Studentët e matematikës së lartë duhet të jenë të vetëdijshëm se shuma e disa serive të fuqisë që i përkasin intervalit të konvergjencës së serisë së dhënë rezulton të jetë një numër i vazhdueshëm dhe i pakufizuar i funksionit të diferencuar. Shtrohet pyetja: a është e mundur të pohohet se një funksion arbitrar i dhënë f(x) është shuma e disa serive të fuqisë? Domethënë, në cilat kushte funksioni f(x) mund të përfaqësohet me një seri fuqie? Rëndësia e kësaj pyetjeje qëndron në faktin se është e mundur që përafërsisht të zëvendësohet funksioni f(x) me shumën e disa termave të parë të serisë së fuqisë, domethënë me një polinom. Një zëvendësim i tillë i një funksioni me një shprehje mjaft të thjeshtë - një polinom - është gjithashtu i përshtatshëm kur zgjidhen disa probleme të analizës matematikore, përkatësisht: kur zgjidhen integrale, kur llogariten ekuacionet diferenciale, etj.
Është vërtetuar se për disa funksione f(х) ku derivatet deri në rendin (n+1)të, duke përfshirë atë të fundit, mund të llogariten në fqinjësi (α - R; x0 + R) e një pike x=α formula është e vlefshme:
Kjo formulë ka marrë emrin e shkencëtarit të famshëm Brook Taylor. Seria që është marrë nga ajo e mëparshme quhet seria Maclaurin:
Rregulli që bën të mundur zgjerimin në një seri Maclaurin:
- Përcaktoni derivatet e rendit të parë, të dytë, të tretë….
- Llogaritni se me çfarë janë të barabarta derivatet në x=0.
- Regjistro serinë Maclaurin për këtë funksion dhe më pas përcaktoni intervalin e konvergjencës së tij.
- Përcaktoni intervalin (-R;R) ku mbetet pjesa e formulës Maclaurin
R (x) -> 0 për n -> pafundësi. Nëse ekziston një, funksioni f(x) në të duhet të përkojë me shumën e serisë Maclaurin.
Tani merrni parasysh serinë Maclaurin për funksione individuale.
1. Pra, e para do të jetë f(x)=ex. Sigurisht, sipas veçorive të tij, një funksion i tillë ka derivate të renditjeve të ndryshme, dhe f(k)(x)=ex, ku k është e barabartë me të gjitha numrat natyrorë. Le të zëvendësojmë x=0. Ne marrim f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… do të dukej kështu:
2. Seria Maclaurin për funksionin f(x)=sin x. Sqaroni menjëherë se funksioni për të gjitha të panjohurat do të ketë derivate, përveç f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=mëkat(x+k n/2), ku k është e barabartë me çdo numër natyror. Kjo do të thotë, pasi të bëjmë llogaritjet e thjeshta, mund të arrijmë në përfundimin se seria për f(x)=sin x do të duket kështu:
3. Tani le të përpiqemi të marrim parasysh funksionin f(x)=cos x. Ajo është për të gjitha të panjohuratka derivate të rendit arbitrar, dhe |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Përsëri, pasi kemi bërë disa llogaritje, marrim se seria për f(x)=cos x do të duket kështu:
Pra, ne kemi renditur funksionet më të rëndësishme që mund të zgjerohen në serinë Maclaurin, por ato plotësohen nga seria Taylor për disa funksione. Tani do t'i rendisim ato. Vlen gjithashtu të theksohet se seritë Taylor dhe Maclaurin janë një pjesë e rëndësishme e praktikës së zgjidhjes së serive në matematikën e lartë. Pra, seria Taylor.
1. E para do të jetë një seri për f-ii f(x)=ln(1+x). Ashtu si në shembujt e mëparshëm, duke na dhënë f (x)=ln (1 + x), ne mund të shtojmë një seri duke përdorur formën e përgjithshme të serisë Maclaurin. megjithatë, për këtë funksion, seria Maclaurin mund të merret shumë më thjesht. Pas integrimit të një serie të caktuar gjeometrike, marrim një seri për f(x)=ln(1+x) të këtij kampioni:
2. Dhe e dyta, e cila do të jetë përfundimtare në artikullin tonë, do të jetë një seri për f (x) u003d arctg x. Për x që i përket intervalit [-1;1], zgjerimi është i vlefshëm:
Kjo është ajo. Ky artikull shqyrtoi seritë më të përdorura të Taylor dhe Maclaurin në matematikën e lartë, në veçanti, në universitetet ekonomike dhe teknike.
