Në matematikë dhe përpunim, koncepti i një sinjali analitik (shkurt - C, AC) është një funksion kompleks që nuk ka komponentë të frekuencës negative. Pjesët reale dhe imagjinare të këtij fenomeni janë funksione reale të lidhura me njëri-tjetrin nga transformimi i Hilbertit. Një sinjal analitik është një fenomen mjaft i zakonshëm në kimi, thelbi i të cilit është i ngjashëm me përkufizimin matematikor të këtij koncepti.
Performanca
Parafaqja analitike e një funksioni real është një sinjal analitik që përmban funksionin origjinal dhe transformimin e tij Hilbert. Ky paraqitje lehtëson shumë manipulime matematikore. Ideja kryesore është që komponentët e frekuencës negative të transformimit (ose spektrit) Furier të një funksioni real janë të tepërt për shkak të simetrisë hermitiane të një spektri të tillë. Këta komponentë të frekuencës negative mund të hidhen pahumbja e informacionit, me kusht që në vend të kësaj të dëshironi të merreni me një funksion kompleks. Kjo i bën disa atribute të veçorive më të aksesueshme dhe e bën më të lehtë nxjerrjen e teknikave të modulimit dhe demodulimit si SSB.
Përbërës negativ
Përderisa funksioni që manipulohet nuk ka komponentë të frekuencës negative (d.m.th. është ende analitik), shndërrimi nga mbrapa kompleks në real është thjesht një çështje e heqjes së pjesës imagjinare. Paraqitja analitike është një përgjithësim i konceptit të një vektori: ndërsa një vektor është i kufizuar në një amplitudë, fazë dhe frekuencë të pandryshueshme në kohë, një analizë cilësore e një sinjali analitik lejon parametra që ndryshojnë në kohë.
Amplituda e menjëhershme, faza dhe frekuenca e menjëhershme përdoren në disa aplikacione për të matur dhe zbuluar veçoritë lokale të C. Një aplikim tjetër i paraqitjes analitike lidhet me demodulimin e sinjaleve të moduluara. Koordinatat polare ndajnë në mënyrë të përshtatshme efektet e modulimit AM dhe fazës (ose frekuencës) dhe demodulin në mënyrë efektive disa lloje.
Pastaj një filtër i thjeshtë me kalim të ulët me koeficientë realë mund të ndërpresë pjesën e interesit. Një tjetër motiv është ulja e frekuencës maksimale, e cila ul frekuencën minimale për kampionimin jo-alias. Zhvendosja e frekuencës nuk minon dobinë matematikore të përfaqësimit. Kështu, në këtë kuptim, konvertimi i poshtëm është ende analitik. Megjithatë, rivendosja e përfaqësimit realnuk është më një çështje e thjeshtë për të nxjerrë thjesht komponentin real. Mund të kërkohet konvertim i sipërm dhe nëse sinjali merret me kampion (kohë diskrete), mund të kërkohet gjithashtu interpolimi (kampionimi i lart) për të shmangur aliasing.
Variables
Koncepti është i përcaktuar mirë për fenomenet e një variabël të vetëm, i cili zakonisht është i përkohshëm. Kjo përkohshmëri ngatërron shumë matematikanë fillestarë. Për dy ose më shumë variabla, C analitike mund të përkufizohet në mënyra të ndryshme dhe dy qasje janë paraqitur më poshtë.
Pjesët reale dhe imagjinare të këtij fenomeni korrespondojnë me dy elementë të një sinjali monogjenik me vlerë vektoriale, siç përcaktohet për fenomene të ngjashme me një ndryshore. Megjithatë, monogjenik mund të zgjerohet në një numër arbitrar të ndryshoreve në një mënyrë të thjeshtë, duke krijuar një funksion vektorial (n + 1)-dimensionale për rastin e sinjaleve n-ndryshore.
Konvertimi i sinjalit
Ju mund të konvertoni një sinjal real në një analitik duke shtuar një komponent imagjinar (Q), i cili është transformimi Hilbert i komponentit real.
Meqë ra fjala, kjo nuk është e re për përpunimin e tij dixhital. Një nga mënyrat tradicionale për të gjeneruar AM me një brez të vetëm anësor (SSB), metoda e fazave, përfshin krijimin e sinjaleve duke gjeneruar një transformim Hilbert të një sinjali audio në një rrjet analog rezistor-kondensator. Meqenëse ka vetëm frekuenca pozitive, është e lehtë ta konvertosh atë në një sinjal RF të moduluar me vetëm një brez anësor.
Formulat e përkufizimit
Shprehja analitike e sinjalit është një funksion kompleks holomorfik i përcaktuar në kufirin e gjysmërrafshit kompleks të sipërm. Kufiri i gjysmëplanit të sipërm përkon me të rastit, kështu që C jepet nga hartëzimi fa: R → C. Që nga mesi i shekullit të kaluar, kur Denis Gabor propozoi në vitin 1946 të përdorej këtë fenomen për të studiuar amplituda dhe faza konstante., sinjali ka gjetur shumë aplikime. E veçanta e këtij fenomeni u theksua [Vak96], ku u tregua se vetëm një analizë cilësore e sinjalit analitik i përgjigjet kushteve fizike për amplitudë, fazë dhe frekuencë.
Arritjet më të fundit
Gjatë dekadave të fundit, ka pasur një interes për studimin e sinjalit në shumë dimensione, i motivuar nga problemet që lindin në fusha që variojnë nga përpunimi i imazhit/videos deri tek proceset osciluese shumëdimensionale në fizikë, si sizmike, elektromagnetike dhe valët gravitacionale. Në përgjithësi është pranuar se, për të përgjithësuar saktë C analitike (analizë cilësore) në rastin e disa dimensioneve, duhet të mbështetemi në një ndërtim algjebrik që zgjeron numrat kompleksë të zakonshëm në një mënyrë të përshtatshme. Ndërtime të tilla zakonisht quhen numra hiperkompleks [SKE].
Më në fund, duhet të jetë e mundur të ndërtohet një sinjal analitik hiperkompleks fh: Rd → S, ku përfaqësohet një sistem i përgjithshëm algjebrik hiperkompleks, i cili natyrisht zgjeron të gjitha vetitë e nevojshme për të marrë një amplitudë të menjëhershme dhefaza.
Studim
Një numër punimesh i kushtohen çështjeve të ndryshme që lidhen me zgjedhjen e saktë të sistemit të numrave hiperkompleks, përcaktimin e transformimit hiperkompleks Furier dhe transformimeve thyesore të Hilbertit për studimin e amplitudës dhe fazës së menjëhershme. Shumica e kësaj pune u bazua në vetitë e hapësirave të ndryshme si Cd, kuaternionet, algjebrat Clearon dhe ndërtimet Cayley-Dixon.
Më pas, do të listojmë vetëm disa nga punimet kushtuar studimit të sinjalit në shumë dimensione. Me sa dimë, punimet e para mbi metodën multivariate u morën në fillim të viteve 1990. Këto përfshijnë punën e Ellit [Ell92] mbi transformimet hiperkomplekse; Puna e Bulow mbi përgjithësimin e metodës së reaksionit analitik (sinjali analitik) në shumë matje [BS01] dhe puna e Felsberg dhe Sommer mbi sinjalet monogjenike.
Perspektiva të mëtejshme
Sinjali hiperkompleks pritet të zgjerojë të gjitha vetitë e dobishme që kemi në rastin 1D. Para së gjithash, ne duhet të jemi në gjendje të nxjerrim dhe përgjithësojmë amplitudën dhe fazën e menjëhershme në matjet. Së dyti, spektri Fourier i një sinjali kompleks analitik mbahet vetëm në frekuenca pozitive, kështu që ne presim që transformimi Furier hiperkompleksi të ketë spektrin e tij të hipervlerësuar, i cili do të ruhet vetëm në një kuadrant pozitiv të hapësirës hiperkomplekse. Sepse është shumë e rëndësishme.
Së treti, bashkoni pjesët e një koncepti komplekstë sinjalit analitik janë të lidhura me transformimin e Hilbertit dhe mund të presim që komponentët e konjuguar në hapësirën hiperkomplekse duhet të lidhen edhe me ndonjë kombinim të transformimeve të Hilbertit. Dhe së fundi, në të vërtetë, një sinjal hiperkompleks duhet të përkufizohet si një shtrirje e disa funksioneve holomorfike hiperkomplekse të disa ndryshoreve hiperkomplekse të përcaktuara në kufirin e një forme në një hapësirë hiperkomplekse.
Ne po i trajtojmë këto çështje në rend vijues. Fillimisht, ne fillojmë duke parë formulën integrale të Furierit dhe tregojmë se transformimi i Hilbertit në 1-D lidhet me formulën e modifikuar integrale të Furierit. Ky fakt na lejon të përcaktojmë amplitudën, fazën dhe frekuencën e menjëhershme pa ndonjë referencë për sistemet hiperkomplekse të numrave dhe funksionet holomorfike.
Modifikimi i integraleve
Ne vazhdojmë duke zgjeruar formulën integrale të modifikuar të Furierit në disa dimensione dhe përcaktojmë të gjithë komponentët e nevojshëm të zhvendosur në fazë që mund t'i mbledhim në amplitudë dhe fazë të menjëhershme. Së dyti, ne i drejtohemi çështjes së ekzistencës së funksioneve holomorfike të disa ndryshoreve hiperkomplekse. Pasi [Sch93] rezulton se algjebra hiperkomplekse komutative dhe asociative e krijuar nga një grup gjeneratorësh eliptikë (e2i=-1) është një hapësirë e përshtatshme për të jetuar një sinjal analitik hiperkompleks, ne e quajmë një algjebër të tillë hiperkomplekse hapësirën Schaefers dhe shënojmë atëSd.
Prandaj, hiperkompleksi i sinjaleve analitike përkufizohet si një funksion holomorfik në kufirin e polidiskut / gjysmës së sipërme të planit në një hapësirë hiperkomplekse, të cilën ne e quajmë hapësira e përgjithshme e Schaefers, dhe e shënuar me Sd. Më pas vëzhgojmë vlefshmërinë e formulës integrale të Cauchy për funksionet Sd → Sd, të cilat llogariten mbi një hipersipërfaqe brenda një polidisku në Sd dhe nxjerrin transformimet fraksionale përkatëse të Hilbertit që lidhen me komponentët e konjuguar hiperkompleks. Më në fund, rezulton se transformimi Fourier me vlera në hapësirën Schaefers mbështetet vetëm në frekuenca jo negative. Falë këtij artikulli, ju keni mësuar se çfarë është një sinjal analitik.
