Një objekt i rëndësishëm gjeometrik që studiohet në hapësirë të sheshtë është një vijë e drejtë. Në hapësirën tredimensionale, përveç vijës së drejtë, gjendet edhe një rrafsh. Të dy objektet përcaktohen në mënyrë të përshtatshme duke përdorur vektorët e drejtimit. Çfarë është ajo, si përdoren këta vektorë për të përcaktuar ekuacionet e drejtëzës dhe rrafshit? Këto dhe pyetje të tjera janë mbuluar në artikull.
Linja direkte dhe si ta definoni atë
Çdo student ka një ide të mirë se për çfarë objekti gjeometrik po flet. Nga pikëpamja e matematikës, një vijë e drejtë është një grup pikash, të cilat, në rastin e lidhjes së tyre arbitrare në çift, çojnë në një grup vektorësh paralelë. Ky përkufizim i një rreshti përdoret për të shkruar një ekuacion për të në dy dhe tre dimensione.
Për të përshkruar objektin njëdimensional të konsideruar, përdoren lloje të ndryshme ekuacionesh, të cilat janë renditur në listën më poshtë:
- pamje e përgjithshme;
- parametrik;
- vektor;
- kanonike ose simetrike;
- në segmente.
Secila prej këtyre specieve ka disa avantazhe mbi të tjerat. Për shembull, një ekuacion në segmente është i përshtatshëm për t'u përdorur kur studion sjelljen e një vije të drejtë në lidhje me boshtet e koordinatave, një ekuacion i përgjithshëm është i përshtatshëm kur gjen një drejtim pingul me një vijë të drejtë të caktuar, si dhe kur llogaritet këndi i saj. kryqëzim me boshtin x (për një rast të sheshtë).
Meqenëse tema e këtij artikulli lidhet me vektorin drejtues të një vije të drejtë, ne do të shqyrtojmë më tej vetëm ekuacionin ku ky vektor është themelor dhe përmban në mënyrë eksplicite, domethënë një shprehje vektoriale.
Specifikimi i një vije të drejtë përmes një vektori
Supozojmë se kemi një vektor v¯ me koordinata të njohura (a; b; c). Meqenëse ka tre koordinata, vektori jepet në hapësirë. Si ta përshkruani atë në një sistem koordinativ drejtkëndor? Kjo bëhet shumë thjesht: në secilin nga tre boshtet, vizatohet një segment, gjatësia e të cilit është e barabartë me koordinatat përkatëse të vektorit. Pika e kryqëzimit të tre pingulave të rivendosur në rrafshet xy, yz dhe xz do të jetë fundi i vektorit. Fillimi i saj është pika (0; 0; 0).
Megjithatë, pozicioni i dhënë i vektorit nuk është i vetmi. Në mënyrë të ngjashme, mund të vizatohet v¯ duke e vendosur origjinën e tij në një pikë arbitrare në hapësirë. Këto argumente thonë se është e pamundur të vendosësh një vijë specifike duke përdorur një vektor. Ai përcakton një familje të një numri të pafund të drejtëzave paralele.
Tanirregulloni një pikë P(x0; y0; z0) të hapësirës. Dhe vendosim kushtin: një vijë e drejtë duhet të kalojë përmes P. Në këtë rast, vektori v¯ gjithashtu duhet të përmbajë këtë pikë. Fakti i fundit do të thotë se një rresht i vetëm mund të përcaktohet duke përdorur P dhe v¯. Do të shkruhet si ekuacioni i mëposhtëm:
Q=P + λ × v¯
Këtu Q është çdo pikë që i përket vijës. Kjo pikë mund të merret duke zgjedhur parametrin e duhur λ. Ekuacioni i shkruar quhet ekuacion vektorial dhe v¯ quhet vektor i drejtimit të drejtëzës. Duke e renditur në mënyrë që të kalojë nëpër P dhe duke ndryshuar gjatësinë e saj me parametrin λ, marrim çdo pikë të Q si një drejtëz.
Në formë koordinative, ekuacioni do të shkruhet si më poshtë:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Dhe në formë të qartë (parametrike), mund të shkruani:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Nëse përjashtojmë koordinatën e tretë në shprehjet e mësipërme, atëherë marrim ekuacionet vektoriale të drejtëzës në rrafsh.
Për cilat detyra është e dobishme të dihet vektori i drejtimit ?
Si rregull, këto janë detyra për të përcaktuar paralelizmin dhe pingulitetin e drejtëzave. Gjithashtu, vektori i drejtpërdrejtë që përcakton drejtimin përdoret gjatë llogaritjes së distancës midis vijave të drejta dhe një pike dhe një drejtëze, për të përshkruar sjelljen e një vije të drejtë në lidhje me një plan.
Dydrejtëzat do të jenë paralele nëse vektorët e drejtimit të tyre janë. Prandaj, pinguliteti i drejtëzave vërtetohet duke përdorur pingulësinë e vektorëve të tyre. Në këto lloj problemash, mjafton të llogaritet prodhimi skalar i vektorëve të konsideruar për të marrë përgjigjen.
Në rastin e detyrave për llogaritjen e distancave ndërmjet vijave dhe pikave, vektori i drejtimit përfshihet në mënyrë eksplicite në formulën përkatëse. Le ta shkruajmë:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Këtu P1P2¯ - ndërtuar mbi pikat P1 dhe P 2 segment i drejtuar. Pika P2 është arbitrare, e shtrirë në vijën me vektorin v¯, ndërsa pika P1 është ajo në të cilën distanca duhet të përcaktohet. Mund të jetë ose i pavarur ose mund t'i përkasë një linje ose plani tjetër.
Vini re se ka kuptim të llogaritni distancën midis drejtëzave vetëm kur ato janë paralele ose kryqëzuese. Nëse ato kryqëzohen, atëherë d është zero.
Formula e mësipërme për d është gjithashtu e vlefshme për llogaritjen e distancës midis një rrafshi dhe një drejtëze paralele me të, vetëm në këtë rast P1 duhet t'i përkasë rrafshit.
Le të zgjidhim disa probleme për të treguar më mirë se si të përdorim vektorin e konsideruar.
Problemi i ekuacionit të vektorit
Dihet që një drejtëz përshkruhet nga ekuacioni i mëposhtëm:
y=3 × x - 4
Duhet të shkruani shprehjen e duhur nëforma vektoriale.
Ky është një ekuacion tipik i vijës së drejtë, i njohur për çdo nxënës, i shkruar në formë të përgjithshme. Le të tregojmë se si ta rishkruajmë atë në formë vektoriale.
Shprehja mund të përfaqësohet si:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Mund të shihet se nëse e hapni, merrni barazinë origjinale. Tani e ndajmë anën e djathtë në dy vektorë në mënyrë që vetëm njëri prej tyre të përmbajë x, kemi:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Mbetet të hiqni x nga kllapat, ta caktoni me një simbol grek dhe të ndërroni vektorët e anës së djathtë:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Kemi marrë formën vektoriale të shprehjes origjinale. Koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës janë (1; 3).
Detyra e përcaktimit të pozicionit relativ të rreshtave
Dy rreshta jepen në hapësirë:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
A janë ato paralele, kryqëzuese apo kryqëzuese?
Vektorët jozero (-1; 3; 1) dhe (1; 2; 0) do të jenë udhëzues për këto rreshta. Le t'i shprehim këto ekuacione në formë parametrike dhe t'i zëvendësojmë koordinatat e së parit në të dytën. Ne marrim:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ · 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Zëvendësojmë parametrin e gjetur λ në dy ekuacionet e mësipërme, marrim:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametri γ nuk mund të marrë dy vlera të ndryshme në të njëjtën kohë. Kjo do të thotë që linjat nuk kanë një pikë të vetme të përbashkët, domethënë ato kryqëzohen. Ata nuk janë paralelë, pasi vektorët jozero nuk janë paralel me njëri-tjetrin (për paralelizmin e tyre, duhet të ketë një numër që, duke shumëzuar me një vektor, do të çonte në koordinatat e të dytit).
Përshkrim matematik i aeroplanit
Për të vendosur një plan në hapësirë, japim një ekuacion të përgjithshëm:
A × x + B × y + C × z + D=0
Këtu shkronjat e mëdha latine përfaqësojnë numra të veçantë. Tre të parat prej tyre përcaktojnë koordinatat e vektorit normal të rrafshit. Nëse shënohet me n¯, atëherë:
n¯=(A; B; C)
Ky vektor është pingul me rrafshin, prandaj quhet udhërrëfyes. Njohuritë e tij, si dhe koordinatat e njohura të çdo pike që i përket rrafshit, e përcaktojnë në mënyrë unike këtë të fundit.
Nëse pika P(x1; y1; z1) i përket aeroplani, atëherë ndërprerja D llogaritet si më poshtë:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Le të zgjidhim disa probleme duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm për planin.
Detyrë përgjetja e vektorit normal të planit
Aeroplani përcaktohet si më poshtë:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Si të gjesh një vektor drejtimi për të?
Nga teoria e mësipërme rezulton se koordinatat e vektorit normal n¯ janë koeficientët përpara variablave. Në këtë drejtim, për të gjetur n¯, ekuacioni duhet të shkruhet në formë të përgjithshme. Ne kemi:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Atëherë vektori normal i planit është:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problemi i hartimit të ekuacionit të planit
Janë dhënë koordinatat e tre pikave:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Si do të duket ekuacioni i planit që përmban të gjitha këto pika.
Nëpër tre pika që nuk i përkasin të njëjtës drejtëz, mund të vizatohet vetëm një rrafsh. Për të gjetur ekuacionin e tij, fillimisht llogarisim vektorin e drejtimit të rrafshit n¯. Për ta bërë këtë, ne vazhdojmë si më poshtë: gjejmë dy vektorë arbitrarë që i përkasin rrafshit dhe llogarisim produktin e tyre vektorial. Do të japë një vektor që do të jetë pingul me këtë plan, domethënë n¯. Ne kemi:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Merr pikën M1për të vizatuarshprehjet e rrafshët. Ne marrim:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Ne kemi marrë një shprehje të tipit të përgjithshëm për një plan në hapësirë duke përcaktuar fillimisht një vektor drejtimi për të.
Vetia e prodhimit të kryqëzuar duhet të mbahet mend kur zgjidhni probleme me plane, pasi ju lejon të përcaktoni koordinatat e një vektori normal në një mënyrë të thjeshtë.
