Për të kuptuar se cilat janë pikat ekstreme të një funksioni, nuk është aspak e nevojshme të dimë për praninë e derivatit të parë dhe të dytë dhe të kuptojmë kuptimin fizik të tyre. Së pari ju duhet të kuptoni sa vijon:
- funksioni ekstrem maksimizon ose, anasjelltas, minimizon vlerën e funksionit në një lagje arbitrare të vogël;
- Nuk duhet të ketë një ndërprerje funksioni në pikën ekstreme.
Dhe tani e njëjta gjë, vetëm në gjuhë të thjeshtë. Shikoni majën e një stilolapsi. Nëse stilolapsi vendoset vertikalisht, me përfundimin e shkrimit, atëherë mesi i topit do të jetë pika ekstreme - pika më e lartë. Në këtë rast, ne flasim për maksimumin. Tani, nëse e ktheni stilolapsin me fundin e shkrimit poshtë, atëherë në mes të topit do të ketë tashmë një minimum të funksionit. Me ndihmën e figurës së dhënë këtu, mund të imagjinoni manipulimet e listuara për një laps shkrimi. Pra, ekstremet e një funksioni janë gjithmonë pika kritike: maksimumi ose minimumi i tij. Seksioni ngjitur i grafikut mund të jetë arbitrarisht i mprehtë ose i lëmuar, por duhet të ekzistojë në të dy anët, vetëm në këtë rast pika është një ekstrem. Nëse grafiku është i pranishëm vetëm në njërën anë, kjo pikë nuk do të jetë një ekstrem edhe nëse në njërën anëplotësohen kushtet ekstreme. Tani le të studiojmë ekstremin e funksionit nga një këndvështrim shkencor. Në mënyrë që një pikë të konsiderohet një ekstrem, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që:
- derivati i parë ishte i barabartë me zero ose nuk ekzistonte në pikë;
- derivati i parë ndryshoi shenjën e tij në këtë pikë.
Kushti interpretohet disi ndryshe nga pikëpamja e derivateve të rendit më të lartë: për një funksion të diferencueshëm në një pikë, mjafton që të ketë një derivat të rendit tek që nuk është i barabartë me zero, ndërsa të gjithë derivatet e rendit më të ulët duhet të ekzistojnë dhe të jenë të barabartë me zero. Ky është interpretimi më i thjeshtë i teoremave nga tekstet shkollore të matematikës së lartë. Por për njerëzit më të zakonshëm, ia vlen të shpjegohet kjo pikë me një shembull. Baza është një parabolë e zakonshme. Menjëherë bëni një rezervim, në pikën zero ka një minimum. Vetëm pak matematikë:
- derivati i parë (X2)|=2X, për pikën zero 2X=0;
- dervat i dytë (2X)|=2, për pikën zero 2=2.
Ky është një ilustrim i thjeshtë i kushteve që përcaktojnë ekstremet e funksionit si për derivatet e rendit të parë ashtu edhe për derivatet e rendit më të lartë. Mund t'i shtojmë kësaj se derivati i dytë është i njëjti derivat i një rendi tek, i pabarabartë me zero, i cili u diskutua pak më lart. Kur bëhet fjalë për ekstremet e një funksioni të dy variablave, kushtet duhet të plotësohen për të dy argumentet. Kurndodh përgjithësimi, pastaj përdoren derivatet e pjesshme. Kjo do të thotë, është e nevojshme për praninë e një ekstremi në një pikë që të dy derivatet e rendit të parë të jenë të barabartë me zero, ose të paktën njëri prej tyre nuk ekziston. Për mjaftueshmërinë e pranisë së një ekstremi, hetohet një shprehje, e cila është diferenca midis prodhimit të derivateve të rendit të dytë dhe katrorit të derivatit të përzier të rendit të dytë të funksionit. Nëse kjo shprehje është më e madhe se zero, atëherë ekziston një ekstrem, dhe nëse ka zero, atëherë pyetja mbetet e hapur dhe nevojiten kërkime shtesë.
