Transformimi Furier është një transformim që krahason funksionet e disa ndryshoreve reale. Ky operacion kryhet sa herë që ne perceptojmë tinguj të ndryshëm. Veshi kryen një "llogaritje" automatike, të cilën vetëdija jonë është në gjendje ta kryejë vetëm pasi të studiojë seksionin përkatës të matematikës së lartë. Organi i dëgjimit të njeriut ndërton një transformim, si rezultat i të cilit tingulli (lëvizja osciluese e grimcave të kushtëzuara në një mjedis elastik që përhapen në formë valore në një mjedis të ngurtë, të lëngët ose të gaztë) sigurohet në formën e një spektri vlerash të njëpasnjëshme. e nivelit të volumit të toneve me lartësi të ndryshme. Pas kësaj, truri e kthen këtë informacion në një tingull të njohur për të gjithë.
Transformimi matematikor Furier
Transformimi i valëve të zërit ose proceseve të tjera lëkundëse (nga rrezatimi i dritës dhe batica e oqeanit në ciklet e aktivitetit yjor ose diellor) mund të kryhet gjithashtu duke përdorur metoda matematikore. Pra, duke përdorur këto teknika, është e mundur të zbërthehen funksionet duke paraqitur proceset osciluese si një grup përbërësish sinusoidalë, domethënë kthesa të valëzuara qëshkoni nga e ulëta në të lartë, pastaj përsëri në të ulët, si një valë deti. Transformimi Furier - një transformim, funksioni i të cilit përshkruan fazën ose amplituda e secilit sinusoid që korrespondon me një frekuencë të caktuar. Faza është pika fillestare e kurbës dhe amplituda është lartësia e saj.
Transformimi Fourier (shembuj janë treguar në foto) është një mjet shumë i fuqishëm që përdoret në fusha të ndryshme të shkencës. Në disa raste, përdoret si një mjet për zgjidhjen e ekuacioneve mjaft komplekse që përshkruajnë procese dinamike që ndodhin nën ndikimin e dritës, energjisë termike ose elektrike. Në raste të tjera, ju lejon të përcaktoni përbërësit e rregullt në sinjalet komplekse osciluese, falë të cilave mund të interpretoni saktë vëzhgime të ndryshme eksperimentale në kimi, mjekësi dhe astronomi.
Sfondi historik
Personi i parë që aplikoi këtë metodë ishte matematikani francez Jean Baptiste Fourier. Transformimi, i quajtur më vonë pas tij, u përdor fillimisht për të përshkruar mekanizmin e përcjelljes së nxehtësisë. Furieri e kaloi gjithë jetën e tij të rritur duke studiuar vetitë e nxehtësisë. Ai dha një kontribut të madh në teorinë matematikore të përcaktimit të rrënjëve të ekuacioneve algjebrike. Fourier ishte profesor i analizës në Shkollën Politeknike, sekretar i Institutit të Egjiptologjisë, ishte në shërbimin perandorak, ku u dallua gjatë ndërtimit të rrugës për në Torino (nën drejtimin e tij, më shumë se 80 mijë kilometra katrorë malariekënetat). Megjithatë, i gjithë ky aktivitet i vrullshëm nuk e pengoi shkencëtarin të bënte analiza matematikore. Në 1802, ai nxori një ekuacion që përshkruan përhapjen e nxehtësisë në trupat e ngurtë. Në vitin 1807, shkencëtari zbuloi një metodë për zgjidhjen e këtij ekuacioni, e cila u quajt "Transformimi Furier".
Analiza e përçueshmërisë termike
Shkencëtari aplikoi një metodë matematikore për të përshkruar mekanizmin e përcjelljes së nxehtësisë. Një shembull i përshtatshëm, në të cilin nuk ka vështirësi në llogaritjen, është përhapja e energjisë termike përmes një unaze hekuri të zhytur në një pjesë në zjarr. Për të kryer eksperimente, Fourier ngrohi një pjesë të kësaj unaze të nxehtë dhe e varrosi në rërë të imët. Pas kësaj, ai bëri matje të temperaturës në anën e kundërt të saj. Fillimisht shpërndarja e nxehtësisë është e parregullt: një pjesë e unazës është e ftohtë dhe tjetra është e nxehtë; midis këtyre zonave mund të vërehet një gradient i mprehtë i temperaturës. Sidoqoftë, në procesin e përhapjes së nxehtësisë në të gjithë sipërfaqen e metalit, ai bëhet më uniform. Pra, së shpejti ky proces merr formën e një sinusoidi. Në fillim, grafiku rritet pa probleme dhe gjithashtu zvogëlohet pa probleme, pikërisht sipas ligjeve të ndryshimit të funksionit kosinus ose sinus. Vala gradualisht ulet dhe si rezultat temperatura bëhet e njëjtë në të gjithë sipërfaqen e unazës.
Autori i kësaj metode sugjeroi që shpërndarja fillestare e parregullt mund të zbërthehet në një numër sinusoidesh elementare. Secili prej tyre do të ketë fazën e vet (pozicionin fillestar) dhe temperaturën e vetmaksimale. Për më tepër, çdo komponent i tillë ndryshon nga një minimum në një maksimum dhe kthehet në një rrotullim të plotë rreth unazës një numër të plotë herë. Një komponent me një periodë quhej harmonik themelor, dhe një vlerë me dy ose më shumë perioda quhej e dyta, e kështu me radhë. Pra, funksioni matematik që përshkruan maksimumin e temperaturës, fazën ose pozicionin quhet transformimi Furier i funksionit të shpërndarjes. Shkencëtari reduktoi një komponent të vetëm, i cili është i vështirë për t'u përshkruar matematikisht, në një mjet të lehtë për t'u përdorur - seritë kosinus dhe sinus, të cilat përmbledhin për të dhënë shpërndarjen origjinale.
Thelbi i analizës
Duke zbatuar këtë analizë për transformimin e përhapjes së nxehtësisë përmes një objekti të ngurtë që ka një formë unazore, matematikani arsyetoi se rritja e periudhave të komponentit sinusoidal do të çonte në prishjen e tij të shpejtë. Kjo shihet qartë në harmonikën themelore dhe atë të dytë. Në këtë të fundit, temperatura arrin vlerat maksimale dhe minimale dy herë në një kalim, dhe në të parën, vetëm një herë. Rezulton se distanca e mbuluar nga nxehtësia në harmonikën e dytë do të jetë sa gjysma e asaj themelore. Përveç kësaj, gradienti në të dytin do të jetë gjithashtu dy herë më i pjerrët se i pari. Prandaj, meqenëse rrjedha më intensive e nxehtësisë përshkon një distancë dy herë më të shkurtër, kjo harmonikë do të prishet katër herë më shpejt se ajo themelore në funksion të kohës. Në të ardhmen, ky proces do të jetë edhe më i shpejtë. Matematikani besonte se kjo metodë ju lejon të llogarisni procesin e shpërndarjes fillestare të temperaturës me kalimin e kohës.
Sfidë për bashkëkohësit
Algoritmi i transformimit të Furierit sfidoi themelet teorike të matematikës në atë kohë. Në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, shkencëtarët më të shquar, duke përfshirë Lagrange, Laplace, Poisson, Lezhandre dhe Biot, nuk e pranuan deklaratën e tij se shpërndarja fillestare e temperaturës zbërthehet në komponentë në formën e një harmonike themelore dhe frekuencave më të larta. Sidoqoftë, Akademia e Shkencave nuk mund të injoronte rezultatet e marra nga matematikani dhe i dha atij një çmim për teorinë e ligjeve të përcjelljes së nxehtësisë, si dhe duke e krahasuar atë me eksperimentet fizike. Në qasjen e Furierit, kundërshtimi kryesor ishte fakti se funksioni i ndërprerë përfaqësohet nga shuma e disa funksioneve sinusoidale që janë të vazhdueshme. Në fund të fundit, ata përshkruajnë linja të grisura të drejta dhe të lakuara. Bashkëkohësit e shkencëtarit nuk hasën kurrë në një situatë të ngjashme, kur funksionet e ndërprera përshkruheshin nga një kombinim i atyre të vazhdueshme, të tilla si kuadratike, lineare, sinusoidale ose eksponenciale. Në rast se matematikani kishte të drejtë në deklaratat e tij, atëherë shuma e një serie të pafundme të një funksioni trigonometrik duhet të reduktohet në një të saktë hap pas hapi. Në atë kohë, një deklaratë e tillë dukej absurde. Megjithatë, pavarësisht dyshimeve, disa studiues (p.sh. Claude Navier, Sophie Germain) e kanë zgjeruar fushën e kërkimit dhe i kanë çuar përtej analizës së shpërndarjes së energjisë termike. Ndërkohë, matematikanët vazhduan të luftojnë me pyetjen nëse shuma e disa funksioneve sinusoidale mund të reduktohet në një paraqitje të saktë të një të ndërprerë.
200 vjeçhistoria
Kjo teori ka evoluar gjatë dy shekujve, sot më në fund është formuar. Me ndihmën e tij, funksionet hapësinore ose kohore ndahen në komponentë sinusoidë, të cilët kanë frekuencën, fazën dhe amplituda e tyre. Ky transformim përftohet me dy metoda të ndryshme matematikore. E para prej tyre përdoret kur funksioni origjinal është i vazhdueshëm, dhe i dyti - kur përfaqësohet nga një grup ndryshimesh individuale diskrete. Nëse shprehja merret nga vlera që përcaktohen me intervale diskrete, atëherë ajo mund të ndahet në disa shprehje sinusoidale me frekuenca diskrete - nga më e ulëta dhe më pas dy herë, tre herë dhe kështu me radhë më e lartë se ajo kryesore. Një shumë e tillë quhet seria Fourier. Nëse shprehjes fillestare i jepet një vlerë për çdo numër real, atëherë ai mund të zbërthehet në disa sinusoidale të të gjitha frekuencave të mundshme. Zakonisht quhet integrali Fourier, dhe zgjidhja nënkupton transformime integrale të funksionit. Pavarësisht se si arrihet konvertimi, duhet të specifikohen dy numra për secilën frekuencë: amplituda dhe frekuenca. Këto vlera shprehen si një numër i vetëm kompleks. Teoria e shprehjeve të variablave komplekse, së bashku me transformimin Furier, bënë të mundur kryerjen e llogaritjeve në projektimin e qarqeve të ndryshme elektrike, analizën e dridhjeve mekanike, studimin e mekanizmit të përhapjes së valëve etj.
Transformimi Fourier Sot
Sot, studimi i këtij procesi është reduktuar kryesisht në gjetjen e efektivitetitmetodat e kalimit nga një funksion në formën e tij të transformuar dhe anasjelltas. Kjo zgjidhje quhet transformimi i drejtpërdrejtë dhe i anasjelltë i Furierit. Çfarë do të thotë? Për të përcaktuar integralin dhe për të prodhuar një transformim të drejtpërdrejtë të Furierit, mund të përdoren metoda matematikore ose analitike. Përkundër faktit se lindin disa vështirësi gjatë përdorimit të tyre në praktikë, shumica e integraleve tashmë janë gjetur dhe përfshirë në librat e referencës matematikore. Metodat numerike mund të përdoren për të llogaritur shprehjet, forma e të cilave bazohet në të dhëna eksperimentale, ose funksione, integralet e të cilave nuk janë të disponueshme në tabela dhe janë të vështira për t'u paraqitur në formë analitike.
Para ardhjes së kompjuterëve, llogaritjet e transformimeve të tilla ishin shumë të lodhshme, ato kërkonin ekzekutimin manual të një numri të madh operacionesh aritmetike, të cilat vareshin nga numri i pikave që përshkruanin funksionin e valës. Për të lehtësuar llogaritjet, sot ekzistojnë programe të veçanta që kanë bërë të mundur zbatimin e metodave të reja analitike. Kështu, në vitin 1965, James Cooley dhe John Tukey krijuan softuer që u bë i njohur si "Transformimi i Fast Fourier". Kjo ju lejon të kurseni kohë për llogaritjet duke zvogëluar numrin e shumëzimeve në analizën e kurbës. Metoda e transformimit të shpejtë të Furierit bazohet në ndarjen e kurbës në një numër të madh vlerash uniforme të mostrës. Prandaj, numri i shumëzimeve përgjysmohet me të njëjtën rënie në numrin e pikëve.
Zbatimi i transformimit Furier
Kjoprocesi përdoret në fusha të ndryshme të shkencës: në teorinë e numrave, fizikën, përpunimin e sinjalit, kombinatorikë, teorinë e probabilitetit, kriptografinë, statistikën, oqeanologjinë, optikën, akustikën, gjeometrinë dhe të tjera. Mundësitë e pasura të aplikimit të tij bazohen në një sërë veçorish të dobishme, të cilat quhen "Vetitë e transformimit Fourier". Merrni parasysh ato.
1. Transformimi i funksionit është një operator linear dhe, me normalizimin e duhur, është unitar. Kjo veti njihet si teorema e Parsevalit, ose në përgjithësi teorema e Plancherelit, ose dualizmi i Pontryaginit.
2. Transformimi është i kthyeshëm. Për më tepër, rezultati i kundërt ka pothuajse të njëjtën formë si në zgjidhjen e drejtpërdrejtë.
3. Shprehjet e bazës sinusoidale janë funksione të diferencuara. Kjo do të thotë se një paraqitje e tillë i ndryshon ekuacionet lineare me një koeficient konstant në ato të zakonshme algjebrike.
4. Sipas teoremës së "konvolucionit", ky proces e kthen një operacion kompleks në një shumëzim elementar.
5. Transformimi diskret i Furierit mund të llogaritet shpejt në një kompjuter duke përdorur metodën "e shpejtë".
Variantet e transformimit Furier
1. Më shpesh, ky term përdoret për të treguar një transformim të vazhdueshëm që siguron çdo shprehje të integrueshme katrore si një shumë e shprehjeve komplekse eksponenciale me frekuenca dhe amplituda këndore specifike. Kjo specie ka disa forma të ndryshme, të cilat mundndryshojnë nga koeficientët konstant. Metoda e vazhdueshme përfshin një tabelë konvertimi, e cila mund të gjendet në librat e referencës matematikore. Një rast i përgjithësuar është një transformim i pjesshëm, me anë të të cilit procesi i dhënë mund të rritet në fuqinë reale të kërkuar.
2. Mënyra e vazhdueshme është një përgjithësim i teknikës së hershme të serive Furier të përcaktuar për funksione ose shprehje të ndryshme periodike që ekzistojnë në një zonë të kufizuar dhe i përfaqësojnë ato si seri sinusoidesh.
3. Transformimi i Furierit diskret. Kjo metodë përdoret në teknologjinë kompjuterike për llogaritjet shkencore dhe për përpunimin e sinjalit dixhital. Për të kryer këtë lloj llogaritjeje, kërkohet që të ketë funksione që përcaktojnë pika individuale, zona periodike ose të kufizuara në një grup diskrete në vend të integraleve të Furierit të vazhdueshëm. Transformimi i sinjalit në këtë rast paraqitet si shuma e sinusoideve. Në të njëjtën kohë, përdorimi i metodës “të shpejtë” bën të mundur aplikimin e zgjidhjeve diskrete për çdo problem praktik.
4. Transformimi i Furierit me dritare është një formë e përgjithësuar e metodës klasike. Në ndryshim nga zgjidhja standarde, kur përdoret spektri i sinjalit, i cili merret në gamën e plotë të ekzistencës së një ndryshoreje të caktuar, këtu interes të veçantë ka vetëm shpërndarja lokale e frekuencës, me kusht që të ruhet variabli origjinal (koha)..
5. Transformimi Furier dydimensional. Kjo metodë përdoret për të punuar me grupe të dhënash dydimensionale. Në këtë rast, fillimisht transformimi kryhet në një drejtim, dhe më pas nëtjetër.
Përfundim
Sot, metoda Fourier është ngulitur fort në fusha të ndryshme të shkencës. Për shembull, në vitin 1962 forma e spirales së dyfishtë të ADN-së u zbulua duke përdorur analizën Fourier të kombinuar me difraksionin me rreze X. Këto të fundit u përqendruan në kristalet e fibrave të ADN-së, si rezultat, imazhi i marrë nga difraksioni i rrezatimit u regjistrua në film. Kjo fotografi jep informacion në lidhje me vlerën e amplitudës kur përdoret transformimi Fourier në një strukturë të caktuar kristalore. Të dhënat e fazës janë marrë duke krahasuar hartën e difraksionit të ADN-së me hartat e marra nga analiza e strukturave kimike të ngjashme. Si rezultat, biologët kanë rivendosur strukturën kristalore - funksionin origjinal.
Transformimet e Furierit luajnë një rol të madh në studimin e hapësirës, fizikën e gjysmëpërçuesve dhe plazmës, akustikën e mikrovalëve, oqeanografinë, radarin, sizmologjinë dhe studimet mjekësore.
