Për shumë njerëz, analiza matematikore është vetëm një grup numrash, ikonash dhe përkufizimesh të pakuptueshme që janë larg jetës reale. Sidoqoftë, bota në të cilën ne ekzistojmë është e ndërtuar mbi modele numerike, identifikimi i të cilave ndihmon jo vetëm për të mësuar rreth botës përreth nesh dhe për të zgjidhur problemet e saj komplekse, por edhe për të thjeshtuar detyrat praktike të përditshme. Çfarë do të thotë një matematikan kur thotë se një sekuencë numrash konvergjon? Kjo duhet diskutuar më në detaje.
Ç'është një infinit i vogël?
Le të imagjinojmë kukulla matryoshka që përshtaten njëra brenda tjetrës. Madhësitë e tyre, të shkruara në formën e numrave, duke filluar nga më i madhi dhe duke përfunduar me më të voglin prej tyre, formojnë një sekuencë. Nëse imagjinoni një numër të pafund figurash të tilla të ndritshme, atëherë rreshti që rezulton do të jetë fantastikisht i gjatë. Kjo është një sekuencë numrash konvergjente. Dhe priret në zero, pasi madhësia e secilës kukull foleje të mëvonshme, duke u zvogëluar në mënyrë katastrofike, gradualisht kthehet në asgjë. Pra është e lehtëmund të shpjegohet: çfarë është pafundësisht e vogël.
Një shembull i ngjashëm do të ishte një rrugë që të çon në distancë. Dhe dimensionet vizuale të makinës që largohet nga vëzhguesi përgjatë saj, duke u zvogëluar gradualisht, shndërrohen në një njollë pa formë që i ngjan një pike. Kështu, makina, si një objekt, duke u larguar në një drejtim të panjohur, bëhet pafundësisht e vogël. Parametrat e trupit të specifikuar nuk do të jenë kurrë zero në kuptimin e mirëfilltë të fjalës, por priren pa ndryshim në këtë vlerë në kufirin përfundimtar. Prandaj, kjo sekuencë konvergon përsëri në zero.
Llogaritni gjithçka pikë për pikë
Le të imagjinojmë tani një situatë të kësaj bote. Mjeku i ka përshkruar pacientit që të marrë ilaçin, duke filluar me dhjetë pika në ditë dhe duke shtuar dy çdo ditë tjetër. Dhe kështu mjeku sugjeroi të vazhdoni derisa të mbarojë përmbajtja e shishkës së ilaçit, vëllimi i së cilës është 190 pika. Nga sa më sipër rezulton se numri i të tillëve, i planifikuar për ditë, do të jetë seritë e mëposhtme të numrave: 10, 12, 14 e kështu me radhë.
Si të zbuloni kohën për të përfunduar të gjithë kursin dhe numrin e anëtarëve të sekuencës? Këtu, sigurisht, mund të numërohen pika në një mënyrë primitive. Por është shumë më e lehtë, duke pasur parasysh modelin, të përdorësh formulën për shumën e një progresion aritmetik me një hap d=2. Dhe duke përdorur këtë metodë, zbuloni se numri i anëtarëve të serisë së numrave është 10. Në këtë rast, a10=28. Numri i penisit tregon numrin e ditëve të marrjes së ilaçit dhe 28 korrespondon me numrin e pikave që pacienti duhetpërdorni ditën e fundit. A konvergon kjo sekuencë? Jo, sepse pavarësisht se është i kufizuar në 10 nga poshtë dhe 28 nga lart, një seri e tillë numrash nuk ka kufi, ndryshe nga shembujt e mëparshëm.
Cili është ndryshimi?
Tani le të përpiqemi të sqarojmë: kur seria e numrave rezulton të jetë një sekuencë konvergjente. Një përkufizim i këtij lloji, siç mund të konkludohet nga sa më sipër, lidhet drejtpërdrejt me konceptin e një kufiri të fundëm, prania e të cilit zbulon thelbin e çështjes. Pra, cili është ndryshimi themelor midis shembujve të dhënë më parë? Dhe pse në të fundit prej tyre, numri 28 nuk mund të konsiderohet kufiri i serisë së numrave X =10 + 2(n-1)?
Për të sqaruar këtë pyetje, merrni parasysh një sekuencë tjetër të dhënë nga formula e mëposhtme, ku n i përket grupit të numrave natyrorë.
Kjo bashkësi anëtarësh është një grup thyesash të zakonshme, numëruesi i të cilave është 1, dhe emëruesi është vazhdimisht në rritje: 1, ½ …
Për më tepër, çdo përfaqësues i njëpasnjëshëm i kësaj serie i afrohet 0 gjithnjë e më shumë për sa i përket vendndodhjes në vijën numerike. Dhe kjo do të thotë se një lagje e tillë shfaqet ku pikat grumbullohen rreth zeros, që është kufiri. Dhe sa më afër të jenë, aq më i dendur bëhet përqendrimi i tyre në vijën numerike. Dhe distanca mes tyre zvogëlohet në mënyrë katastrofike, duke u kthyer në një të pafundme. Kjo është një shenjë se sekuenca po konvergjent.
Të ngjashmeKështu, drejtkëndëshat shumëngjyrësh të paraqitur në figurë, kur largohen në hapësirë, vizualisht janë më të mbushur me njerëz, në kufirin hipotetik duke u kthyer në të papërfillshëm.
Sekuenca pafundësisht të mëdha
Pasi analizuam përkufizimin e një sekuence konvergjente, le të kalojmë te kundërshembuj. Shumë prej tyre janë njohur për njeriun që nga kohërat e lashta. Variantet më të thjeshta të sekuencave divergjente janë seritë e numrave natyrorë dhe çift. Ata quhen pafundësisht të mëdhenj në një mënyrë tjetër, pasi anëtarët e tyre, duke u rritur vazhdimisht, po i afrohen gjithnjë e më shumë pafundësisë pozitive.
Një shembull i tillë mund të jetë gjithashtu çdo progresion aritmetik dhe gjeometrik me hap dhe emërues, përkatësisht, më të mëdhenj se zero. Përveç kësaj, seritë numerike konsiderohen sekuenca divergjente, të cilat nuk kanë fare kufi. Për shembull, X =(-2) -1.
Sekuenca Fibonacci
Përfitimet praktike të serisë së numrave të përmendur më parë për njerëzimin janë të pamohueshme. Por ka shumë shembuj të tjerë të mëdhenj. Një prej tyre është sekuenca Fibonacci. Secili prej anëtarëve të tij, të cilët fillojnë me një, është shuma e anëtarëve të mëparshëm. Dy përfaqësuesit e tij të parë janë 1 dhe 1. I treti 1+1=2, i katërti 1+2=3, i pesti 2+3=5. Më tej, sipas të njëjtës logjikë, vijojnë numrat 8, 13, 21 e kështu me radhë.
Kjo seri numrash rritet pafundësisht dhe ka nrkufiri përfundimtar. Por ajo ka një tjetër pronë të mrekullueshme. Raporti i çdo numri të mëparshëm me numrin tjetër po afrohet gjithnjë e më shumë në vlerën e tij me 0,618. Këtu mund të kuptoni ndryshimin midis një sekuence konvergjente dhe divergjente, sepse nëse bëni një seri ndarjesh të pjesshme të marra, sistemi numerik i treguar do të kanë një kufi të fundëm të barabartë me 0,618.
Sekuenca e raporteve Fibonacci
Seria e numrave e treguar më sipër përdoret gjerësisht për qëllime praktike për analizën teknike të tregjeve. Por kjo nuk kufizohet vetëm në aftësitë e saj, të cilat egjiptianët dhe grekët e dinin dhe mundën t'i zbatonin në kohët e lashta. Këtë e vërtetojnë piramidat që ndërtuan dhe Partenoni. Në fund të fundit, numri 0.618 është një koeficient konstant i seksionit të artë, i njohur mirë në kohët e vjetra. Sipas këtij rregulli, çdo segment arbitrar mund të ndahet në mënyrë që raporti ndërmjet pjesëve të tij të përkojë me raportin ndërmjet segmentit më të madh dhe gjatësisë totale.
Le të ndërtojmë një seri marrëdhëniesh të treguara dhe të përpiqemi të analizojmë këtë sekuencë. Seria e numrave do të jetë si më poshtë: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 e kështu me radhë. Duke vazhduar në këtë mënyrë, mund të sigurohemi që kufiri i sekuencës konvergjente do të jetë me të vërtetë 0.618. Megjithatë, është e nevojshme të vihen re vetitë e tjera të kësaj rregullsie. Këtu numrat duket se shkojnë rastësisht, dhe aspak në rend rritës apo zbritës. Kjo do të thotë se kjo sekuencë konvergjente nuk është monotone. Pse është kështu do të diskutohet më tej.
Monotoniteti dhe kufizimi
Anëtarët e serisë së numrave mund të zvogëlohen qartë me rritjen e numrit (nëse x1>x2>x3>…>x >…) ose në rritje (nëse x1<x2 3x6323<…<x <…). Në këtë rast, sekuenca thuhet se është rreptësisht monotonike. Mund të vërehen edhe modele të tjera, ku seria numerike do të jetë jo-zvogëluese dhe jo në rritje (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ose x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), atëherë ai konvergjent i njëpasnjëshëm është gjithashtu monoton, por jo në kuptimin e ngushtë. Një shembull i mirë i të parës prej këtyre opsioneve është seria e numrave e dhënë nga formula e mëposhtme.
Pasi pikturuar numrat e kësaj serie, ju mund të shihni se çdo nga anëtarët e saj, duke i afruar pafundësisht 1, nuk do ta kalojë kurrë këtë vlerë. Në këtë rast, sekuenca konvergjente thuhet se është e kufizuar. Kjo ndodh sa herë që ka një numër kaq pozitiv M, i cili është gjithmonë më i madh se cilido nga termat e modulit të serisë. Nëse një seri numrash ka shenja të monotonitetit dhe ka një kufi, dhe për këtë arsye konvergon, atëherë ajo është domosdoshmërisht e pajisur me një pronë të tillë. Dhe e kundërta nuk duhet të jetë e vërtetë. Kjo dëshmohet nga teorema e kufirit për një sekuencë konvergjente.
Zbatimi i vëzhgimeve të tilla në praktikë është shumë i dobishëm. Le të japim një shembull specifik duke shqyrtuar vetitë e sekuencës X =n/n+1 dhe vërtetoni konvergjencën e tij. Është e lehtë të tregosh se është monoton, pasi (x +1 – x) është një numër pozitiv për çdo vlerë n. Kufiri i sekuencës është i barabartë me numrin 1, që do të thotë se plotësohen të gjitha kushtet e teoremës së mësipërme, e quajtur edhe teorema e Weierstrass. Teorema mbi kufirin e një sekuence konvergjente thotë se nëse ajo ka një kufi, atëherë në çdo rast rezulton të jetë e kufizuar. Megjithatë, le të marrim shembullin e mëposhtëm. Seria e numrave X =(-1) është e kufizuar nga poshtë me -1 dhe nga lart me 1. Por kjo sekuencë nuk është monotonike, nuk ka kufi, dhe për këtë arsye nuk konvergon. Kjo do të thotë, ekzistenca e një kufiri dhe konvergjenca nuk rrjedh gjithmonë nga kufizimi. Që kjo të funksionojë, kufiri i poshtëm dhe i sipërm duhet të përputhen, si në rastin e raporteve Fibonacci.
Numrat dhe ligjet e Universit
Variantet më të thjeshta të një sekuence konvergjente dhe divergjente janë ndoshta seritë numerike X =n dhe X =1/n. E para prej tyre është një seri natyrore numrash. Është, siç u përmend tashmë, pafundësisht i madh. Sekuenca e dytë konvergjente është e kufizuar dhe termat e saj janë afër pafundësi në madhësi. Secila prej këtyre formulave personifikon njërën nga anët e Universit të shumëanshëm, duke ndihmuar një person të imagjinojë dhe llogaritë diçka të panjohur, të paarritshme për perceptimin e kufizuar në gjuhën e numrave dhe shenjave.
Ligjet e universit, që variojnë nga të papërfillshme në tepër të mëdha, shprehin gjithashtu raportin e artë prej 0,618. Shkencëtarëtata besojnë se ajo është baza e thelbit të gjërave dhe përdoret nga natyra për të formuar pjesët e saj. Marrëdhëniet midis anëtarëve të ardhshëm dhe të mëparshëm të serisë Fibonacci, të cilat i kemi përmendur tashmë, nuk e plotësojnë demonstrimin e vetive mahnitëse të kësaj serie unike. Nëse marrim parasysh herësin e pjesëtimit të termit të mëparshëm me atë të radhës me një, atëherë marrim një seri prej 0,5; 0,33; 0.4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 e kështu me radhë. Është interesante se kjo sekuencë e kufizuar konvergon, nuk është monotone, por raporti i numrave fqinjë ekstremë nga një anëtar i caktuar është gjithmonë afërsisht i barabartë me 0,382, i cili mund të përdoret gjithashtu në arkitekturë, analiza teknike dhe industri të tjera.
Ka koeficientë të tjerë interesantë të serisë Fibonacci, të gjithë ata luajnë një rol të veçantë në natyrë dhe përdoren gjithashtu nga njeriu për qëllime praktike. Matematikanët janë të sigurt se Universi zhvillohet sipas një "spiraleje të artë" të caktuar, të formuar nga koeficientët e treguar. Me ndihmën e tyre, është e mundur të llogariten shumë fenomene që ndodhin në Tokë dhe në hapësirë, duke filluar nga rritja e numrit të baktereve të caktuara deri te lëvizja e kometave të largëta. Siç rezulton, kodi i ADN-së u bindet ligjeve të ngjashme.
Progresioni gjeometrik në rënie
Ekziston një teoremë që pohon veçantinë e kufirit të një sekuence konvergjente. Kjo do të thotë se ai nuk mund të ketë dy ose më shumë kufij, gjë që është padyshim e rëndësishme për gjetjen e karakteristikave të tij matematikore.
Le të shohim disarastet. Çdo seri numerike e përbërë nga anëtarë të një progresion aritmetik është divergjente, me përjashtim të rastit me një hap zero. E njëjta gjë vlen edhe për një progresion gjeometrik, emëruesi i të cilit është më i madh se 1. Kufijtë e serive të tilla numerike janë "plus" ose "minus" i pafundësisë. Nëse emëruesi është më i vogël se -1, atëherë nuk ka fare kufi. Opsione të tjera janë të mundshme.
Merrni parasysh serinë e numrave të dhënë nga formula X =(1/4) -1. Në shikim të parë, është e lehtë të shihet se kjo sekuencë konvergjente është e kufizuar, sepse është rreptësisht në rënie dhe në asnjë mënyrë nuk mund të marrë vlera negative.
Le të shkruajmë një numër të anëtarëve të tij me radhë.
Do të rezultojë: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 e kështu me radhë. Llogaritjet mjaft të thjeshta janë të mjaftueshme për të kuptuar se sa shpejt zvogëlohet ky progresion gjeometrik nga emëruesit 0<q<1. Ndërsa emëruesi i termave rritet pafundësisht, ata vetë bëhen pafundësisht të vegjël. Kjo do të thotë se kufiri i serisë së numrave është 0. Ky shembull tregon edhe një herë natyrën e kufizuar të sekuencës konvergjente.
Sekuencat themelore
Augustin Louis Cauchy, një shkencëtar francez, i zbuloi botës shumë vepra që lidhen me analizën matematikore. Ai u dha përkufizime koncepteve të tilla si diferenciali, integrali, kufiri dhe vazhdimësia. Ai gjithashtu studioi vetitë themelore të sekuencave konvergjente. Për të kuptuar thelbin e ideve të tij,disa detaje të rëndësishme duhet të përmblidhen.
Që në fillim të artikullit, u tregua se ka sekuenca të tilla për të cilat ekziston një lagje ku pikat që përfaqësojnë anëtarët e një serie të caktuar në vijën reale fillojnë të grumbullohen, duke u rreshtuar gjithnjë e më shumë dendur. Në të njëjtën kohë, distanca midis tyre zvogëlohet me rritjen e numrit të përfaqësuesit të ardhshëm, duke u kthyer në një pafundësisht të vogël. Kështu, rezulton se në një lagje të caktuar grupohen një numër i pafundmë përfaqësuesish të një serie të caktuar, ndërsa jashtë saj ka një numër të kufizuar të tyre. Sekuenca të tilla quhen themelore.
Kriteri i famshëm Cauchy, i krijuar nga një matematikan francez, tregon qartë se prania e një vetie të tillë është e mjaftueshme për të vërtetuar se sekuenca konvergon. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.
Duhet theksuar se ky përfundim i matematikanit francez është kryesisht me interes thjesht teorik. Zbatimi i tij në praktikë konsiderohet të jetë një çështje mjaft e ndërlikuar, prandaj, për të sqaruar konvergjencën e serive, është shumë më e rëndësishme të vërtetohet ekzistenca e një kufiri të fundëm për një sekuencë. Përndryshe, konsiderohet divergjente.
Gjatë zgjidhjes së problemeve, duhet të merren parasysh edhe vetitë themelore të sekuencave konvergjente. Ato janë paraqitur më poshtë.
Shuma të pafundme
Shkencëtarë të tillë të famshëm të antikitetit si Arkimedi, Euklidi, Eudoksi përdorën shumat e serive të numrave të pafund për të llogaritur gjatësinë e kthesave, vëllimet e trupavedhe zonat e figurave. Në veçanti, në këtë mënyrë u bë e mundur të zbulohej zona e segmentit parabolik. Për këtë është përdorur shuma e serisë numerike të një progresion gjeometrik me q=1/4. Vëllimet dhe sipërfaqet e figurave të tjera arbitrare u gjetën në mënyrë të ngjashme. Ky opsion u quajt metoda "shterimi". Ideja ishte që trupi i studiuar, në formë komplekse, të ndahej në pjesë, të cilat ishin figura me parametra lehtësisht të matur. Për këtë arsye, nuk ishte e vështirë të llogariteshin sipërfaqet dhe vëllimet e tyre dhe më pas ato mblidheshin.
Meqë ra fjala, detyra të ngjashme janë shumë të njohura për nxënësit e shkollave moderne dhe gjenden në detyrat USE. Metoda unike, e gjetur nga paraardhësit e largët, është zgjidhja më e thjeshtë. Edhe nëse ka vetëm dy ose tre pjesë në të cilat ndahet figura numerike, mbledhja e sipërfaqeve të tyre është përsëri shuma e serisë së numrave.
Shumë më vonë se shkencëtarët e lashtë grekë Leibniz dhe Njutoni, bazuar në përvojën e paraardhësve të tyre të mençur, mësuan modelet e llogaritjes integrale. Njohja e vetive të sekuencave i ndihmoi ata të zgjidhnin ekuacionet diferenciale dhe algjebrike. Aktualisht, teoria e serive, e krijuar nga përpjekjet e shumë brezave të shkencëtarëve të talentuar, jep një shans për të zgjidhur një numër të madh problemesh matematikore dhe praktike. Dhe studimi i sekuencave numerike ka qenë problemi kryesor i zgjidhur nga analiza matematikore që nga fillimi i saj.
