Shpesh në jetë jemi përballur me nevojën për të vlerësuar shanset për të ndodhur një ngjarje. Nëse ia vlen të blesh një biletë lotarie apo jo, cila do të jetë gjinia e fëmijës së tretë në familje, nëse moti do të jetë i kthjellët nesër apo do të bjerë sërish shi - shembuj të tillë janë të panumërt. Në rastin më të thjeshtë, duhet të ndani numrin e rezultateve të favorshme me numrin e përgjithshëm të ngjarjeve. Nëse ka 10 bileta fituese në lotari, dhe janë 50 gjithsej, atëherë shanset për të marrë një çmim janë 10/50=0,2, domethënë 20 kundër 100. Por çfarë nëse ka disa ngjarje, dhe ato janë afër të lidhura? Në këtë rast, ne nuk do të na interesojë më probabiliteti i thjeshtë, por i kushtëzuar. Cila është kjo vlerë dhe si mund të llogaritet - kjo do të diskutohet në artikullin tonë.
Koncept
Probabiliteti i kushtëzuar është mundësia që të ndodhë një ngjarje e caktuar, duke pasur parasysh se një ngjarje tjetër e lidhur tashmë ka ndodhur. Konsideroni një shembull të thjeshtë meduke hedhur një monedhë. Nëse ende nuk është barazuar, atëherë shanset për të marrë koka apo bishta do të jenë të njëjta. Por nëse pesë herë radhazi monedha qëndron me stemën lart, atëherë pranoni të prisni të 6-tën, të 7-ën dhe aq më tepër përsëritja e 10-të e një rezultati të tillë do të ishte e palogjikshme. Me çdo titull të përsëritur, gjasat për shfaqjen e bishtave rriten dhe herët a vonë do të bien.
Formula e probabilitetit të kushtëzuar
Le të kuptojmë se si llogaritet kjo vlerë. Le ta shënojmë ngjarjen e parë si B, dhe të dytën si A. Nëse mundësitë e shfaqjes së B janë të ndryshme nga zero, atëherë barazia e mëposhtme do të jetë e vlefshme:
P (A|B)=P (AB) / P (B), ku:
- P (A|B) - probabiliteti i kushtëzuar i rezultatit A;
- P (AB) - probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të ngjarjeve A dhe B;
- P (B) – probabiliteti i ngjarjes B.
Duke transformuar pak këtë raport, marrim P (AB)=P (A|B)P (B). Dhe nëse zbatojmë metodën e induksionit, atëherë mund të nxjerrim formulën e produktit dhe ta përdorim atë për një numër arbitrar ngjarjesh:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Praktik
Për ta bërë më të lehtë të kuptojmë se si llogaritet probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje, le të shohim disa shembuj. Supozoni se ka një vazo që përmban 8 çokollata dhe 7 mente. Kanë të njëjtën madhësi dhe të rastësishme.dy prej tyre nxirren me radhë. Cilat janë shanset që të dyja të jenë çokollatë? Le të prezantojmë shënimin. Le të thotë rezultati A që ëmbëlsira e parë është çokollatë, rezultati B është karamele e dytë me çokollatë. Atëherë ju merrni sa vijon:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Le të shqyrtojmë një rast tjetër. Supozoni se ka një familje me dy fëmijë dhe ne e dimë që të paktën një fëmijë është vajzë.
Cila është probabiliteti i kushtëzuar që këta prindër të mos kenë ende djem? Si në rastin e mëparshëm, fillojmë me shënim. Le të jetë P(B) probabiliteti që të ketë të paktën një vajzë në familje, P(A|B) të jetë probabiliteti që fëmija i dytë të jetë gjithashtu një vajzë, P(AB) të jenë shanset që të ketë dy vajza në familja. Tani le të bëjmë llogaritjet. Gjithsej mund të ketë 4 kombinime të ndryshme të seksit të fëmijëve dhe në këtë rast vetëm në një rast (kur janë dy djem në familje) nuk do të ketë asnjë vajzë mes fëmijëve. Prandaj, probabiliteti P (B)=3/4, dhe P (AB)=1/4. Pastaj, duke ndjekur formulën tonë, marrim:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Rezultati mund të interpretohet si më poshtë: nëse nuk do të dinim gjininë e njërit prej fëmijëve, atëherë shanset e dy vajzave do të ishin 25 kundrejt 100. Por duke qenë se dimë që një fëmijë është vajzë, probabiliteti që familja e djemve jo, të rritet në një të tretën.
