Problemat matematikore përdoren në shumë shkenca. Këto përfshijnë jo vetëm fizikën, kiminë, inxhinierinë dhe ekonominë, por edhe mjekësinë, ekologjinë dhe disiplina të tjera. Një koncept i rëndësishëm që duhet zotëruar për të gjetur zgjidhje për dilemat e rëndësishme është derivati i një funksioni. Kuptimi fizik i tij nuk është aspak aq i vështirë për t'u shpjeguar sa mund t'i duket të pa iniciuarit në thelb të çështjes. Mjafton vetëm të gjesh shembuj të përshtatshëm për këtë në jetën reale dhe në situata të zakonshme të përditshme. Në fakt, çdo automobilist përballet me një detyrë të ngjashme çdo ditë kur shikon shpejtësinë, duke përcaktuar shpejtësinë e makinës së tij në një moment të caktuar të një kohe të caktuar. Në fund të fundit, pikërisht në këtë parametër qëndron thelbi i kuptimit fizik të derivatit.
Si të gjeni shpejtësinë
Përcaktoni shpejtësinë e një personi në rrugë, duke ditur distancën e përshkuar dhe kohën e udhëtimit, çdo nxënës i klasës së pestë mundet lehtësisht. Për ta bërë këtë, e para nga vlerat e dhëna ndahet me të dytin. Porjo çdo matematikan i ri e di se aktualisht po gjen raportin e rritjeve të një funksioni dhe një argumenti. Në të vërtetë, nëse e imagjinojmë lëvizjen në formën e një grafiku, duke vizatuar shtegun përgjatë boshtit y dhe kohën përgjatë abshisës, do të jetë pikërisht kështu.
Megjithatë, shpejtësia e një këmbësori ose e ndonjë objekti tjetër që ne përcaktojmë në një pjesë të madhe të shtegut, duke e konsideruar lëvizjen uniforme, mund të ndryshojë fare mirë. Ka shumë forma të lëvizjes në fizikë. Mund të kryhet jo vetëm me një nxitim të vazhdueshëm, por ngadalësohet dhe rritet në mënyrë arbitrare. Duhet të theksohet se në këtë rast vija që përshkruan lëvizjen nuk do të jetë më një vijë e drejtë. Grafikisht, ai mund të marrë konfigurimet më komplekse. Por për secilën nga pikat në grafik, ne gjithmonë mund të vizatojmë një tangjente të përfaqësuar nga një funksion linear.
Për të sqaruar parametrin e ndryshimit të zhvendosjes në varësi të kohës, është e nevojshme të shkurtohen segmentet e matura. Kur ato bëhen pafundësisht të vogla, shpejtësia e llogaritur do të jetë e menjëhershme. Kjo përvojë na ndihmon të përcaktojmë derivatin. Kuptimi i tij fizik gjithashtu rrjedh logjikisht nga një arsyetim i tillë.
Për sa i përket gjeometrisë
Dihet se sa më e madhe të jetë shpejtësia e trupit, aq më i pjerrët është grafiku i varësisë së zhvendosjes nga koha, dhe rrjedhimisht këndi i prirjes së tangjentes me grafikun në një pikë të caktuar. Një tregues i ndryshimeve të tilla mund të jetë tangjentja e këndit midis boshtit x dhe vijës tangjente. Ai thjesht përcakton vlerën e derivatit dhe llogaritet nga raporti i gjatësivepërballë këmbës ngjitur në një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga një pingul i rënë nga një pikë në boshtin x.
Ky është kuptimi gjeometrik i derivatit të parë. Ajo fizike zbulohet në faktin se vlera e këmbës së kundërt në rastin tonë është distanca e përshkuar, dhe ajo ngjitur është koha. Raporti i tyre është shpejtësia. Dhe përsëri arrijmë në përfundimin se shpejtësia e menjëhershme, e përcaktuar kur të dy boshllëqet priren të jenë pafundësisht të vogla, është thelbi i konceptit të derivatit, duke treguar kuptimin e tij fizik. Derivati i dytë në këtë shembull do të jetë nxitimi i trupit, i cili nga ana tjetër tregon shkallën e ndryshimit të shpejtësisë.
Shembuj të gjetjes së derivateve në fizikë
Derivati është tregues i shkallës së ndryshimit të çdo funksioni, edhe kur nuk flasim për lëvizje në kuptimin e mirëfilltë të fjalës. Për ta demonstruar qartë këtë, le të marrim disa shembuj konkretë. Supozoni se forca aktuale, në varësi të kohës, ndryshon sipas ligjit të mëposhtëm: I=0, 4t2. Kërkohet të gjendet vlera e shpejtësisë me të cilën ky parametër ndryshon në fund të sekondës së 8-të të procesit. Vini re se vetë vlera e dëshiruar, siç mund të gjykohet nga ekuacioni, është vazhdimisht në rritje.
Për ta zgjidhur atë, duhet të gjeni derivatin e parë, kuptimi fizik i të cilit u konsiderua më herët. Këtu dI / dt=0,8t. Tjetra, e gjejmë atë në t \u003d 8, marrim se shkalla me të cilën ndryshon forca aktuale është 6.4 A / c. Këtu konsiderohet serryma matet në amper, dhe koha, përkatësisht, në sekonda.
Gjithçka ndryshon
Bota e dukshme përreth, e përbërë nga materia, është vazhdimisht duke pësuar ndryshime, duke qenë në lëvizje të proceseve të ndryshme që ndodhin në të. Për t'i përshkruar ato mund të përdoren një sërë parametrash. Nëse ato janë të bashkuara nga varësia, atëherë ato shkruhen matematikisht si një funksion që tregon qartë ndryshimet e tyre. Dhe aty ku ka lëvizje (në çfarëdo forme që shprehet), ekziston edhe një derivat, kuptimi fizik i të cilit po shqyrtojmë për momentin.
Me këtë rast, shembulli i mëposhtëm. Supozoni se temperatura e trupit ndryshon sipas ligjit T=0, 2 t 2. Ju duhet të gjeni shkallën e ngrohjes së tij në fund të sekondës së 10-të. Problemi zgjidhet në një mënyrë të ngjashme me atë të përshkruar në rastin e mëparshëm. Kjo do të thotë, ne gjejmë derivatin dhe zëvendësojmë vlerën për t \u003d 10 në të, marrim T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Kjo do të thotë që përgjigja përfundimtare është 4 gradë për sekondë, domethënë procesi i ngrohjes dhe ndryshimi i temperaturës, i matur në gradë, ndodh pikërisht me një shpejtësi të tillë.
Zgjidhja e problemeve praktike
Sigurisht, në jetën reale gjithçka është shumë më e ndërlikuar sesa në problemet teorike. Në praktikë, vlera e sasive zakonisht përcaktohet gjatë eksperimentit. Në këtë rast përdoren instrumente që japin lexime gjatë matjeve me një gabim të caktuar. Prandaj, në llogaritjet, duhet të merret me vlerat e përafërta të parametrave dhe të drejtohet në rrumbullakimin e numrave të papërshtatshëm,si dhe thjeshtëzime të tjera. Duke pasur parasysh këtë, ne do të vazhdojmë përsëri me problemet mbi kuptimin fizik të derivatit, duke qenë se ato janë vetëm një lloj modeli matematik i proceseve më komplekse që ndodhin në natyrë.
Shpërthimi i vullkanit
Le të imagjinojmë që një vullkan shpërthen. Sa i rrezikshëm mund të jetë ai? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të merren parasysh shumë faktorë. Ne do të përpiqemi të akomodojmë njërin prej tyre.
Nga gryka e "përbindëshit të zjarrtë" hidhen gurë vertikalisht lart, duke patur një shpejtësi fillestare që në momentin e daljes në pjesën e jashtme prej 120 m/s. Është e nevojshme të llogaritet se çfarë mund të arrijnë lartësinë maksimale.
Për të gjetur vlerën e dëshiruar, do të hartojmë një ekuacion për varësinë e lartësisë H, të matur në metra, nga vlerat e tjera. Këto përfshijnë shpejtësinë dhe kohën fillestare. Vlera e nxitimit konsiderohet e njohur dhe afërsisht e barabartë me 10 m/s2.
Derivat i pjesshëm
Tani le të shqyrtojmë kuptimin fizik të derivatit të një funksioni nga një kënd paksa i ndryshëm, sepse vetë ekuacioni mund të përmbajë jo një, por disa ndryshore. Për shembull, në problemin e mëparshëm, varësia e lartësisë së gurëve të nxjerrë nga ndenja e vullkanit u përcaktua jo vetëm nga ndryshimi në karakteristikat kohore, por edhe nga vlera e shpejtësisë fillestare. Kjo e fundit konsiderohej një vlerë konstante, fikse. Por në detyra të tjera me kushte krejtësisht të ndryshme, gjithçka mund të ishte ndryshe. Nëse sasitë mbi të cilat kompleksifunksioni, disa, llogaritjet bëhen sipas formulave më poshtë.
Kuptimi fizik i derivatit të shpeshtë duhet të përcaktohet si në rastin e zakonshëm. Kjo është shkalla me të cilën funksioni ndryshon në një pikë të caktuar me rritjen e parametrit të ndryshores. Ai llogaritet në atë mënyrë që të gjithë komponentët e tjerë të merren si konstante, vetëm një konsiderohet si variabël. Pastaj gjithçka ndodh sipas rregullave të zakonshme.
Këshilltar i domosdoshëm për shumë çështje
Duke kuptuar kuptimin fizik të derivatit, nuk është e vështirë të jepen shembuj të zgjidhjes së problemeve të ndërlikuara dhe komplekse, në të cilat përgjigja mund të gjendet me njohuri të tilla. Nëse kemi një funksion që përshkruan konsumin e karburantit në varësi të shpejtësisë së makinës, mund të llogarisim në cilat parametra të kësaj të fundit konsumi i benzinës do të jetë më i vogli.
Në mjekësi, ju mund të parashikoni se si do të reagojë trupi i njeriut ndaj një ilaçi të përshkruar nga një mjek. Marrja e barit ndikon në një sërë parametrash fiziologjikë. Këto përfshijnë ndryshime në presionin e gjakut, rrahjet e zemrës, temperaturën e trupit dhe më shumë. Të gjitha varen nga doza e barit të marrë. Këto përllogaritje ndihmojnë për të parashikuar rrjedhën e trajtimit, si në manifestime të favorshme ashtu edhe në aksidente të padëshiruara që mund të ndikojnë fatalisht në ndryshimet në trupin e pacientit.
Pa dyshim, është e rëndësishme të kuptohet kuptimi fizik i derivatit në teknikëçështjet, veçanërisht në inxhinierinë elektrike, elektronikë, dizajn dhe ndërtim.
Distanca e frenimit
Le të shqyrtojmë problemin tjetër. Duke lëvizur me shpejtësi konstante, makina, duke iu afruar urës, është dashur të ngadalësojë shpejtësinë 10 sekonda para hyrjes, pasi drejtuesi i mjetit ka vënë re një tabelë rrugore që ndalon lëvizjen me shpejtësi më shumë se 36 km/h. A i ka shkelur shoferi rregullat nëse distanca e frenimit mund të përshkruhet me formulën S=26t - t2?
Duke llogaritur derivatin e parë, gjejmë formulën për shpejtësinë, marrim v=28 – 2t. Më pas, zëvendësoni vlerën t=10 në shprehjen e specifikuar.
Meqenëse kjo vlerë është shprehur në sekonda, shpejtësia është 8 m/s, që do të thotë 28.8 km/h. Kjo bën të mundur të kuptohet se shoferi ka filluar të ngadalësojë shpejtësinë në kohë dhe nuk ka shkelur rregullat e qarkullimit rrugor, si rrjedhim edhe kufirin e treguar në shenjën e shpejtësisë.
Kjo dëshmon rëndësinë e kuptimit fizik të derivatit. Një shembull i zgjidhjes së këtij problemi tregon gjerësinë e përdorimit të këtij koncepti në sfera të ndryshme të jetës. Përfshirë në situatat e përditshme.
Derivat në ekonomi
Deri në shekullin e 19-të, ekonomistët kryesisht vepronin me mesatare, qoftë produktiviteti i punës apo çmimi i prodhimit. Por nga një moment, vlerat kufizuese u bënë më të nevojshme për të bërë parashikime efektive në këtë fushë. Këto përfshijnë dobinë marxhinale, të ardhurat ose koston. Kuptimi i kësaj i dha shtysë krijimit të një mjeti krejtësisht të ri në kërkimin ekonomik,që ka ekzistuar dhe zhvilluar për më shumë se njëqind vjet.
Për të bërë llogaritje të tilla, ku mbizotërojnë koncepte të tilla si minimumi dhe maksimumi, është thjesht e nevojshme të kuptohet kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit. Ndër krijuesit e bazës teorike të këtyre disiplinave, mund të përmenden ekonomistë të tillë të shquar anglezë dhe austriakë si US Jevons, K. Menger e të tjerë. Sigurisht, vlerat kufizuese në llogaritjet ekonomike nuk janë gjithmonë të përshtatshme për t'u përdorur. Dhe, për shembull, raportet tremujore nuk përshtaten domosdoshmërisht në skemën ekzistuese, por megjithatë, zbatimi i një teorie të tillë në shumë raste është i dobishëm dhe efektiv.
