Kur studiohen vetitë e një ekuacioni kuadratik, u vendos një kufizim - për një diskriminues më të vogël se zero, nuk ka zgjidhje. Menjëherë u përcaktua se bëhet fjalë për një grup numrash realë. Mendja kureshtare e një matematikani do të interesohet - cili është sekreti që përmban klauzola për vlerat reale?
Me kalimin e kohës, matematikanët prezantuan konceptin e numrave kompleks, ku vlera e kushtëzuar e rrënjës së dytë të minus një merret si njësi.
Sfondi historik
Teoria matematikore zhvillohet në mënyrë sekuenciale, nga e thjeshta në komplekse. Le të kuptojmë se si lindi koncepti i quajtur "numër kompleks" dhe pse është i nevojshëm.
Që nga kohra të lashta, baza e matematikës ishte llogaria e zakonshme. Studiuesit dinin vetëm grupin natyror të vlerave. Mbledhja dhe zbritja ishin të thjeshta. Ndërsa marrëdhëniet ekonomike u bënë më komplekse, shumëzimi filloi të përdorej në vend që të shtonin të njëjtat vlera. Ka një operacion të kundërt tëshumëzim - pjesëtim.
Koncepti i një numri natyror kufizoi përdorimin e veprimeve aritmetike. Është e pamundur të zgjidhen të gjitha problemet e ndarjes në grupin e vlerave të numrave të plotë. Puna me thyesa çoi fillimisht në konceptin e vlerave racionale, dhe më pas në vlerat irracionale. Nëse për racionalen është e mundur të tregohet vendndodhja e saktë e pikës në vijë, atëherë për irracionalen është e pamundur të tregohet një pikë e tillë. Ju mund të përafroni vetëm intervalin. Bashkimi i numrave racionalë dhe irracionalë formoi një grup real, i cili mund të përfaqësohet si një vijë e caktuar me një shkallë të caktuar. Çdo hap përgjatë vijës është një numër natyror dhe midis tyre ka vlera racionale dhe irracionale.
Epoka e matematikës teorike ka filluar. Zhvillimi i astronomisë, mekanikës, fizikës kërkonte zgjidhjen e ekuacioneve gjithnjë e më komplekse. Në përgjithësi, rrënjët e ekuacionit kuadratik u gjetën. Kur zgjidhën një polinom kub më kompleks, shkencëtarët hasën në një kontradiktë. Koncepti i një rrënjë kubike nga një negativ ka kuptim, por për një rrënjë katrore, merret pasiguria. Për më tepër, ekuacioni kuadratik është vetëm një rast i veçantë i atij kubik.
Në vitin 1545, italiani J. Cardano propozoi të prezantohej koncepti i një numri imagjinar.
Ky numër është rrënja e dytë e minus një. Termi numër kompleks u formua përfundimisht vetëm treqind vjet më vonë, në veprat e matematikanit të famshëm Gauss. Ai propozoi zgjerimin zyrtar të të gjitha ligjeve të algjebrës në numrin imagjinar. Linja e vërtetë është zgjeruar nëaeroplanët. Bota është më e madhe.
Konceptet themelore
Kujtoni një numër funksionesh që kanë kufizime në grupin real:
- y=harksin(x), i përcaktuar midis negativit dhe pozitivit 1.
- y=ln(x), logaritmi dhjetor ka kuptim me argumente pozitive.
- rrënja katrore y=√x, e llogaritur vetëm për x ≧ 0.
Duke treguar i=√(-1), ne prezantojmë një koncept të tillë si një numër imagjinar, kjo do të heqë të gjitha kufizimet nga fusha e përkufizimit të funksioneve të mësipërme. Shprehjet si y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) kanë kuptim në një hapësirë të numrave kompleksë.
Forma algjebrike mund të shkruhet si shprehje z=x + i×y në bashkësinë e vlerave reale x dhe y, dhe i2 =-1.
Koncepti i ri heq të gjitha kufizimet në përdorimin e çdo funksioni algjebrik dhe i ngjan një grafiku të një vije të drejtë në koordinatat e vlerave reale dhe imagjinare.
Aeroplan kompleks
Forma gjeometrike e numrave kompleks na lejon vizualisht të përfaqësojmë shumë nga vetitë e tyre. Në boshtin Re(z) shënojmë vlerat reale x, në Im(z) - vlerat imagjinare të y, pastaj pika z në plan do të shfaq vlerën komplekse të kërkuar.
Përkufizime:
- Re(z) - bosht real.
- Im(z) - nënkupton boshtin imagjinar.
- z - pika e kushtëzuar e një numri kompleks.
- Thirret vlera numerike e gjatësisë së vektorit nga zero në zmodul.
- Akset reale dhe imagjinare e ndajnë rrafshin në katërsh. Me një vlerë pozitive të koordinatave - tremujori I. Kur argumenti i boshtit real është më i vogël se 0, dhe boshti imagjinar është më i madh se tremujori 0 - II. Kur koordinatat janë negative - tremujori III. Tremujori i fundit, i katërt përmban shumë vlera reale pozitive dhe vlera imagjinare negative.
Kështu, në një plan me vlera të koordinatave x dhe y, gjithmonë mund të vizualizohet një pikë e një numri kompleks. Personazhi i prezantohet për të ndarë pjesën reale nga ajo imagjinare.
Properties
- Kur vlera e argumentit imagjinar është zero, marrim vetëm një numër (z=x), i cili ndodhet në boshtin real dhe i përket grupit real.
- Rast i veçantë kur vlera e argumentit real bëhet zero, shprehja z=i×y korrespondon me vendndodhjen e pikës në boshtin imagjinar.
- Forma e përgjithshme e z=x + i×y do të jetë për vlera jo zero të argumenteve. Tregon vendndodhjen e pikës që karakterizon numrin kompleks në një nga tremujorët.
Shënim trigonometrik
Kujtoni sistemin e koordinatave polar dhe përkufizimin e funksioneve trigonometrike sin dhe cos. Është e qartë se me ndihmën e këtyre funksioneve është e mundur të përshkruhet vendndodhja e çdo pike në aeroplan. Për ta bërë këtë, mjafton të dihet gjatësia e rrezes polare dhe këndi i prirjes ndaj boshtit real.
Përkufizim. Një hyrje e formës ∣z ∣ e shumëzuar me shumën e funksioneve trigonometrike cos(ϴ) dhe pjesës imagjinare i ×sin(ϴ) quhet numër kompleks trigonometrik. Këtu përcaktimi është këndi i prirjes ndaj boshtit real
ϴ=arg(z) dhe r=∣z∣, gjatësia e rrezes.
Nga përkufizimi dhe vetitë e funksioneve trigonometrike, vijon një formulë shumë e rëndësishme Moivre:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Duke përdorur këtë formulë, është e përshtatshme të zgjidhen shumë sisteme ekuacionesh që përmbajnë funksione trigonometrike. Sidomos kur lind problemi i ngritjes në pushtet.
Modul dhe faza
Për të përfunduar përshkrimin e një grupi kompleks, ne propozojmë dy përkufizime të rëndësishme.
Duke ditur teoremën e Pitagorës, është e lehtë të llogaritet gjatësia e rrezes në sistemin e koordinatave polar.
r=∣z∣=√(x2 + y2), një shënim i tillë në një hapësirë komplekse quhet " modul" dhe karakterizon distancën nga 0 në një pikë në aeroplan.
Këndi i prirjes së rrezes komplekse ndaj vijës reale ϴ zakonisht quhet faza.
Përkufizimi tregon se pjesët reale dhe imagjinare përshkruhen duke përdorur funksione ciklike. Përkatësisht:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
E kundërta, faza lidhet me vlerat algjebrike nëpërmjet formulës:
ϴ=arktan(x / y) + µ, korrigjimi µ futet për të marrë parasysh periodicitetin e funksioneve gjeometrike.
Formula Euler
Matematikanët shpesh përdorin formën eksponenciale. Numrat kompleks të planit shkruhen si shprehje
z=r × ei×ϴ , që rrjedh nga formula e Euler.
Ky rekord përdoret gjerësisht për llogaritjen praktike të sasive fizike. Forma e prezantimit në formëNumrat kompleksë eksponencialë janë veçanërisht të përshtatshëm për llogaritjet inxhinierike, ku bëhet i nevojshëm llogaritja e qarqeve me rryma sinusoidale dhe është e nevojshme të dihet vlera e integraleve të funksioneve me një periudhë të caktuar. Llogaritjet në vetvete shërbejnë si një mjet në projektimin e makinerive dhe mekanizmave të ndryshëm.
Përcaktoni operacionet
Siç është vërejtur tashmë, të gjitha ligjet algjebrike të punës me funksionet themelore matematikore zbatohen për numrat kompleks.
Operacioni i shumës
Kur shtohen vlera komplekse, shtohen edhe pjesët e tyre reale dhe imagjinare.
z=z1 + z2 ku z1 dhe z2 - numra kompleks të përgjithshëm. Duke transformuar shprehjen, pasi hapim kllapat dhe thjeshtojmë shënimin, marrim argumentin real x=(x1 + x2), argumentin imagjinar y=(y 1 + y2).
Në grafik duket si mbledhja e dy vektorëve, sipas rregullit të mirënjohur të paralelogramit.
Operacioni i zbritjes
Konsiderohet si një rast i veçantë i mbledhjes, kur një numër është pozitiv, tjetri është negativ, domethënë ndodhet në tremujorin e pasqyrës. Shënimi algjebrik duket si ndryshimi midis pjesëve reale dhe imagjinare.
z=z1 - z2, ose, duke marrë parasysh vlerat e argumenteve, në mënyrë të ngjashme me shtimin operacion, marrim për vlerat reale x=(x1 - x2) dhe imagjinare y=(y1 - y2).
Shumëzimi në planin kompleks
Duke përdorur rregullat për të punuar me polinome, nxjerrim formulënpër të zgjidhur numrat kompleks.
Duke ndjekur rregullat e përgjithshme algjebrike z=z1×z2, përshkruani çdo argument dhe renditni të ngjashëm. Pjesët reale dhe imagjinare mund të shkruhen kështu:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Duket më bukur nëse përdorim numra komplekse eksponencialë.
Shprehja duket kështu: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Më tej thjesht, modulet shumëzohen dhe fazat shtohen.
Divizion
Kur e konsiderojmë veprimin e pjesëtimit si invers të shumëzimit, marrim një shprehje të thjeshtë në shënimin eksponencial. Pjestimi i vlerës z1 me z2 është rezultat i ndarjes së moduleve të tyre dhe diferencës së fazës. Formalisht, kur përdoret forma eksponenciale e numrave kompleksë, duket kështu:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Në formën e shënimit algjebrik, operacioni i pjesëtimit të numrave të planit kompleks shkruhet pak më i ndërlikuar:
z=z1 / z2.
Përshkrimi i argumenteve dhe kryerja e transformimeve polinomiale, është e lehtë të merren vlerax=x1 × x2 + y1 × y2, përkatësisht y=x2 × y1 - x1 × y2 , megjithatë, brenda hapësirës së përshkruar, kjo shprehje ka kuptim nëse z2 ≠ 0.
Nxjerrja e rrënjës
Të gjitha sa më sipër mund të zbatohen kur përcaktohen funksione më komplekse algjebrike - ngritja në çdo fuqi dhe anasjelltas me të - nxjerrja e rrënjës.
Duke përdorur konceptin e përgjithshëm të ngritjes në fuqinë n, marrim përkufizimin:
zn =(r × eiϴ).
Duke përdorur vetitë e zakonshme, rishkruajeni si:
zn =rn × eiϴ.
Kemi një formulë të thjeshtë për ngritjen e një numri kompleks në një fuqi.
Nga përkufizimi i gradës marrim një pasojë shumë të rëndësishme. Një fuqi çift i njësisë imagjinare është gjithmonë 1. Çdo fuqi teke e njësisë imagjinare është gjithmonë -1.
Tani le të studiojmë funksionin e anasjelltë - nxjerrja e rrënjës.
Për lehtësinë e shënimit, le të marrim n=2. Rrënja katrore w e vlerës komplekse z në planin kompleks C konsiderohet të jetë shprehja z=±, e vlefshme për çdo argument real më të madh ose të barabartë me zero. Për w ≦ 0, nuk ka zgjidhje.
Le të shohim ekuacionin kuadratik më të thjeshtë z2 =1. Duke përdorur formulat e numrave kompleks, rishkruani r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Mund të shihet nga regjistrimi se r2 =1 dhe ϴ=0, prandaj, ne kemi një zgjidhje unike të barabartë me 1. Por kjo bie ndesh me nocionin se z=-1 gjithashtu i përshtatet përkufizimit të rrënjës katrore.
Le të kuptojmë se çfarë nuk marrim parasysh. Nëse kujtojmë shënimin trigonometrik, atëherë rivendosim deklaratën - me një ndryshim periodik në fazën ϴ, numri kompleks nuk ndryshon. Le të tregojmë p vlerën e periudhës, atëherë kemi r2 × ei2ϴ =ei(0+p), prej nga 2ϴ=0 + p, ose ϴ=p / 2. Prandaj, ei0 =1 dhe eip/2 =-1. Ne morëm zgjidhjen e dytë, e cila korrespondon me kuptimin e përgjithshëm të rrënjës katrore.
Pra, për të gjetur një rrënjë arbitrare të një numri kompleks, ne do të ndjekim procedurën.
- Shkruani formën eksponenciale w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k është një numër i plotë arbitrar.
- Numri i dëshiruar përfaqësohet gjithashtu në formën Euler z=r × eiϴ.
- Përdor përkufizimin e përgjithshëm të funksionit të nxjerrjes së rrënjës r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Nga vetitë e përgjithshme të barazisë së moduleve dhe argumenteve, shkruajmë rn =∣w∣ dhe nϴ=arg (w) + p×k.
- Regjistrimi përfundimtar i rrënjës së një numri kompleks përshkruhet me formulën z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Shënim. Vlera e ∣w∣, sipas përkufizimit,është një numër real pozitiv, kështu që rrënja e çdo shkalle ka kuptim.
Fusha dhe konjugimi
Si përfundim, japim dy përkufizime të rëndësishme që kanë pak rëndësi për zgjidhjen e problemeve të aplikuara me numra kompleks, por janë thelbësore për zhvillimin e mëtejshëm të teorisë matematikore.
Shprehjet për mbledhje dhe shumëzim thuhet se formojnë një fushë nëse plotësojnë aksiomat për çdo element të planit kompleks z:
- Shuma komplekse nuk ndryshon nga ndryshimi i vendeve të termave komplekse.
- Pohimi është i vërtetë - në një shprehje komplekse, çdo shumë e dy numrave mund të zëvendësohet me vlerën e tyre.
- Ekziston një vlerë neutrale 0 për të cilën z + 0=0 + z=z është e vërtetë.
- Për çdo z ka një të kundërt - z, mbledhja e së cilës jep zero.
- Kur ndërroni vendet e faktorëve kompleks, produkti kompleks nuk ndryshon.
- Shumëzimi i çdo dy numrash mund të zëvendësohet me vlerën e tyre.
- Ekziston një vlerë neutrale 1, shumëzimi me të cilin nuk ndryshon numrin kompleks.
- Për çdo z ≠ 0, ka një invers të z-1, i cili shumëzohet me 1.
- Shumëzimi i shumës së dy numrave me një të tretën është i barabartë me veprimin e shumëzimit të secilit prej tyre me këtë numër dhe mbledhjes së rezultateve.
- 0 ≠ 1.
Numrat z1 =x + i×y dhe z2 =x - i×y quhen të konjuguar.
Teorema. Për konjugimin, pohimi është i vërtetë:
- Konjugimi i shumës është i barabartë me shumën e elementeve të konjuguar.
- Konjugati i produktit ështëprodukt i konjugimeve.
- Konjugimi i konjugimit është i barabartë me vetë numrin.
Në algjebër të përgjithshme, veti të tilla quhen automorfizma fushore.
Shembuj
Duke ndjekur rregullat dhe formulat e dhëna të numrave kompleks, ju mund të veproni lehtësisht me to.
Le të shqyrtojmë shembujt më të thjeshtë.
Problemi 1. Duke përdorur ekuacionin 3y +5 x i=15 - 7i, përcaktoni x dhe y.
Vendim. Kujtoni përkufizimin e barazive komplekse, pastaj 3y=15, 5x=-7. Prandaj, x=-7 / 5, y=5.
Detyra 2. Llogaritni vlerat 2 + i28 dhe 1 + i135.
Vendim. Natyrisht, 28 është një numër çift, nga pasoja e përcaktimit të një numri kompleks në fuqi kemi i28 =1, që do të thotë se shprehja 2 + i 28 =3. Vlera e dytë, i135 =-1, pastaj 1 + i135 =0.
Detyra 3. Llogaritni prodhimin e vlerave 2 + 5i dhe 4 + 3i.
Vendim. Nga vetitë e përgjithshme të shumëzimit të numrave kompleks fitojmë (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Vlera e re do të jetë -7 + 26i.
Detyra 4. Llogaritni rrënjët e ekuacionit z3 =-i.
Vendim. Ka disa mënyra për të gjetur një numër kompleks. Le të shqyrtojmë një nga të mundshmet. Sipas përkufizimit, ∣ - i∣=1, faza për -i është -p / 4. Ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si r3ei3ϴ =e-p/4+pk, nga ku z=e-p / 12 + pk/3, për çdo numër të plotë k.
Grupi i zgjidhjeve ka formën (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Pse na duhen numrat kompleks
Historia njeh shumë shembuj kur shkencëtarët, duke punuar në një teori, as që mendojnë për zbatimin praktik të rezultateve të tyre. Matematika është, para së gjithash, një lojë e mendjes, një respektim i rreptë i marrëdhënieve shkak-pasojë. Pothuajse të gjitha ndërtimet matematikore reduktohen në zgjidhjen e ekuacioneve integrale dhe diferenciale, dhe ato, nga ana tjetër, me njëfarë përafrimi, zgjidhen duke gjetur rrënjët e polinomeve. Këtu së pari ndeshemi me paradoksin e numrave imagjinarë.
Shkencëtarët natyralistë, duke zgjidhur probleme plotësisht praktike, duke iu drejtuar zgjidhjeve të ekuacioneve të ndryshme, zbulojnë paradokse matematikore. Interpretimi i këtyre paradokseve çon në zbulime absolutisht të mahnitshme. Natyra e dyfishtë e valëve elektromagnetike është një shembull i tillë. Numrat kompleks luajnë një rol vendimtar në kuptimin e vetive të tyre.
Kjo, nga ana tjetër, ka gjetur zbatim praktik në optikë, radio elektronikë, energji dhe shumë fusha të tjera teknologjike. Një shembull tjetër, shumë më i vështirë për t'u kuptuar fenomenet fizike. Antimateria ishte parashikuar në majë të një stilolapsi. Dhe vetëm shumë vite më vonë, nisin përpjekjet për ta sintetizuar atë fizikisht.
Mos mendoni se vetëm në fizikë ka situata të tilla. Jo më pak zbulime interesante bëhen në jetën e egër, në sintezën e makromolekulave, gjatë studimit të inteligjencës artificiale. Dhe kjo është e gjitha falëzgjerimi i vetëdijes sonë, duke u larguar nga mbledhja dhe zbritja e thjeshtë e vlerave natyrore.
