Matematika e ka origjinën nga Antikiteti. Falë saj, arkitektura, ndërtimi dhe shkenca ushtarake dhanë një raund të ri zhvillimi, arritjet që u arritën me ndihmën e matematikës çuan në lëvizjen e përparimit. Edhe sot e kësaj dite, matematika mbetet shkenca kryesore që gjendet në të gjitha degët e tjera.
Për t'u arsimuar, fëmijët që nga klasa e parë fillojnë gradualisht të bashkohen në këtë mjedis. Është shumë e rëndësishme të kuptohet matematika, pasi ajo, në një shkallë ose në një tjetër, i ndodh çdo personi gjatë gjithë jetës së tij. Ky artikull do të analizojë një nga elementët kryesorë - gjetjen dhe aplikimin e derivateve. Jo çdo person mund të imagjinojë se sa gjerësisht përdoret ky koncept. Konsideroni më shumë se 10 aplikime të derivateve në fusha ose shkenca të caktuara.
Zbatimi i derivatit në studimin e një funksioni
Derivati është një kufi i tillëraporti i rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit të tij kur eksponenti i argumentit priret në zero. Derivati është një gjë e domosdoshme në studimin e një funksioni. Për shembull, mund të përdoret për të përcaktuar rritjen dhe uljen e kësaj të fundit, ekstreme, konveksitet dhe konkavitet. Llogaritja diferenciale përfshihet në kurrikulën e detyrueshme për studentët e vitit të parë dhe të dytë të universiteteve të matematikës.
Qëllimi dhe funksioni zero
Faza e parë e çdo studimi të grafikut fillon me gjetjen e domenit të përkufizimit, në raste më të rralla - vlerën. Domeni i përkufizimit vendoset përgjatë boshtit të abshisës, me fjalë të tjera, këto janë vlera numerike në boshtin OX. Shpesh fushëveprimi është vendosur tashmë, por nëse nuk është, atëherë vlera e argumentit x duhet të vlerësohet. Supozoni, nëse për disa vlera të argumentit funksioni nuk ka kuptim, atëherë ky argument përjashtohet nga fusha.
Zotat e funksionit gjenden në një mënyrë të thjeshtë: funksioni f(x) duhet të barazohet me zero dhe ekuacioni që rezulton duhet të zgjidhet në lidhje me një ndryshore x. Rrënjët e fituara të ekuacionit janë zerot e funksionit, pra në këto x funksioni është 0.
Rritje dhe ulje
Përdorimi i derivatit për të studiuar funksionet për monotoni mund të konsiderohet nga dy pozicione. Një funksion monoton është një kategori që ka vetëm vlera pozitive të derivatit, ose vetëm vlera negative. Me fjalë të thjeshta, funksioni rritet ose zvogëlohet vetëm gjatë gjithë intervalit në studim:
- Rrit parametrin. Funksionif(x) do të rritet nëse derivati i f`(x) është më i madh se zero.
- Parametër zbritës. Funksioni f(x) do të ulet nëse derivati i f`(x) është më i vogël se zero.
Tangjente dhe Pjerrësia
Zbatimi i derivatit në studimin e një funksioni përcaktohet edhe nga tangjentja (drejtëza e drejtuar në një kënd) në grafikun e funksionit në një pikë të caktuar. Tangjente në një pikë (x0) - një drejtëz që kalon nëpër një pikë dhe i përket funksionit, koordinatat e të cilit janë (x0, f(x 0 )) dhe me pjerrësi f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - ekuacioni i tangjentes në pikën e dhënë të grafikut të funksionit.
Kuptimi gjeometrik i derivatit: derivati i funksionit f(x) është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së formuar me grafikun e këtij funksioni në një pikë të caktuar x. Koeficienti këndor, nga ana tjetër, është i barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së tangjentës me boshtin OX (abshisë) në drejtim pozitiv. Kjo rrjedhojë është thelbësore për zbatimin e derivatit në grafikun e një funksioni.
Pikë ekstreme
Zbatimi i një derivati në një studim përfshin gjetjen e pikave të larta dhe të ulëta.
Për të gjetur dhe përcaktuar pikët minimale dhe maksimale, duhet:
- Gjeni derivatin e funksionit f(x).
- Vendosni ekuacionin që rezulton në zero.
- Gjeni rrënjët e ekuacionit.
- Gjeni pikët e larta dhe të ulëta.
Për të gjetur ekstremetveçoritë:
- Gjeni pikët minimale dhe maksimale duke përdorur metodën e mësipërme.
- Zëvendësoni këto pika në ekuacionin origjinal dhe llogaritni ymax dhe ymin
Pika maksimale e funksionit është vlera më e madhe e funksionit f(x) në interval, me fjalë të tjera xmax.
Pika minimale e funksionit është vlera më e vogël e funksionit f(x) në interval, me fjalë të tjera xemri
Pikat ekstreme janë të njëjta me pikët maksimale dhe minimale, dhe ekstremi i funksionit (ymaks. dhe yminimum) - vlerat e funksionit që korrespondojnë me pikat ekstreme.
Konveksitet dhe konkavitet
Mund të përcaktoni konveksitetin dhe konkavitetin duke përdorur përdorimin e derivatit për vizatim:
- Një funksion f(x) i ekzaminuar në intervalin (a, b) është konkav nëse funksioni ndodhet nën të gjitha tangjentet e tij brenda këtij intervali.
- Funksioni f(x) i studiuar në intervalin (a, b) është konveks nëse funksioni ndodhet mbi të gjitha tangjentet e tij brenda këtij intervali.
Pika që ndan konveksitetin nga konkaviteti quhet pika e lakimit të funksionit.
Për të gjetur pikat e lakimit:
- Gjeni pikat kritike të llojit të dytë (derivati i dytë).
- Pikat e lakimit janë ato pika kritike që ndajnë dy shenja të kundërta.
- Llogaritni vlerat e funksionit në pikat e lakimit të funksionit.
Derivate të pjesshme
Aplikimka derivate të këtij lloji në problemat ku përdoren më shumë se një ndryshore e panjohur. Më shpesh, derivate të tillë hasen gjatë vizatimit të grafikut të funksionit, për të qenë më të saktë, sipërfaqet në hapësirë, ku në vend të dy boshteve janë tre, pra tre sasi (dy ndryshore dhe një konstante).
Rregulli bazë kur llogariten derivatet e pjesshme është të zgjedhësh një variabël dhe të trajtosh pjesën tjetër si konstante. Prandaj, gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm, konstanta bëhet sikur një vlerë numerike (në shumë tabela të derivateve, ato shënohen si C=konst). Kuptimi i një derivati të tillë është shpejtësia e ndryshimit të funksionit z=f(x, y) përgjatë boshteve OX dhe OY, domethënë karakterizon pjerrësinë e zvarritjeve dhe fryrjeve të sipërfaqes së ndërtuar.
Derivat në fizikë
Përdorimi i derivatit në fizikë është i përhapur dhe i rëndësishëm. Kuptimi fizik: derivati i shtegut në lidhje me kohën është shpejtësia, dhe nxitimi është derivati i shpejtësisë në lidhje me kohën. Nga kuptimi fizik, shumë degë mund të tërhiqen në degë të ndryshme të fizikës, duke ruajtur plotësisht kuptimin e derivatit.
Me ndihmën e derivatit gjenden këto vlera:
- Shpejtësia në kinematikë, ku llogaritet derivati i distancës së përshkuar. Nëse gjendet derivati i dytë i shtegut ose derivati i parë i shpejtësisë, atëherë gjendet nxitimi i trupit. Përveç kësaj, është e mundur të gjendet shpejtësia e menjëhershme e një pike materiale, por për këtë është e nevojshme të dihet rritja ∆t dhe ∆r.
- Në elektrodinamikë:llogaritja e forcës së menjëhershme të rrymës alternative, si dhe EMF e induksionit elektromagnetik. Duke llogaritur derivatin, mund të gjeni fuqinë maksimale. Derivati i sasisë së ngarkesës elektrike është forca aktuale në përcjellës.
Derivat në kimi dhe biologji
Kimi: Derivati përdoret për të përcaktuar shpejtësinë e një reaksioni kimik. Kuptimi kimik i derivatit: funksioni p=p(t), në këtë rast p është sasia e një lënde që hyn në një reaksion kimik në kohën t. ∆t - rritja e kohës, ∆p - rritja e sasisë së substancës. Kufiri i raportit të ∆p me ∆t, në të cilin ∆t tenton në zero, quhet shpejtësia e një reaksioni kimik. Vlera mesatare e një reaksioni kimik është raporti ∆p/∆t. Gjatë përcaktimit të shpejtësisë, është e nevojshme të njihen saktësisht të gjithë parametrat, kushtet e nevojshme, të dihet gjendja agregate e substancës dhe e mjedisit të rrjedhës. Ky është një aspekt mjaft i madh në kimi, i cili përdoret gjerësisht në industri të ndryshme dhe aktivitete njerëzore.
Biologji: koncepti i një derivati përdoret për të llogaritur shkallën mesatare të riprodhimit. Kuptimi biologjik: kemi një funksion y=x(t). ∆t - rritja e kohës. Më pas, me ndihmën e disa shndërrimeve fitojmë funksionin y`=P(t)=x`(t) - aktiviteti jetësor i popullatës së kohës t (shkalla mesatare e riprodhimit). Ky përdorim i derivatit ju lejon të mbani statistika, të gjurmoni shkallën e riprodhimit, e kështu me radhë.
Derivat në gjeografi dhe ekonomi
Derivati i lejon gjeografët të vendosindetyra të tilla si gjetja e popullsisë, llogaritja e vlerave në sizmografi, llogaritja e radioaktivitetit të treguesve gjeofizikë bërthamorë, llogaritja e interpolimit.
Në ekonomi, një pjesë e rëndësishme e llogaritjeve është llogaritja diferenciale dhe llogaritja e derivatit. Para së gjithash, kjo na lejon të përcaktojmë kufijtë e vlerave të nevojshme ekonomike. Për shembull, produktiviteti më i lartë dhe më i ulët i punës, kostot, fitimet. Në thelb, këto vlera llogariten nga grafikët e funksionit, ku gjejnë ekstreme, përcaktojnë monotoninë e funksionit në zonën e dëshiruar.
Përfundim
Roli i kësaj llogaritjeje diferenciale është i përfshirë, siç theksohet në artikull, në struktura të ndryshme shkencore. Përdorimi i funksioneve derivative është një element i rëndësishëm në pjesën praktike të shkencës dhe prodhimit. Jo më kot na mësuan në shkollë të mesme dhe universitet të ndërtonim grafikë komplekse, të eksploronim dhe të punonim mbi funksionet. Siç mund ta shihni, pa derivate dhe llogaritje diferenciale, do të ishte e pamundur të llogariteshin treguesit dhe sasitë jetike. Njerëzimi ka mësuar të modelojë procese të ndryshme dhe t'i eksplorojë ato, për të zgjidhur probleme komplekse matematikore. Në të vërtetë, matematika është mbretëresha e të gjitha shkencave, sepse kjo shkencë qëndron në themel të të gjitha disiplinave të tjera natyrore dhe teknike.
