe koordinatat, nga të cilat më pas përcaktohen konstantet e pavarura:
x=Një mëkat (θ0 + ωt), ku θ0 është faza fillestare, A është amplituda e lëkundjes, ω është frekuenca ciklike e përcaktuar nga ekuacioni i lëvizjes.
Lavjerrësi matematik (formula për amplituda të mëdha)
Ky sistem mekanik, i cili i bën lëkundjet e tij me një amplitudë të konsiderueshme, u bindet ligjeve më komplekse të lëvizjes. Për një lavjerrës të tillë, ato llogariten me formulën:
sin x/2=usn(ωt/u), ku sn është sinusi Jacobi, i cili për u < 1 është një funksion periodik, dhe për u të vogël përkon me një sinus të thjeshtë trigonometrik. Vlera e u përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:
u=(ε + ω2)/2ω2, ku ε=E/mL2 (mL2 është energjia e lavjerrësit).
Përcaktimi i periudhës së lëkundjes së një lavjerrës jolinearkryhet sipas formulës:
T=2π/Ω, ku Ω=π/2ω/2K(u), K është integrali eliptik, π - 3, 14.
Lëvizja e lavjerrësit përgjatë ndarjes
Një ndarje është një trajektore e një sistemi dinamik me një hapësirë fazore dy-dimensionale. Lavjerrësi matematikor lëviz përgjatë tij në mënyrë jo periodike. Në një moment kohe pafundësisht të largët, ai bie nga pozicioni i sipërm ekstrem në anën me shpejtësi zero, pastaj gradualisht e merr atë. Ai përfundimisht ndalon, duke u kthyer në pozicionin e tij origjinal.
Nëse amplituda e lëkundjeve të lavjerrësit i afrohet numrit π, kjo tregon se lëvizja në planin fazor po i afrohet ndarjes. Në këtë rast, nën veprimin e një force të vogël lëvizëse periodike, sistemi mekanik shfaq sjellje kaotike.
Kur lavjerrësi matematik devijon nga pozicioni i ekuilibrit me një kënd të caktuar φ, lind një forcë tangjenciale e gravitetit Fτ=–mg sin φ. Shenja minus do të thotë që kjo komponentë tangjenciale drejtohet në drejtim të kundërt nga devijimi i lavjerrësit. Kur zhvendosja e lavjerrësit përgjatë harkut të një rrethi me rreze L shënohet me x, zhvendosja këndore e tij është e barabartë me φ=x/L. Ligji i dytë i Isaac Njutonit, i krijuar për projeksionet e vektorit të nxitimit dhe forcës, do të japë vlerën e dëshiruar:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Bazuar në këtë raport, është e qartë se ky lavjerrës është një sistem jolinear, pasi forca që kërkon të kthehetai me pozicionin e ekuilibrit, është gjithmonë proporcional jo me zhvendosjen x, por me sin x/L.
Vetëm kur lavjerrësi matematik bën lëkundje të vogla, ai është një oshilator harmonik. Me fjalë të tjera, ai bëhet një sistem mekanik i aftë për të kryer dridhje harmonike. Ky përafrim është praktikisht i vlefshëm për këndet 15-20°. Lëkundjet e lavjerrësit me amplituda të mëdha nuk janë harmonike.
Ligji i Njutonit për lëkundjet e vogla të një lavjerrës
Nëse ky sistem mekanik kryen dridhje të vogla, ligji i 2-të i Njutonit do të duket kështu:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Në bazë të kësaj, mund të konkludojmë se nxitimi tangjencial i lavjerrësit matematik është proporcional me zhvendosjen e tij me shenjën minus. Kjo është gjendja për shkak të së cilës sistemi bëhet një oshilator harmonik. Moduli i fitimit proporcional ndërmjet zhvendosjes dhe nxitimit është i barabartë me katrorin e frekuencës rrethore:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Kjo formulë pasqyron frekuencën natyrore të lëkundjeve të vogla të këtij lloji të lavjerrësit. Bazuar në këtë, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Llogaritjet e bazuara në ligjin e ruajtjes së energjisë
Vetitë e lëvizjeve osciluese të lavjerrës mund të përshkruhen gjithashtu duke përdorur ligjin e ruajtjes së energjisë. Në këtë rast, duhet pasur parasysh se energjia potenciale e lavjerrësit në fushën gravitacionale është:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Energjia totale mekanikeështë e barabartë me potencialin kinetik ose maksimal: Epmax=Ekmsx=E
Pasi të shkruhet ligji i ruajtjes së energjisë, merrni derivatin e anës së djathtë dhe të majtë të ekuacionit:
Ep + Ek=konst
Meqenëse derivati i vlerave konstante është 0, atëherë (Ep + Ek)'=0. Derivati i shumës është i barabartë me shumën e derivateve:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, prandaj:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Bazuar në formulën e fundit, gjejmë: α=- g/Lx.
Zbatim praktik i lavjerrësit matematik
Përshpejtimi i rënies së lirë ndryshon me gjerësinë gjeografike, pasi dendësia e kores së tokës në të gjithë planetin nuk është e njëjtë. Aty ku ndodhin shkëmbinj me një densitet më të lartë, ai do të jetë disi më i lartë. Përshpejtimi i një lavjerrës matematikor përdoret shpesh për eksplorimin gjeologjik. Përdoret për të kërkuar minerale të ndryshme. Thjesht duke numëruar numrin e lëkundjeve të lavjerrësit, mund të gjeni qymyr ose xehe në zorrët e Tokës. Kjo për faktin se fosile të tilla kanë një densitet dhe masë më të madhe se shkëmbinjtë e lirshëm që qëndrojnë në themel të tyre.
Lavjerrësi matematik u përdor nga shkencëtarë të tillë të shquar si Sokrati, Aristoteli, Platoni, Plutarku, Arkimedi. Shumë prej tyre besonin se ky sistem mekanik mund të ndikonte në fatin dhe jetën e një personi. Arkimedi përdori një lavjerrës matematikor në llogaritjet e tij. Në ditët e sotme, shumë okultistë dhe psikikëpërdorni këtë sistem mekanik për të përmbushur profecitë e tyre ose për të kërkuar njerëz të zhdukur.
Astronomi dhe natyralisti i famshëm francez K. Flammarion përdori gjithashtu një lavjerrës matematikor për kërkimin e tij. Ai pretendoi se me ndihmën e tij ishte në gjendje të parashikonte zbulimin e një planeti të ri, shfaqjen e meteorit Tunguska dhe ngjarje të tjera të rëndësishme. Gjatë Luftës së Dytë Botërore në Gjermani (Berlin) punoi një Instituti i specializuar Pendulum. Sot, Instituti i Parapsikologjisë së Mynihut është i angazhuar në kërkime të ngjashme. Punonjësit e këtij institucioni punën e tyre me lavjerrës e quajnë “radiesthesia”.
