Në vitin 1900, një nga shkencëtarët më të mëdhenj të shekullit të kaluar, David Hilbert, përpiloi një listë me 23 probleme të pazgjidhura në matematikë. Puna mbi to pati një ndikim të jashtëzakonshëm në zhvillimin e kësaj fushe të njohurive njerëzore. 100 vjet më vonë, Instituti Matematik Clay prezantoi një listë me 7 probleme të njohura si Problemet e Mijëvjeçarit. Secilit prej tyre iu ofrua një çmim prej 1 milion dollarësh.
I vetmi problem që u shfaq në të dy listat e enigmave që i kanë ndjekur shkencëtarët për më shumë se një shekull ishte hipoteza e Riemann-it. Ajo është ende duke pritur për vendimin e saj.
Shënim i shkurtër biografik
Georg Friedrich Bernhard Riemann lindi në vitin 1826 në Hannover, në një familje të madhe të një pastori të varfër dhe jetoi vetëm 39 vjet. Ai arriti të botojë 10 vepra. Sidoqoftë, tashmë gjatë jetës së tij, Riemann u konsiderua pasardhësi i mësuesit të tij Johann Gauss. Në moshën 25 vjeçare, shkencëtari i ri mbrojti disertacionin e tij "Bazat e teorisë së funksioneve të një ndryshoreje komplekse". Më vonë ai formuloihipoteza e tij e famshme.
Numrat kryesor
Matematika u shfaq kur njeriu mësoi të numëronte. Në të njëjtën kohë, lindën idetë e para për numrat, të cilat më vonë u përpoqën t'i klasifikonin. Disa prej tyre janë vërejtur se kanë veti të përbashkëta. Në veçanti, midis numrave natyrorë, d.m.th., atyre që përdoreshin për numërimin (numërimin) ose përcaktimin e numrit të objekteve, dallohej një grup që ishin të pjesëtueshëm vetëm me një dhe me vetveten. Ato quhen të thjeshta. Një provë elegante e teoremës së pafundësisë së grupit të numrave të tillë u dha nga Euklidi në Elementet e tij. Për momentin, kërkimet e tyre vazhdojnë. Në veçanti, numri më i madh i njohur tashmë është 274 207 281 – 1.
Formula Euler
Së bashku me konceptin e pafundësisë së grupit të numrave të thjeshtë, Euklidi përcaktoi edhe teoremën e dytë mbi zbërthimin e vetëm të mundshëm në faktorët kryesorë. Sipas tij, çdo numër i plotë pozitiv është produkt i vetëm një grupi numrash të thjeshtë. Në 1737, matematikani i madh gjerman Leonhard Euler shprehu teoremën e parë të pafundësisë së Euklidit si formulën e mëposhtme.
Quhet funksioni zeta, ku s është një konstante dhe p merr të gjitha vlerat kryesore. Deklarata e Euklidit për veçantinë e zgjerimit pasoi drejtpërdrejt prej tij.
Funksioni Riemann Zeta
Formula e Euler-it, me një inspektim më të afërt, është plotësishtbefasuese sepse përcakton marrëdhënien midis numrave të thjeshtë dhe numrave të plotë. Në fund të fundit, pafundësisht shumë shprehje që varen vetëm nga numrat e thjeshtë shumëzohen në anën e majtë të saj dhe shuma e lidhur me të gjithë numrat e plotë pozitiv ndodhet në të djathtë.
Riemann shkoi më tej se Euler. Për të gjetur çelësin e problemit të shpërndarjes së numrave, ai propozoi të përcaktohej një formulë për variablat reale dhe komplekse. Ishte ajo që më pas mori emrin e funksionit Zeta Riemann. Në vitin 1859, shkencëtari botoi një artikull me titull "Mbi numrin e numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë një vlerë të caktuar", ku ai përmblodhi të gjitha idetë e tij.
Riemann sugjeroi përdorimin e serisë Euler, e cila konvergon për çdo s>1 real. Nëse përdoret e njëjta formulë për s komplekse, atëherë seria do të konvergojë për çdo vlerë të kësaj ndryshore me një pjesë reale më të madhe se 1. Riemann zbatoi procedurën e vazhdimit analitik, duke zgjeruar përkufizimin e zeta(s) për të gjithë numrat kompleksë, por "e hedhur jashtë" njësinë. Ai u përjashtua sepse në s=1 funksioni zeta rritet në pafundësi.
Ndjenjë praktike
Ngrihet një pyetje logjike: pse funksioni zeta, i cili është kyç në punën e Riemann-it mbi hipotezën zero, është interesant dhe i rëndësishëm? Siç e dini, për momentin nuk është identifikuar asnjë model i thjeshtë që do të përshkruante shpërndarjen e numrave të thjeshtë midis numrave natyrorë. Riemann ishte në gjendje të zbulonte se numri pi(x) i numrave të thjeshtë që nuk e kalon x shprehet në termat e shpërndarjes së zerave jo të parëndësishme të funksionit zeta. Për më tepër, hipoteza e Riemann-it ështënjë kusht i domosdoshëm për të vërtetuar vlerësimet e kohës për funksionimin e disa algoritmeve kriptografike.
Hipoteza e Riemann
Një nga formulimet e para të këtij problemi matematik, i cili nuk është vërtetuar deri më sot, tingëllon kështu: funksionet jo të parëndësishme 0 zeta janë numra komplekse me pjesën reale të barabartë me ½. Me fjalë të tjera, ato janë të vendosura në vijën Re s=½.
Ekziston gjithashtu një hipotezë e përgjithësuar e Riemann-it, e cila është e njëjta deklaratë, por për përgjithësimet e funksioneve zeta, të cilat zakonisht quhen funksione L-dirichlet (shih foton më poshtë).
Në formulën χ(n) - disa karaktere numerike (modulo k).
Deklarata Riemannian konsiderohet e ashtuquajtura hipotezë zero, pasi është testuar për konsistencë me të dhënat ekzistuese të mostrës.
Siç argumentoi Riemann
Vërejtja e matematikanit gjerman fillimisht u formulua mjaft rastësisht. Fakti është se në atë kohë shkencëtari do të provonte teoremën mbi shpërndarjen e numrave të thjeshtë, dhe në këtë kontekst, kjo hipotezë nuk kishte ndonjë rëndësi të veçantë. Megjithatë, roli i tij në zgjidhjen e shumë çështjeve të tjera është i madh. Kjo është arsyeja pse supozimi i Riemann-it njihet tani nga shumë shkencëtarë si më i rëndësishmi nga problemet matematikore të paprovuara.
Siç është përmendur tashmë, hipoteza e plotë e Riemann-it nuk nevojitet për të vërtetuar teoremën e shpërndarjes dhe mjafton të justifikohet logjikisht se pjesa reale e çdo zero jo të parëndësishme të funksionit zeta është nëndërmjet 0 dhe 1. Nga kjo veti del se shuma mbi të gjitha 0-të e funksionit zeta që shfaqet në formulën e saktë të mësipërme është një konstante e fundme. Për vlera të mëdha të x, mund të humbet fare. I vetmi anëtar i formulës që mbetet i njëjtë edhe për x shumë të madh është x vetë. Termat e mbetur kompleksë zhduken në mënyrë asimptotike në krahasim me të. Pra shuma e ponderuar tenton në x. Kjo rrethanë mund të konsiderohet si një konfirmim i së vërtetës së teoremës mbi shpërndarjen e numrave të thjeshtë. Kështu, zerot e funksionit zeta të Riemann-it kanë një rol të veçantë. Ai konsiston në vërtetimin se vlera të tilla nuk mund të japin një kontribut të rëndësishëm në formulën e zbërthimit.
Ndjekësit e Riemann
Vdekja tragjike nga tuberkulozi nuk e lejoi këtë shkencëtar ta çonte programin e tij në fundin e tij logjik. Mirëpo, Sh-Zh mori përsipër prej tij. de la Vallée Poussin dhe Jacques Hadamard. Në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri, ata nxorën një teoremë mbi shpërndarjen e numrave të thjeshtë. Hadamard dhe Poussin arritën të vërtetojnë se të gjitha funksionet jo të parëndësishme 0 zeta janë brenda brezit kritik.
Falë punës së këtyre shkencëtarëve, është shfaqur një drejtim i ri në matematikë - teoria analitike e numrave. Më vonë, disa prova të tjera primitive të teoremës që Riemann po punonte u morën nga studiues të tjerë. Në veçanti, Pal Erdős dhe Atle Selberg zbuluan madje një zinxhir logjik shumë kompleks që e konfirmonte atë, i cili nuk kërkonte përdorimin e analizave komplekse. Megjithatë, në këtë pikë, disa të rëndësishmeteorema, duke përfshirë përafrimet e shumë funksioneve të teorisë së numrave. Në këtë drejtim, puna e re e Erdős dhe Atle Selberg praktikisht nuk ndikoi asgjë.
Një nga provat më të thjeshta dhe më të bukura të problemit u gjet në vitin 1980 nga Donald Newman. Ai u bazua në teoremën e famshme Cauchy.
A kërcënon hipoteza Riemanniane themelet e kriptografisë moderne
Kriptimi i të dhënave u ngrit së bashku me shfaqjen e hieroglifeve, më saktë, ato vetë mund të konsiderohen kodet e para. Për momentin, ekziston një fushë e tërë e kriptografisë dixhitale, e cila po zhvillon algoritme kriptimi.
Numrat e thjeshtë dhe "gjysmë të thjeshtë", pra ata që pjesëtohen vetëm me 2 numra të tjerë nga e njëjta klasë, formojnë bazën e sistemit të çelësit publik të njohur si RSA. Ka aplikimin më të gjerë. Në veçanti, përdoret kur krijoni një nënshkrim elektronik. Duke folur në terma të arritshëm për dummies, hipoteza e Riemann-it pohon ekzistencën e një sistemi në shpërndarjen e numrave të thjeshtë. Kështu, forca e çelësave kriptografikë, nga të cilët varet siguria e transaksioneve online në fushën e tregtisë elektronike, është ulur ndjeshëm.
Probleme të tjera të pazgjidhura matematike
Ia vlen të përfundosh artikullin duke i kushtuar disa fjalë objektivave të tjerë të mijëvjeçarit. Këto përfshijnë:
- Barazia e klasave P dhe NP. Problemi formulohet si më poshtë: nëse një përgjigje pozitive për një pyetje të caktuar kontrollohet në kohë polinomiale, atëherë a është e vërtetë që vetë përgjigjja për këtë pyetjemund të gjendet shpejt?
- Hupozimi i Hodge. Me fjalë të thjeshta, ai mund të formulohet si më poshtë: për disa lloje të varieteteve (hapësirave) algjebrike projektive, ciklet hodge janë kombinime objektesh që kanë një interpretim gjeometrik, d.m.th., cikle algjebrike.
- Hupozimi i Poincaré. Kjo është e vetmja Sfidë e Mijëvjeçarit që është vërtetuar deri më tani. Sipas saj, çdo objekt 3-dimensional që ka vetitë specifike të një sfere 3-dimensionale duhet të jetë një sferë, deri në deformim.
- Afirmimi i teorisë kuantike të Yang - Mills. Kërkohet të vërtetohet se teoria kuantike e paraqitur nga këta shkencëtarë për hapësirën R 4 ekziston dhe ka një defekt të masës 0 për çdo grup të thjeshtë të matësit kompakt G.
- Hipoteza Birch-Swinnerton-Dyer. Kjo është një çështje tjetër që lidhet me kriptografinë. Prek kthesat eliptike.
- Problemi i ekzistencës dhe butësisë së zgjidhjeve të ekuacioneve Navier-Stokes.
Tani ju e dini hipotezën e Riemann-it. Me fjalë të thjeshta, ne kemi formuluar disa nga Sfidat e tjera të Mijëvjeçarit. Që do të zgjidhen apo do të vërtetohet se nuk kanë zgjidhje është çështje kohe. Për më tepër, nuk ka gjasa që kjo të duhet të presë shumë, pasi matematika po përdor gjithnjë e më shumë aftësitë kompjuterike të kompjuterëve. Megjithatë, jo gjithçka i nënshtrohet teknologjisë dhe para së gjithash kërkohet intuitë dhe kreativiteti për të zgjidhur problemet shkencore.
