Problemat e pazgjidhshme janë 7 problemet më interesante matematikore. Secila prej tyre u propozua në një kohë nga shkencëtarë të njohur, si rregull, në formën e hipotezave. Për shumë dekada, matematikanët anembanë botës kanë grumbulluar trurin e tyre për zgjidhjen e tyre. Ata që kanë sukses do të shpërblehen me një milion dollarë amerikanë të ofruar nga Instituti Clay.
Backstory
Në vitin 1900, matematikani i madh gjerman David Hilbert paraqiti një listë me 23 probleme.
Kërkimet e kryera për zgjidhjen e tyre patën një ndikim të madh në shkencën e shekullit të 20-të. Për momentin, shumica prej tyre kanë pushuar së qeni mistere. Ndër të pazgjidhura ose pjesërisht të zgjidhura ishin:
- problemi i konsistencës së aksiomave aritmetike;
- ligji i përgjithshëm i reciprocitetit në hapësirën e çdo fushe numrash;
- studim matematik i aksiomave fizike;
- studim i formave kuadratike për numrat algjebrikë arbitrareshanset;
- problemi i justifikimit rigoroz të gjeometrisë llogaritëse të Fyodor Schubert;
- etj.
Të paeksploruara janë: problemi i shtrirjes së teoremës së njohur Kronecker në çdo rajon algjebrik të racionalitetit dhe hipoteza e Riemann-it.
Instituti Clay
Ky është emri i një organizate private jofitimprurëse me seli në Kembrixh, Massachusetts. Ajo u themelua në vitin 1998 nga matematikani i Harvardit A. Jeffey dhe biznesmeni L. Clay. Qëllimi i Institutit është popullarizimi dhe zhvillimi i njohurive matematikore. Për të arritur këtë, organizata u jep çmime shkencëtarëve dhe sponsorizon kërkime premtuese.
Në fillim të shekullit të 21-të, Instituti Clay i Matematikës ofroi një çmim për ata që zgjidhin ato që njihen si problemet më të vështira të pazgjidhshme, duke e quajtur listën e tyre Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit. Vetëm hipoteza e Riemann-it u përfshi në listën e Hilbertit.
Sfidat e Mijëvjeçarit
Lista e Institutit Clay fillimisht përfshinte:
- hipoteza e ciklit Hodge;
- ekuacionet e teorisë kuantike Yang-Mills;
- hipoteza Poincare;
- problemi i barazisë së klasave P dhe NP;
- hipoteza e Riemann;
- ekuacionet Navier-Stokes, mbi ekzistencën dhe butësinë e zgjidhjeve të tij;
- Problemi Birch-Swinnerton-Dyer.
Këto probleme të hapura matematikore janë me interes të madh, pasi ato mund të kenë shumë zbatime praktike.
Çfarë vërtetoi Grigory Perelman
Në vitin 1900, filozofi i famshëm Henri Poincaré sugjeroi që çdo 3-manifold kompakt i lidhur thjesht pa kufi është homeomorfik ndaj një sfere 3-dimensionale. Prova e saj në rastin e përgjithshëm nuk u gjet për një shekull. Vetëm në 2002-2003, matematikani i Shën Petersburgut G. Perelman botoi një numër artikujsh me një zgjidhje për problemin Poincaré. Ata kishin efektin e një bombe shpërthyese. Në vitin 2010, hipoteza Poincare u përjashtua nga lista e "Problemeve të Pazgjidhura" të Institutit Clay, dhe vetë Perelmanit iu ofrua të merrte një shpërblim të konsiderueshëm për të, të cilin ky i fundit e refuzoi pa shpjeguar arsyet e vendimit të tij.
Shpjegimi më i kuptueshëm i asaj që matematikani rus arriti të provojë mund të jepet duke imagjinuar se një disk gome tërhiqet mbi një donut (torus), dhe më pas ata përpiqen të tërheqin skajet e rrethit të tij në një pikë. Është e qartë se kjo nuk është e mundur. Një tjetër gjë, nëse e bëni këtë eksperiment me një top. Në këtë rast, një sferë në dukje tre-dimensionale, që rezulton nga një disk, perimetri i të cilit tërhiqej në një pikë nga një kordon hipotetik, do të ishte tre-dimensionale në kuptimin e një personi të zakonshëm, por dydimensionale për sa i përket matematikës.
Poincare sugjeroi se një sferë tredimensionale është i vetmi "objekt" tredimensional, sipërfaqja e të cilit mund të tkurret në një pikë, dhe Perelman arriti ta vërtetojë atë. Kështu, lista e “problemeve të pazgjidhshme” sot përbëhet nga 6 probleme.
Teoria Yang-Mills
Ky problem matematikor u propozua nga autorët e tij në 1954. Formulimi shkencor i teorisë është si më poshtë:për çdo grup të thjeshtë matës kompakt, ekziston teoria hapësinore kuantike e krijuar nga Yang dhe Mills, dhe në të njëjtën kohë ka një defekt në masë zero.
Duke folur në një gjuhë të kuptueshme për një person të zakonshëm, ndërveprimet midis objekteve natyrore (grimca, trupa, valë, etj.) ndahen në 4 lloje: elektromagnetike, gravitacionale, të dobëta dhe të forta. Për shumë vite, fizikanët janë përpjekur të krijojnë një teori të përgjithshme të fushës. Ai duhet të bëhet një mjet për të shpjeguar të gjitha këto ndërveprime. Teoria Yang-Mills është një gjuhë matematikore me të cilën u bë e mundur të përshkruheshin 3 nga 4 forcat kryesore të natyrës. Nuk vlen për gravitetin. Prandaj, nuk mund të konsiderohet se Yang dhe Mills patën sukses në krijimin e një teorie të fushës.
Përveç kësaj, jolineariteti i ekuacioneve të propozuara i bën ato jashtëzakonisht të vështira për t'u zgjidhur. Për konstantat e vogla të bashkimit, ato mund të zgjidhen përafërsisht në formën e një serie teorie perturbimi. Megjithatë, nuk është ende e qartë se si këto ekuacione mund të zgjidhen me bashkim të fortë.
ekuacionet Navier-Stokes
Këto shprehje përshkruajnë procese të tilla si rrymat e ajrit, rrjedha e lëngjeve dhe turbulencat. Për disa raste të veçanta, tashmë janë gjetur zgjidhje analitike të ekuacionit Navier-Stokes, por deri më tani askush nuk ka arritur ta bëjë këtë për atë të përgjithshëm. Në të njëjtën kohë, simulimet numerike për vlera specifike të shpejtësisë, densitetit, presionit, kohës, etj., mund të arrijnë rezultate të shkëlqyera. Mbetet për të shpresuar se dikush do të jetë në gjendje të zbatojë ekuacionet Navier-Stokes në të kundërtdrejtim, d.m.th. llogaritni parametrat duke i përdorur ato, ose provoni se nuk ka metodë zgjidhjeje.
Problemi Birch-Swinnerton-Dyer
Kategoria e "Problemeve të Pazgjidhura" përfshin gjithashtu hipotezën e propozuar nga shkencëtarët britanikë nga Universiteti i Kembrixhit. Edhe 2300 vjet më parë, shkencëtari i lashtë grek Euklidi dha një përshkrim të plotë të zgjidhjeve të ekuacionit x2 + y2=z2.
Nëse për çdo numër të thjeshtë numërojmë numrin e pikave në modulin e kurbës, marrim një grup të pafund numrash të plotë. Nëse e "ngjisni" atë në mënyrë specifike në 1 funksion të një ndryshoreje komplekse, atëherë merrni funksionin zeta Hasse-Weil për një kurbë të rendit të tretë, të shënuar me shkronjën L. Ai përmban informacion në lidhje me modulin e sjelljes së të gjithë numrave të thjeshtë menjëherë.
Brian Birch dhe Peter Swinnerton-Dyer supozuan rreth kthesave eliptike. Sipas tij, struktura dhe numri i grupit të zgjidhjeve të tij racionale janë të lidhura me sjelljen e funksionit L në identitet. Hamendja aktualisht e paprovuar Birch-Swinnerton-Dyer varet nga përshkrimi i ekuacioneve algjebrike të shkallës së tretë dhe është e vetmja mënyrë e përgjithshme relativisht e thjeshtë për të llogaritur rangimin e kurbave eliptike.
Për të kuptuar rëndësinë praktike të kësaj detyre, mjafton të thuhet se në kriptografinë moderne një klasë e tërë sistemesh asimetrike bazohet në kthesa eliptike dhe standardet e nënshkrimit dixhital vendas bazohen në aplikimin e tyre.
Barazimi i klasave p dhe np
Nëse pjesa tjetër e Sfidave të Mijëvjeçarit janë thjesht matematikore, atëherë kjo kalidhje me teorinë aktuale të algoritmeve. Problemi në lidhje me barazinë e klasave p dhe np, i njohur gjithashtu si problemi Cooke-Levin, mund të formulohet në një gjuhë të kuptueshme si më poshtë. Supozoni se një përgjigje pozitive për një pyetje të caktuar mund të kontrollohet mjaft shpejt, d.m.th., në kohë polinomiale (PT). Atëherë, a është e saktë thënia se përgjigja për të mund të gjendet mjaft shpejt? Edhe më i thjeshtë ky problem tingëllon kështu: a nuk është vërtet më e vështirë të kontrollosh zgjidhjen e problemit sesa ta gjesh atë? Nëse ndonjëherë vërtetohet barazia e klasave p dhe np, atëherë të gjitha problemet e përzgjedhjes mund të zgjidhen për PV. Për momentin, shumë ekspertë dyshojnë në vërtetësinë e kësaj deklarate, megjithëse nuk mund të vërtetojnë të kundërtën.
Hipoteza e Riemann
Deri në vitin 1859, nuk u gjet asnjë model që do të përshkruante se si numrat e thjeshtë shpërndahen midis numrave natyrorë. Ndoshta kjo për faktin se shkenca merrej me çështje të tjera. Megjithatë, nga mesi i shekullit të 19-të, situata kishte ndryshuar dhe ato u bënë një nga më të rëndësishmet me të cilat filloi të merrej matematika.
Hipoteza e Riemanit, e cila u shfaq gjatë kësaj periudhe, është supozimi se ekziston një model i caktuar në shpërndarjen e numrave të thjeshtë.
Sot, shumë shkencëtarë modernë besojnë se nëse vërtetohet, atëherë do të jetë e nevojshme të rishikohen shumë nga parimet themelore të kriptografisë moderne, të cilat përbëjnë bazën e një pjese të konsiderueshme të mekanizmave të tregtisë elektronike.
Sipas hipotezës së Riemann-it, personazhishpërndarja e numrave të thjeshtë mund të jetë dukshëm e ndryshme nga ajo që supozohet aktualisht. Fakti është se deri më tani nuk është zbuluar asnjë sistem në shpërndarjen e numrave të thjeshtë. Për shembull, ekziston problemi i "binjakëve", ndryshimi midis të cilave është 2. Këta numra janë 11 dhe 13, 29. Numrat e tjerë të thjeshtë formojnë grupime. Këto janë 101, 103, 107, etj. Shkencëtarët kanë dyshuar prej kohësh se grupime të tilla ekzistojnë midis numrave të thjeshtë shumë të mëdhenj. Nëse gjenden, atëherë do të vihet në pikëpyetje fuqia e çelësave modernë të kriptove.
hipoteza e ciklit hodge
Ky problem ende i pazgjidhur u formulua në vitin 1941. Hipoteza e Hodge sugjeron mundësinë e përafrimit të formës së çdo objekti duke "ngjitur" së bashku trupa të thjeshtë me dimensione më të larta. Kjo metodë është e njohur dhe e përdorur me sukses për një kohë të gjatë. Megjithatë, nuk dihet deri në çfarë mase mund të bëhet thjeshtimi.
Tani e dini se çfarë problemesh të pazgjidhshme ekzistojnë për momentin. Ato janë objekt i kërkimit nga mijëra shkencëtarë në mbarë botën. Mbetet për të shpresuar se ato do të zgjidhen në të ardhmen e afërt dhe zbatimi i tyre praktik do të ndihmojë njerëzimin të hyjë në një raund të ri të zhvillimit teknologjik.
