Një cilindër është një nga figurat e thjeshta tre-dimensionale që studiohet në kursin e gjeometrisë shkollore (seksioni gjeometria e ngurtë). Në këtë rast, shpesh lindin probleme në llogaritjen e vëllimit dhe masës së një cilindri, si dhe në përcaktimin e sipërfaqes së tij. Përgjigjet për pyetjet e shënuara janë dhënë në këtë artikull.
Çfarë është një cilindër?
Para se të vazhdoni me përgjigjen e pyetjes, sa është masa e cilindrit dhe vëllimi i tij, ia vlen të merret parasysh se çfarë është kjo figurë hapësinore. Duhet të theksohet menjëherë se një cilindër është një objekt tredimensional. Kjo do të thotë, në hapësirë, ju mund të matni tre nga parametrat e tij përgjatë secilit prej boshteve në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian. Në fakt, për të përcaktuar në mënyrë të qartë dimensionet e një cilindri, mjafton të dimë vetëm dy nga parametrat e tij.
Cilindër është një figurë tredimensionale e formuar nga dy rrathë dhe një sipërfaqe cilindrike. Për ta paraqitur më qartë këtë objekt, mjafton të marrim një drejtkëndësh dhe të fillojmë ta rrotullojmë rreth cilësdo anë të tij, që do të jetë boshti i rrotullimit. Në këtë rast, drejtkëndëshi rrotullues do të përshkruajë formënrrotullimi - cilindër.
Dy sipërfaqe të rrumbullakëta quhen bazat e cilindrit, ato karakterizohen nga një rreze e caktuar. Distanca midis bazave quhet lartësi. Dy bazat janë të ndërlidhura nga një sipërfaqe cilindrike. Vija që kalon nëpër qendrat e të dy rrathëve quhet bosht i cilindrit.
Vëllimi dhe sipërfaqja
Siç mund ta shihni nga sa më sipër, cilindri përcaktohet nga dy parametra: lartësia h dhe rrezja e bazës së tij r. Duke ditur këto parametra, është e mundur të llogariten të gjitha karakteristikat e tjera të trupit të konsideruar. Më poshtë janë kryesoret:
- Sipërfaqja e bazave. Kjo vlerë llogaritet me formulën: S1=2pir2, ku pi është pi e barabartë me 3, 14. Shifra 2 në formulë shfaqet sepse cilindri ka dy baza identike.
- Sipërfaqja cilindrike. Mund të llogaritet kështu: S2=2pirh. Është e lehtë të kuptohet kjo formulë: nëse një sipërfaqe cilindrike pritet vertikalisht nga një bazë në tjetrën dhe zgjerohet, atëherë do të merret një drejtkëndësh, lartësia e të cilit do të jetë e barabartë me lartësinë e cilindrit, dhe gjerësia do të korrespondojë me perimetri i bazës së figurës tredimensionale. Meqenëse sipërfaqja e drejtkëndëshit që rezulton është prodhimi i brinjëve të tij, të cilat janë të barabarta me h dhe 2pir, fitohet formula e mësipërme.
- Sipërfaqja e cilindrit. Është e barabartë me shumën e zonave të S1 dhe S2, marrim: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Vëllimi. Kjo vlerë është e lehtë për t'u gjetur, thjesht duhet të shumëzoni sipërfaqen e një baze me lartësinë e figurës: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Përcaktimi i masës së një cilindri
Më në fund, ia vlen të shkosh drejtpërdrejt në temën e artikullit. Si të përcaktohet masa e një cilindri? Për ta bërë këtë, ju duhet të dini vëllimin e tij, formulën për llogaritjen e cila u prezantua më lart. Dhe dendësia e substancës nga e cila përbëhet. Masa përcaktohet nga një formulë e thjeshtë: m=ρV, ku ρ është dendësia e materialit që formon objektin në fjalë.
Koncepti i dendësisë karakterizon masën e një lënde që është në një njësi vëllimi të hapësirës. Për shembull. Dihet se hekuri ka një dendësi më të madhe se druri. Kjo do të thotë se në rastin e vëllimeve të barabarta të lëndës hekuri dhe druri, e para do të ketë një masë shumë më të madhe se e dyta (afërsisht 16 herë).
Llogaritja e masës së një cilindri bakri
Merrni parasysh një problem të thjeshtë. Është e nevojshme të gjesh masën e një cilindri të bërë prej bakri. Për saktësi, lëreni cilindrin të ketë një diametër prej 20 cm dhe një lartësi prej 10 cm.
Para se të filloni të zgjidhni problemin, duhet të merreni me të dhënat burimore. Rrezja e cilindrit është e barabartë me gjysmën e diametrit të tij, që do të thotë r=20/2=10 cm, ndërsa lartësia është h=10 cm. Meqenëse cilindri i konsideruar në problem është prej bakri, atëherë, duke iu referuar të dhënat e referencës, ne shkruajmë vlerën e densitetit të këtij materiali: ρ=8, 96 g/cm3 (për temperaturën 20 °C).
Tani mund të filloni ta zgjidhni problemin. Së pari, le të llogarisim vëllimin: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Atëherë masa e cilindrit do të jetë: m=ρV=8,963140=28134 gram ose afërsisht 28 kilogramë.
Duhet t'i kushtoni vëmendje dimensionit të njësive gjatë përdorimit të tyre në formulat përkatëse. Pra, në problem, të gjithë parametrat u paraqitën në centimetra dhe gram.
Cilindra homogjenë dhe të zbrazët
Nga rezultati i marrë më sipër, shihet se një cilindër bakri me përmasa relativisht të vogla (10 cm) ka një masë të madhe (28 kg). Kjo jo vetëm për faktin se është bërë nga materiali i rëndë, por edhe për faktin se është homogjen. Ky fakt është i rëndësishëm për t'u kuptuar, pasi formula e mësipërme për llogaritjen e masës mund të përdoret vetëm nëse cilindri është tërësisht (jashtë dhe brenda) i bërë nga i njëjti material, domethënë është homogjen.
Në praktikë, shpesh përdoren cilindra të zbrazët (për shembull, fuçi cilindrike për ujë). Domethënë janë bërë nga fletë të holla të ndonjë materiali, por brenda janë bosh. Për një cilindër të zbrazët, formula e treguar për llogaritjen e masës nuk mund të përdoret.
Llogaritja e masës së një cilindri të zbrazët
Është interesante të llogaritet se çfarë mase do të ketë një cilindër bakri nëse brenda është bosh. Për shembull, le të bëhet nga një fletë e hollë bakri me trashësi vetëm d=2 mm.
Për të zgjidhur këtë problem, ju duhet të gjeni vëllimin e vetë bakrit, nga i cili është bërë objekti. Jo vëllimi i cilindrit. Për shkak se trashësiafleta është e vogël në krahasim me dimensionet e cilindrit (d=2 mm dhe r=10 cm), atëherë vëllimi i bakrit nga i cili është bërë objekti mund të gjendet duke shumëzuar të gjithë sipërfaqen e cilindrit me trashësinë e fletës së bakrit, marrim: V=dS 3=d2pir(r+h). Duke zëvendësuar të dhënat nga problemi i mëparshëm, marrim: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. Masa e një cilindri të uritur mund të merret duke shumëzuar vëllimin e marrë të bakrit, i cili kërkohej për prodhimin e tij, me densitetin e bakrit: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g ose 2,3 kg. Kjo do të thotë, cilindri i uritur i konsideruar peshon 12 (28, 1/2, 3) herë më pak se ai homogjen.
