Funksionet trigonometrike të anasjellta tradicionalisht shkaktojnë vështirësi për nxënësit e shkollës. Aftësia për të llogaritur tangjentën e harkut të një numri mund të kërkohet në detyrat USE në planimetri dhe stereometri. Për të zgjidhur me sukses një ekuacion dhe një problem me një parametër, duhet të keni një kuptim të vetive të funksionit tangjentë të harkut.
Përkufizim
Tangjenta e harkut të një numri x është një numër y tangjenta e të cilit është x. Ky është përkufizimi matematik.
Funksioni arktangjent shkruhet si y=arctg x.
Më përgjithësisht: y=Carctg (kx + a).
Llogaritja
Për të kuptuar se si funksionon funksioni trigonometrik i anasjelltë i arktangjentes, së pari duhet të mbani mend se si përcaktohet vlera e tangjentës së një numri. Le të hedhim një vështrim më të afërt.
Tangjentja e x është raporti i sinusit të x me kosinusin e x. Nëse dihet të paktën një nga këto dy madhësi, atëherë moduli i së dytës mund të merret nga identiteti bazë trigonometrik:
mëkat2 x + kosto2 x=1.
Pa dyshim, do të kërkohet një vlerësim për të zhbllokuar modulin.
Nësedihet vetë numri dhe jo karakteristikat e tij trigonometrike, atëherë në shumicën e rasteve është e nevojshme të vlerësohet afërsisht tangjentja e numrit duke iu referuar tabelës Bradis.
Përjashtim bëjnë të ashtuquajturat vlera standarde.
Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme:
Përveç sa më sipër, çdo vlerë e marrë nga të dhënat duke shtuar një numër të formës ½πk (k - çdo numër i plotë, π=3, 14) mund të konsiderohet standard.
Pakërisht e njëjta gjë është e vërtetë për tangjentën e harkut: më shpesh vlera e përafërt mund të shihet nga tabela, por vetëm disa vlera dihen me siguri:
Në praktikë, kur zgjidhen problemet e matematikës shkollore, është zakon të jepet një përgjigje në formën e një shprehjeje që përmban tangjentën e harkut, dhe jo vlerësimin e përafërt të saj. Për shembull, arctg 6, arctg (-¼).
Pargrafi i një grafiku
Meqenëse tangjentja mund të marrë çdo vlerë, domeni i funksionit arktangjent është e gjithë vija numerike. Le të shpjegojmë më në detaje.
E njëjta tangjente korrespondon me një numër të pafund argumentesh. Për shembull, jo vetëm tangjentja e zeros është e barabartë me zero, por edhe tangjentja e çdo numri të formës π k, ku k është një numër i plotë. Prandaj, matematikanët ranë dakord të zgjidhnin vlerat për tangjentën e harkut nga intervali nga -½ π në ½ π. Duhet kuptuar në këtë mënyrë. Gama e funksionit arktangjent është intervali (-½ π; ½ π). Skajet e hendekut nuk janë përfshirë, pasi tangjentja -½p dhe ½p nuk ekzistojnë.
Në intervalin e caktuar, tangjentja është e vazhdueshmerritet. Kjo do të thotë se funksioni i anasjelltë i tangjentës së harkut po rritet gjithashtu vazhdimisht në të gjithë vijën numerike, por i kufizuar nga lart dhe poshtë. Si rezultat, ajo ka dy asimptota horizontale: y=-½ π dhe y=½ π.
Në këtë rast, tg 0=0, pikat e tjera të kryqëzimit me boshtin e abshisave, përveç (0;0), grafiku nuk mund të ketë për shkak të rritjes.
Siç del nga pariteti i funksionit tangjente, arktangjentja ka një veti të ngjashme.
Për të ndërtuar një grafik, merrni disa pikë nga vlerat standarde:
Derivati i funksionit y=arctg x në çdo pikë llogaritet me formulën:
Vini re se derivati i tij është kudo pozitiv. Kjo është në përputhje me përfundimin e bërë më parë për rritjen e vazhdueshme të funksionit.
Derivati i dytë i arktangjentit zhduket në pikën 0, është negativ për vlerat pozitive të argumentit dhe anasjelltas.
Kjo do të thotë se grafiku i funksionit tangjent të harkut ka një pikë lakimi në zero dhe është konveks teposhtë në intervalin (-∞; 0] dhe konveks lart në intervalin [0; +∞).
