Është e pamundur të pretendosh se dini matematikë nëse nuk dini të vizatoni grafikë, të vizatoni pabarazi në një vijë koordinative dhe të punoni me boshtet e koordinatave. Komponenti vizual në shkencë është jetik, sepse pa shembuj vizualë në formula dhe llogaritje, ndonjëherë mund të ngatërrohesh shumë. Në këtë artikull, ne do të shohim se si të punojmë me boshtet e koordinatave dhe do të mësojmë se si të ndërtojmë grafikë të thjeshtë funksionesh.
Aplikacion
Vija koordinative është baza e llojeve më të thjeshta të grafikëve që një student ndesh në rrugën e tij arsimore. Përdoret pothuajse në çdo temë matematikore: kur llogaritni shpejtësinë dhe kohën, projektoni madhësinë e objekteve dhe llogaritni sipërfaqen e tyre, në trigonometri kur punoni me sinus dhe kosinus.
Vlera kryesore e një linje të tillë direkte është dukshmëria. Për shkak se matematika është një shkencë që kërkon një nivel të lartë të të menduarit abstrakt, grafikët ndihmojnë në përfaqësimin e një objekti në botën reale. Si sillet ai? Në cilën pikë të hapësirës do tëdisa sekonda, minuta, orë? Çfarë mund të thuhet për të në krahasim me objektet e tjera? Sa është shpejtësia e tij në një kohë të zgjedhur rastësisht? Si të karakterizohet lëvizja e tij?
Dhe po flasim për shpejtësinë për një arsye - shpesh shfaqet nga grafikët e funksioneve. Dhe ato gjithashtu mund të shfaqin ndryshime në temperaturën ose presionin brenda objektit, madhësinë e tij, orientimin në lidhje me horizontin. Kështu, ndërtimi i një linje koordinative shpesh kërkohet edhe në fizikë.
Grafik njëdimensional
Ekziston një koncept i shumëdimensionalitetit. Në hapësirën njëdimensionale, mjafton vetëm një numër për të përcaktuar vendndodhjen e një pike. Ky është pikërisht rasti me përdorimin e vijës së koordinatave. Nëse hapësira është dydimensionale, atëherë kërkohen dy numra. Grafikët e këtij lloji përdoren shumë më shpesh dhe ne patjetër do t'i konsiderojmë ato pak më vonë në artikull.
Çfarë mund të shihet me ndihmën e pikave në bosht, nëse ka vetëm një bosht? Ju mund të shihni madhësinë e objektit, pozicionin e tij në hapësirë në lidhje me një "zero", pra pikën e zgjedhur si pikë referimi.
Ndryshimi i parametrave me kalimin e kohës nuk do të jetë i dukshëm, pasi të gjitha leximet do të shfaqen për një moment të caktuar. Sidoqoftë, duhet të filloni diku! Pra, le të fillojmë.
Si të ndërtoni një bosht koordinativ
Së pari, duhet të vizatoni një vijë horizontale - ky do të jetë boshti ynë. Në anën e djathtë, "mprehni" atë në mënyrë që të duket si një shigjetë. Kështu, ne do të tregojmë drejtimin në të cilin do të jenë numratrrit. Në drejtimin poshtë, shigjeta zakonisht nuk vendoset. Tradicionalisht, boshti drejtohet djathtas, kështu që ne do të ndjekim vetëm këtë rregull.
Le të vendosim një shenjë zero, e cila do të shfaqë origjinën e koordinatave. Ky është pikërisht vendi nga i cili merret numërimi mbrapsht, qoftë madhësia, pesha, shpejtësia apo ndonjë gjë tjetër. Përveç zeros, duhet të caktojmë domosdoshmërisht të ashtuquajturin çmim të ndarjes, d.m.th., të prezantojmë një standard njësi, në përputhje me të cilin do të vendosim sasi të caktuara në bosht. Kjo duhet bërë në mënyrë që të mund të gjejmë gjatësinë e segmentit në vijën koordinative.
Në një distancë të barabartë nga njëra-tjetra, vendosni pika ose "notch" në rresht dhe nën to shkruani përkatësisht 1, 2, 3, e kështu me radhë. Dhe tani, gjithçka është gati. Por me orarin që rezulton, ju ende duhet të mësoni se si të punoni.
Llojet e pikave në vijën koordinative
Që në shikimin e parë në vizatimet e propozuara në tekstet shkollore, bëhet e qartë: pikat në bosht mund të plotësohen ose të mos plotësohen. Mendoni se është një rastësi? Aspak! Një pikë "e ngurtë" përdoret për një pabarazi jo të rreptë - një që lexohet si "më e madhe se ose e barabartë me". Nëse duhet të kufizojmë rreptësisht intervalin (për shembull, "x" mund të marrë vlera nga zero në një, por nuk e përfshin atë), ne do të përdorim një pikë "të zbrazët", që është, në fakt, një rreth i vogël. në bosht. Duhet të theksohet se studentët nuk i pëlqejnë vërtet pabarazitë strikte, sepse ato janë më të vështira për t'u punuar.
Në varësi të pikëve që jupërdorimi në grafik, do të thirren edhe intervalet e ndërtuara. Nëse pabarazia në të dyja anët nuk është e rreptë, atëherë marrim një segment. Nëse nga njëra anë rezulton të jetë "e hapur", atëherë do të quhet një gjysmë interval. Së fundi, nëse një pjesë e një rreshti kufizohet në të dyja anët me pika të zbrazëta, ajo do të quhet një interval.
Aeroplan
Kur ndërtojmë dy drejtëza në planin koordinativ, tashmë mund të marrim parasysh grafikët e funksioneve. Le të themi se vija horizontale është boshti kohor, dhe vija vertikale është distanca. Dhe tani ne jemi në gjendje të përcaktojmë se cilën distancë do të kapërcejë objekti në një minutë ose një orë udhëtim. Kështu, puna me një aeroplan bën të mundur monitorimin e ndryshimit të gjendjes së një objekti. Kjo është shumë më interesante sesa të eksplorosh një gjendje statike.
Grafiku më i thjeshtë në një plan të tillë është një vijë e drejtë, ajo pasqyron funksionin Y(X)=aX + b. A përkulet linja? Kjo do të thotë se objekti ndryshon karakteristikat e tij gjatë studimit.
Imagjinoni se jeni duke qëndruar në çatinë e një ndërtese duke mbajtur një gur në dorën tuaj të shtrirë. Kur ta lëshoni, ai do të fluturojë poshtë, duke filluar lëvizjen e tij nga shpejtësia zero. Por në një sekondë ai do të kapërcejë 36 kilometra në orë. Guri do të vazhdojë të përshpejtohet më tej dhe për të vizatuar lëvizjen e tij në tabelë, do t'ju duhet të matni shpejtësinë e tij në disa pika në kohë duke vendosur pika në bosht në vendet e duhura.
Shenjat në vijën e koordinatave horizontale si parazgjedhje emërtohen X1, X2, X3 dhe në vertikale - Y1, Y2, Y3, respektivisht. duke projektuarato në aeroplan dhe duke gjetur kryqëzime, gjejmë fragmente të modelit që rezulton. Duke i lidhur ato me një rresht, marrim një grafik të funksionit. Në rastin e një guri që bie, funksioni kuadratik do të duket si: Y(X)=aXX + bX + c.
Shkalla
Sigurisht, nuk është e nevojshme të vendosni vlera të plota pranë ndarjeve me një vijë të drejtë. Nëse po konsideroni lëvizjen e një kërmilli që zvarritet me një shpejtësi prej 0,03 metra në minutë, vendosni si vlera në fraksionin e koordinatave. Në këtë rast, vendosni intervalin e shkallës në 0,01 metra.
Është veçanërisht i përshtatshëm për të kryer vizatime të tilla në një fletore në një kafaz - këtu mund të shihni menjëherë nëse ka hapësirë të mjaftueshme në fletë për grafikun tuaj, nëse kaloni përtej kufijve. Nuk është e vështirë të llogarisni forcën tuaj, sepse gjerësia e qelizës në një fletore të tillë është 0,5 centimetra. U desh - zvogëloi fotografinë. Ndryshimet në shkallën e grafikut nuk do të bëjnë që ai të humbasë ose të ndryshojë vetitë e tij.
Koordinatat e pikës dhe segmentit
Kur jepet një problem matematikor në një mësim, ai mund të përmbajë parametra të formave të ndryshme gjeometrike, si në formën e gjatësisë së anëve, perimetrit, sipërfaqes dhe në formën e koordinatave. Në këtë rast, mund t'ju duhet të ndërtoni një formë dhe të merrni disa të dhëna që lidhen me të. Shtrohet pyetja: si të gjejmë informacionin e kërkuar në vijën e koordinatave? Dhe si të ndërtoni një formë?
Për shembull, ne po flasim për një pikë. Pastaj një shkronjë e madhe do të shfaqet në gjendjen e problemit dhe disa numra do të shfaqen në kllapa, më së shpeshti dy (kjo do të thotë se do të numërojmë në hapësirën dydimensionale). Nëse ka tre numra në kllapa, të ndara me një pikëpresje ose një presje, atëherë kjo është një hapësirë tredimensionale. Secila prej vlerave është një koordinatë në boshtin përkatës: së pari përgjatë horizontales (X), pastaj përgjatë vertikale (Y).
E mbani mend si të vizatoni një segment? E keni kaluar në gjeometri. Nëse ka dy pika, atëherë mund të tërhiqet një vijë midis tyre. Koordinatat e tyre tregohen në kllapa nëse në problem shfaqet një segment. Për shembull: A(15, 13) - B(1, 4). Për të ndërtuar një linjë të tillë, duhet të gjeni dhe shënoni pika në planin koordinativ, dhe më pas t'i lidhni ato. Kjo është ajo!
Dhe çdo shumëkëndësh, siç e dini, mund të vizatohet duke përdorur segmente. Problemi u zgjidh.
Llogaritjet
Le të themi se ekziston një objekt, pozicioni i të cilit përgjatë boshtit X karakterizohet nga dy numra: fillon në pikën me koordinatë (-3) dhe përfundon në (+2). Nëse duam të dimë gjatësinë e këtij objekti, atëherë duhet të zbresim numrin më të vogël nga numri më i madh. Vini re se një numër negativ thith shenjën e zbritjes, sepse "një minus shumëfishuar një minus është i barabartë me një plus". Pra, ne shtojmë (2+3) dhe marrim 5. Ky është rezultati i kërkuar.
Një shembull tjetër: na jepet pika e fundit dhe gjatësia e objektit, por jo pika e fillimit (dhe ne duhet ta gjejmë atë). Le të jetë pozicioni i pikës së njohur (6), dhe madhësia e objektit në studim të jetë (4). Duke zbritur gjatësinë nga koordinata përfundimtare, marrim përgjigjen. Gjithsej: (6 - 4)=2.
Numra negativ
Shpesh kërkohet në praktikë të punosh me vlera negative. Në këtë rast ne dolëvizni në të majtë përgjatë boshtit të koordinatave. Për shembull, një objekt 3 centimetra i lartë noton në ujë. Një e treta e saj është e zhytur në lëng, dy të tretat janë në ajër. Pastaj, duke zgjedhur sipërfaqen e ujit si bosht, marrim dy numra duke përdorur llogaritjet më të thjeshta aritmetike: pika e sipërme e objektit ka koordinatën (+2), dhe ajo e poshtme - (-1) centimetër.
Është e lehtë të shihet se në rastin e një avioni, ne kemi katër të katërtat e vijës së koordinatave. Secila prej tyre ka numrin e vet. Në pjesën e parë (djathtas sipër) do të ketë pika me dy koordinata pozitive, në të dytën - lart majtas - vlerat e boshtit X do të jenë negative, dhe përgjatë boshtit Y - pozitive. E treta dhe e katërta numërohen më tej në të kundërt të akrepave të orës.
Pronë e rëndësishme
Ju e dini se një vijë mund të përfaqësohet si një numër i pafund pikësh. Mund të shikojmë me aq kujdes sa të duam çdo numër vlerash në çdo drejtim të boshtit, por nuk do të takojmë ato që përsëriten. Duket naive dhe e kuptueshme, por kjo deklaratë buron nga një fakt i rëndësishëm: çdo numër korrespondon me një dhe vetëm një pikë në vijën koordinative.
Përfundim
Mos harroni se çdo bosht, figurë dhe, nëse është e mundur, grafikë duhet të ndërtohen mbi një vizore. Njësitë matëse nuk janë shpikur rastësisht nga njeriu - nëse bëni një gabim gjatë vizatimit, rrezikoni të shihni një imazh të ndryshëm nga ai që duhet të ishte.
Jini të kujdesshëm dhe të saktë në hartimin dhe llogaritjet. Si çdo shkencë e studiuar në shkollë, matematika e do saktësinë. Bëni pak përpjekje dhe mirëvlerësimet nuk do të vonojnë shumë.
