Teoria e probabilitetit funksionon me ndryshore të rastësishme. Për variablat e rastësishëm, ekzistojnë të ashtuquajturat ligje të shpërndarjes. Një ligj i tillë përshkruan variablin e tij të rastësishëm me plotësi absolute. Sidoqoftë, kur punoni me grupe reale të ndryshoreve të rastësishme, shpesh është shumë e vështirë të përcaktohet menjëherë ligji i shpërndarjes së tyre dhe kufizohet në një grup të caktuar karakteristikash numerike. Për shembull, llogaritja e mesatares dhe variancës së një ndryshoreje të rastësishme është shpesh shumë e dobishme.
Pse nevojitet
Nëse thelbi i pritjes matematikore është afër vlerës mesatare të sasisë, atëherë në këtë rast dispersioni tregon se si vlerat e sasisë sonë shpërndahen rreth kësaj pritshmërie matematikore. Për shembull, nëse kemi matur koeficientin e inteligjencës së një grupi njerëzish dhe duam të ekzaminojmë rezultatet e matjes (kampion), pritshmëria matematikore do të tregojë vlerën mesatare të përafërt të koeficientit të inteligjencës për këtë grup njerëzish dhe nëse llogarisim variancën e mostrës, do të zbulojmë se si grupohen rezultatet rreth pritshmërisë matematikore: një grup afër tij (ndryshim i vogël në IQ) ose më i barabartë në të gjithë gamën nga rezultati minimal në maksimum (variacion i madh, dhe diku në mes - pritshmëri matematikore).
Për të llogaritur variancën, ju nevojitet një karakteristikë e re e një ndryshoreje të rastësishme - devijimi i vlerës nga ajo matematikoreduke pritur.
Devijim
Për të kuptuar se si të llogaritni variancën, së pari duhet të kuptoni devijimin. Përkufizimi i tij është ndryshimi midis vlerës që merr një ndryshore e rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore. Përafërsisht, për të kuptuar se si një vlerë "shpërndahet", duhet të shikoni se si shpërndahet devijimi i saj. Kjo do të thotë, ne zëvendësojmë vlerën e vlerës me vlerën e devijimit të saj nga mat. pritshmëritë dhe eksploroni ligjin e tij të shpërndarjes.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete, domethënë një ndryshoreje të rastësishme që merr vlera individuale, shkruhet në formën e një tabele, ku vlera e vlerës lidhet me probabilitetin e shfaqjes së saj. Më pas, në ligjin e shpërndarjes së devijimit, ndryshorja e rastësishme do të zëvendësohet nga formula e saj, në të cilën ka një vlerë (e cila ka ruajtur probabilitetin e saj) dhe mat e saj. duke pritur.
Vetitë e ligjit të shpërndarjes së devijimit të një ndryshoreje të rastit
Ne kemi shkruar ligjin e shpërndarjes për devijimin e një ndryshoreje të rastësishme. Prej tij, deri më tani mund të nxjerrim vetëm një karakteristikë të tillë si pritshmëria matematikore. Për lehtësi, është më mirë të merret një shembull numerik.
Le të ketë një ligj të shpërndarjes së disa ndryshoreve të rastësishme: X - vlera, p - probabiliteti.
Ne llogarisim pritshmërinë matematikore duke përdorur formulën dhe menjëherë devijimin.
Vizatimi i një tabele të re të shpërndarjes së devijimeve.
Ne llogarisim pritshmërinë edhe këtu.
Rezulton zero. Ekziston vetëm një shembull, por do të jetë gjithmonë kështu: nuk është e vështirë ta vërtetosh këtë në rastin e përgjithshëm. Formula për pritshmërinë matematikore të devijimit mund të zbërthehet në diferencën midis pritjeve matematikore të një ndryshoreje të rastësishme dhe, pavarësisht sa e shtrembër mund të tingëllojë, pritshmërisë matematikore të mat. pritjet (rekursioni, megjithatë), të cilat janë të njëjta, prandaj diferenca e tyre do të jetë zero.
Kjo pritet: në fund të fundit, devijimet në shenjë mund të jenë pozitive dhe negative, prandaj mesatarisht ato duhet të japin zero.
Si të llogaritet varianca e një rasti diskrete. sasi
Nëse mat. është e kotë të llogaritësh pritshmërinë e devijimit, duhet të kërkosh diçka tjetër. Ju thjesht mund të merrni vlerat absolute të devijimeve (modulo); por me modulet, gjithçka nuk është aq e thjeshtë, kështu që devijimet janë në katror dhe më pas llogaritet pritshmëria e tyre matematikore. Në fakt, kjo është ajo që nënkuptohet kur ata flasin për mënyrën e llogaritjes së variancës.
Dmth, marrim devijimet, i vendosim në katror dhe bëjmë një tabelë të devijimeve në katror dhe probabiliteteve që korrespondojnë me ndryshore të rastit. Ky është një ligj i ri i shpërndarjes. Për të llogaritur pritshmërinë matematikore, duhet të shtoni prodhimet e katrorit të devijimit dhe probabilitetit.
Formulë më e lehtë
Megjithatë, artikulli filloi me faktin se ligji i shpërndarjes së ndryshores fillestare të rastit është shpesh i panjohur. Kështu që nevojitet diçka më e lehtë. Në të vërtetë, ekziston një formulë tjetër që ju lejon të llogaritni variancën e mostrës duke përdorur vetëm mat.duke pritur:
Dispersion - ndryshimi midis dyshekut. pritshmëria e katrorit të një ndryshoreje të rastësishme dhe, anasjelltas, katrori i shtresës së saj. duke pritur.
Ka një provë për këtë, por nuk ka kuptim ta paraqesim këtu, pasi nuk ka vlerë praktike (dhe duhet vetëm të llogarisim variancën).
Si të llogaritet varianca e një ndryshoreje të rastësishme në seritë variacionale
Në statistikat reale, është e pamundur të pasqyrohen të gjitha variablat e rastësishëm (sepse, përafërsisht, ka, si rregull, një numër të pafund të tyre). Prandaj, ajo që hyn në studim është i ashtuquajturi kampion përfaqësues nga një popullatë e përgjithshme e përgjithshme. Dhe, meqenëse karakteristikat numerike të çdo ndryshoreje të rastësishme nga një popullatë e tillë e përgjithshme llogariten nga kampioni, ato quhen kampion: mesatarja e mostrës, përkatësisht varianca e mostrës. Mund ta llogarisni në të njëjtën mënyrë si ajo e zakonshme (nëpërmjet devijimeve në katror).
Megjithatë, një shpërndarje e tillë quhet e njëanshme. Formula e variancës së paanshme duket pak më ndryshe. Zakonisht kërkohet për ta llogaritur atë.
Shtesë e vogël
Një tjetër karakteristikë numerike lidhet me dispersionin. Shërben gjithashtu për të vlerësuar se si variabla e rastësishme shpërndahet rreth shtresës së saj. pritjet. Nuk ka shumë ndryshim në mënyrën e llogaritjes së variancës dhe devijimit standard: kjo e fundit është rrënja katrore e së parës.
