Paralelizmi i planeve është një koncept që u shfaq për herë të parë në gjeometrinë Euklidiane mbi dy mijë vjet më parë.
Karakteristikat kryesore të gjeometrisë klasike
Lindja e kësaj disipline shkencore lidhet me veprën e famshme të mendimtarit të lashtë grek Euklidit, i cili shkroi pamfletin "Fillimet" në shekullin e tretë para Krishtit. Të ndarë në trembëdhjetë libra, Elementet ishin arritja më e lartë e të gjithë matematikës së lashtë dhe përcaktoi postulatet themelore që lidhen me vetitë e figurave të rrafshët.
Kushti klasik për paralelizmin e planeve u formulua si më poshtë: dy plane mund të quhen paralelë nëse nuk kanë pika të përbashkëta me njëri-tjetrin. Ky ishte postulati i pestë i punës Euklidiane.
Vetitë e rrafsheve paralele
Në gjeometrinë Euklidiane, zakonisht ka pesë prej tyre:
Vetësia e parë (përshkruan paralelizmin e planeve dhe veçantinë e tyre). Përmes një pike që shtrihet jashtë një rrafshi të caktuar të caktuar, ne mund të vizatojmë një dhe vetëm një rrafsh paralel me të
- Vetësia e dytë (e quajtur edhe vetia e tre paraleleve). Kur dy avionë janëparalel me të tretën, ato janë gjithashtu paralele me njëra-tjetrën.
Vetësia e tretë (me fjalë të tjera, quhet veti e një drejtëze që pret paralelizmin e rrafsheve). Nëse një drejtëz e vetme pret njërin prej këtyre rrafsheve paralele, atëherë ajo do të presë tjetrin
Vetësia e katërt (vetia e drejtëzave të prera në rrafshe paralel me njëri-tjetrin). Kur dy plane paralele kryqëzohen me një të tretë (në çdo kënd), vijat e tyre të kryqëzimit janë gjithashtu paralele
Vetësia e pestë (një veti që përshkruan segmente të drejtëzave të ndryshme paralele që janë të mbyllura midis rrafsheve paralele me njëri-tjetrin). Segmentet e atyre drejtëzave paralele që janë të mbyllura ndërmjet dy rrafsheve paralele janë domosdoshmërisht të barabarta
Paralelizmi i planeve në gjeometritë jo-Euklidiane
Qasje të tilla janë, në veçanti, gjeometria e Lobachevsky dhe Riemann. Nëse gjeometria e Euklidit realizohej në hapësira të rrafshta, atëherë gjeometria e Lobachevskit realizohej në hapësira të lakuara negativisht (thjesht e lakuar) dhe tek ajo e Rimanit realizimin e saj e gjen në hapësira të lakuara pozitivisht (me fjalë të tjera, sfera). Ekziston një mendim shumë i zakonshëm stereotip se planet paralele të Lobachevsky (dhe linjat gjithashtu) kryqëzohen.
Megjithatë, kjo nuk është e saktë. Në të vërtetë, lindja e gjeometrisë hiperbolike u shoqërua me vërtetimin e postulatit të pestë të Euklidit dhe ndryshiminpikëpamjet për të, megjithatë, vetë përkufizimi i rrafsheve dhe vijave paralele nënkupton që ato nuk mund të kryqëzohen as në Lobachevsky dhe as në Riemann, pavarësisht se në çfarë hapësirash janë realizuar. Dhe ndryshimi në pikëpamje dhe formulime ishte si më poshtë. Postulati që vetëm një rrafsh paralel mund të vizatohet përmes një pike që nuk shtrihet në një rrafsh të caktuar është zëvendësuar nga një formulim tjetër: përmes një pike që nuk shtrihet në një plan të caktuar të caktuar, të paktën dy linja që shtrihen në i njëjti rrafsh me atë të dhënë dhe mos e kryqëzo atë.
