Një koncept i rëndësishëm në matematikë është një funksion. Me ndihmën e tij, ju mund të vizualizoni shumë procese që ndodhin në natyrë, të pasqyroni marrëdhëniet midis sasive të caktuara duke përdorur formula, tabela dhe imazhe në një grafik. Një shembull është varësia e presionit të një shtrese të lëngshme në një trup nga thellësia e zhytjes, nxitimi - nga veprimi i një force të caktuar në një objekt, rritja e temperaturës - nga energjia e transmetuar dhe shumë procese të tjera. Studimi i një funksioni përfshin ndërtimin e një grafiku, sqarimin e vetive të tij, shtrirjen dhe vlerat, intervalet e rritjes dhe uljes. Një pikë e rëndësishme në këtë proces është gjetja e pikave ekstreme. Rreth asaj se si ta bëjmë siç duhet dhe biseda do të vazhdojë.
Rreth vetë konceptit në një shembull specifik
Në mjekësi, vizatimi i një grafiku funksioni mund të tregojë për përparimin e një sëmundjeje në trupin e një pacienti, duke pasqyruar vizualisht gjendjen e tij. Le të supozojmë se koha në ditë është paraqitur përgjatë boshtit OX, dhe temperatura e trupit të njeriut është paraqitur përgjatë boshtit OY. Figura tregon qartë se si ky tregues rritet ndjeshëm, dhepastaj bie. Është gjithashtu e lehtë të vërehen pika njëjëse që pasqyrojnë momentet kur funksioni, pasi është rritur më parë, fillon të ulet dhe anasjelltas. Këto janë pikat ekstreme, pra vlerat kritike (maksimale dhe minimale) në këtë rast të temperaturës së pacientit, pas së cilës ndodhin ndryshime në gjendjen e tij.
Këndi i animit
Është e lehtë të përcaktohet nga figura se si ndryshon derivati i një funksioni. Nëse vijat e drejta të grafikut rriten me kalimin e kohës, atëherë ai është pozitiv. Dhe sa më të pjerrëta të jenë, aq më e madhe është vlera e derivatit, pasi këndi i prirjes rritet. Gjatë periudhave të uljes, kjo vlerë merr vlera negative, duke u kthyer në zero në pikat ekstreme, dhe grafiku i derivatit në rastin e fundit është tërhequr paralel me boshtin OX.
Çdo proces tjetër duhet të trajtohet në të njëjtën mënyrë. Por gjëja më e mirë në lidhje me këtë koncept mund të tregojë lëvizjen e trupave të ndryshëm, të treguar qartë në grafikë.
Lëvizja
Supozoni se një objekt lëviz në një vijë të drejtë, duke fituar shpejtësi në mënyrë të barabartë. Gjatë kësaj periudhe, ndryshimi i koordinatave të trupit paraqet grafikisht një kurbë të caktuar, të cilën një matematikan do ta quante degë e një parabole. Në të njëjtën kohë, funksioni po rritet vazhdimisht, pasi treguesit e koordinatave ndryshojnë më shpejt dhe më shpejt me çdo sekondë. Grafiku i shpejtësisë tregon sjelljen e derivatit, vlera e të cilit gjithashtu rritet. Kjo do të thotë se lëvizja nuk ka pika kritike.
Do të kishte vazhduar pafundësisht. Por nëse trupi papritmas vendos të ngadalësojë, ndaloni dhe filloni të lëvizni në një tjetërdrejtim? Në këtë rast, treguesit e koordinatave do të fillojnë të ulen. Dhe funksioni do të kalojë vlerën kritike dhe do të kthehet nga rritëse në zvogëluese.
Në këtë shembull, ju mund të kuptoni përsëri se pikat ekstreme në grafikun e funksionit shfaqen në momentet kur ai pushon së qeni monoton.
Kuptimi fizik i derivatit
Përshkruar më parë tregoi qartë se derivati është në thelb shkalla e ndryshimit të funksionit. Ky përsosje përmban kuptimin e tij fizik. Pikat ekstreme janë zona kritike në grafik. Është e mundur të zbulohen dhe zbulohen ato duke llogaritur vlerën e derivatit, e cila rezulton të jetë e barabartë me zero.
Ka një shenjë tjetër, e cila është kusht i mjaftueshëm për një ekstrem. Derivati në vende të tilla të lakimit ndryshon shenjën e tij: nga "+" në "-" në rajonin e maksimumit dhe nga "-" në "+" në rajonin e minimumit.
Lëvizja nën ndikimin e gravitetit
Le të imagjinojmë një situatë tjetër. Fëmijët, duke luajtur topin, e hodhën në atë mënyrë që ai filloi të lëvizte në një kënd në horizont. Në momentin fillestar, shpejtësia e këtij objekti ishte më e madhja, por nën ndikimin e gravitetit ajo filloi të zvogëlohej dhe me çdo sekondë me të njëjtën vlerë, e barabartë me afërsisht 9,8 m/s2. Kjo është vlera e nxitimit që ndodh nën ndikimin e gravitetit të tokës gjatë rënies së lirë. Në Hënë, ajo do të ishte rreth gjashtë herë më e vogël.
Grafiku që përshkruan lëvizjen e trupit është një parabolë me degë,poshtë. Si të gjeni pika ekstreme? Në këtë rast, kjo është kulmi i funksionit, ku shpejtësia e trupit (topit) merr një vlerë zero. Derivati i funksionit bëhet zero. Në këtë rast, drejtimi, dhe rrjedhimisht vlera e shpejtësisë, ndryshon në të kundërtën. Trupi fluturon poshtë çdo sekondë gjithnjë e më shpejt dhe përshpejtohet me të njëjtën sasi - 9,8 m/s2.
Derivati i dytë
Në rastin e mëparshëm, grafiku i modulit të shpejtësisë vizatohet si vijë e drejtë. Kjo linjë fillimisht drejtohet poshtë, pasi vlera e kësaj sasie është vazhdimisht në rënie. Pasi të keni arritur zero në një nga pikat e kohës, atëherë treguesit e kësaj vlere fillojnë të rriten, dhe drejtimi i paraqitjes grafike të modulit të shpejtësisë ndryshon në mënyrë dramatike. Linja tani është duke u drejtuar lart.
Shpejtësia, duke qenë derivati kohor i koordinatës, ka gjithashtu një pikë kritike. Në këtë rajon, funksioni, fillimisht në rënie, fillon të rritet. Ky është vendi i pikës ekstreme të derivatit të funksionit. Në këtë rast, pjerrësia e tangjentes bëhet zero. Dhe nxitimi, duke qenë derivati i dytë i koordinatës në lidhje me kohën, ndryshon shenjën nga "-" në "+". Dhe lëvizja nga njëtrajtësisht e ngadalshme përshpejtohet në mënyrë të njëtrajtshme.
Tabela e nxitimit
Tani shqyrtoni katër fotografi. Secila prej tyre shfaq një grafik të ndryshimit me kalimin e kohës të një sasie të tillë fizike si nxitimi. Në rastin e "A", vlera e tij mbetet pozitive dhe konstante. Kjo do të thotë se shpejtësia e trupit, si koordinata e tij, është vazhdimisht në rritje. Nese njeimagjinoni që objekti do të lëvizë në këtë mënyrë për një kohë pafundësisht të gjatë, funksioni që pasqyron varësinë e koordinatës nga koha do të rezultojë të jetë vazhdimisht në rritje. Nga kjo rezulton se nuk ka rajone kritike. Nuk ka gjithashtu pika ekstreme në grafikun e derivatit, domethënë, shpejtësia që ndryshon në mënyrë lineare.
E njëjta gjë vlen edhe për rastin "B" me një nxitim pozitiv dhe vazhdimisht në rritje. Vërtetë, komplotet për koordinatat dhe shpejtësinë do të jenë disi më të komplikuara këtu.
Kur nxitimi tenton në zero
Duke parë foton "B", mund të shihni një pamje krejtësisht të ndryshme që karakterizon lëvizjen e trupit. Shpejtësia e saj do të përshkruhet grafikisht si një parabolë me degë të drejtuara poshtë. Nëse vazhdojmë vijën që përshkruan ndryshimin e nxitimit derisa të kryqëzohet me boshtin OX dhe më tej, atëherë mund të imagjinojmë që deri në këtë vlerë kritike, ku nxitimi rezulton të jetë i barabartë me zero, shpejtësia e objektit do të rritet. gjithnjë e më ngadalë. Pika ekstreme e derivatit të funksionit të koordinatave do të jetë pikërisht në majë të parabolës, pas së cilës trupi do të ndryshojë rrënjësisht natyrën e lëvizjes dhe do të fillojë të lëvizë në drejtimin tjetër.
Në rastin e fundit, "G", natyra e lëvizjes nuk mund të përcaktohet saktësisht. Këtu dimë vetëm se nuk ka përshpejtim për një periudhë në shqyrtim. Kjo do të thotë se objekti mund të qëndrojë në vend ose lëvizja ndodh me një shpejtësi konstante.
Detyrë e mbledhjes së koordinatave
Le të kalojmë te detyrat që gjenden shpesh në studimin e algjebrës në shkollë dhe që ofrohen përpërgatitje për provim. Figura më poshtë tregon grafikun e funksionit. Kërkohet të llogaritet shuma e pikave ekstreme.
Le ta bëjmë këtë për boshtin y duke përcaktuar koordinatat e rajoneve kritike ku vërehet një ndryshim në karakteristikat e funksionit. E thënë thjesht, gjejmë vlerat përgjatë boshtit x për pikat e lakimit dhe më pas vazhdojmë të shtojmë termat që rezultojnë. Sipas grafikut, është e qartë se ato marrin këto vlera: -8; -7; -5; -3; -2; një; 3. Kjo shton deri në -21, që është përgjigja.
Zgjidhja optimale
Nuk është e nevojshme të shpjegohet se sa e rëndësishme mund të jetë zgjedhja e zgjidhjes optimale në kryerjen e detyrave praktike. Në fund të fundit, ka shumë mënyra për të arritur qëllimin, dhe mënyra më e mirë për të dalë, si rregull, është vetëm një. Kjo është jashtëzakonisht e nevojshme, për shembull, kur projektohen anije, anije kozmike dhe avionë, struktura arkitekturore për të gjetur formën optimale të këtyre objekteve të krijuara nga njeriu.
Shpejtësia e automjeteve varet kryesisht nga minimizimi kompetent i rezistencës që ata përjetojnë kur lëvizin nëpër ujë dhe ajër, nga mbingarkesat që lindin nën ndikimin e forcave gravitacionale dhe shumë treguesve të tjerë. Një anije në det ka nevojë për cilësi të tilla si stabiliteti gjatë një stuhie; për një anije lumi, një tërheqje minimale është e rëndësishme. Kur llogaritni modelin optimal, pikat ekstreme në grafik mund të japin vizualisht një ide të zgjidhjes më të mirë për një problem kompleks. Detyrat e këtij lloji janë shpeshzgjidhen në ekonomi, në fusha ekonomike, në shumë situata të tjera jetësore.
Nga historia e lashtë
Probleme ekstreme pushtuan edhe të urtët e lashtë. Shkencëtarët grekë zbuluan me sukses misterin e zonave dhe vëllimeve përmes llogaritjeve matematikore. Ata ishin të parët që kuptuan se në një plan me figura të ndryshme me të njëjtin perimetër, rrethi ka gjithmonë sipërfaqen më të madhe. Në mënyrë të ngjashme, një top është i pajisur me vëllimin maksimal midis objekteve të tjera në hapësirë me të njëjtën sipërfaqe. Personalitete të tilla të famshme si Arkimedi, Euklidi, Aristoteli, Apollonius iu përkushtuan zgjidhjes së problemeve të tilla. Heron pati sukses shumë mirë në gjetjen e pikave ekstreme, të cilët, pasi iu drejtuan llogaritjeve, ndërtuan pajisje gjeniale. Këto përfshinin makina automatike që lëviznin me avull, pompa dhe turbina që funksiononin sipas të njëjtit parim.
Ndërtimi i Kartagjenës
Ekziston një legjendë, komploti i së cilës bazohet në zgjidhjen e një prej problemeve ekstreme. Rezultati i qasjes së biznesit të demonstruar nga princesha fenikase, e cila iu drejtua të urtëve për ndihmë, ishte ndërtimi i Kartagjenës. Parcela e tokës për këtë qytet të lashtë dhe të famshëm iu dorëzua Didos (ky ishte emri i sundimtarit) nga udhëheqësi i një prej fiseve afrikane. Zona e ndarjes në fillim nuk i dukej shumë e madhe, pasi sipas kontratës duhej të mbulohej me një oksid. Por princesha urdhëroi ushtarët e saj ta prisnin në shirita të hollë dhe të bënin një rrip prej tyre. Doli të ishte aq e gjatë sa mbuloi sitin,ku futet i gjithë qyteti.
Origjina e llogaritjes
Dhe tani le të kalojmë nga kohët e lashta në një epokë të mëvonshme. Është interesante se në shekullin e 17-të, Kepleri u nxit të kuptonte themelet e analizës matematikore nga një takim me një shitës vere. Tregtari ishte aq i aftë për profesionin e tij, saqë mund të përcaktonte lehtësisht vëllimin e pijes në fuçi, thjesht duke ulur një tufë hekuri në të. Duke reflektuar për një kuriozitet të tillë, shkencëtari i famshëm arriti ta zgjidhte vetë këtë dilemë. Rezulton se kooperatorët e zotë të asaj kohe e kishin marrë përsipër të bënin enët në atë mënyrë që në një lartësi dhe rreze të caktuar të perimetrit të unazave të fiksimit të kishin një kapacitet maksimal.
Kjo ishte për arsye të Keplerit për reflektim të mëtejshëm. Bochars erdhi në zgjidhjen optimale me një kërkim të gjatë, gabime dhe përpjekje të reja, duke kaluar përvojën e tyre brez pas brezi. Por Kepler dëshironte të përshpejtonte procesin dhe të mësonte se si të bënte të njëjtën gjë në një kohë të shkurtër përmes llogaritjeve matematikore. Të gjitha zhvillimet e tij, të marra nga kolegët, u kthyen në teoremat tashmë të njohura të Fermatit dhe Njutonit - Leibniz.
Problemi i zonës maksimale
Le të imagjinojmë se kemi një tel me gjatësi 50 cm. Si të bëjmë prej tij një drejtkëndësh me sipërfaqen më të madhe?
Duke nisur një vendim, duhet të vazhdohet nga të vërtetat e thjeshta dhe të njohura. Është e qartë se perimetri i figurës sonë do të jetë 50 cm Ai gjithashtu përbëhet nga dyfishi i gjatësisë së të dy anëve. Kjo do të thotë se, duke e caktuar njërën prej tyre si "X", tjetra mund të shprehet si (25 - X).
Nga këtu marrimnjë zonë e barabartë me X (25 - X). Kjo shprehje mund të përfaqësohet si një funksion që merr shumë vlera. Zgjidhja e problemit kërkon gjetjen e maksimumit të tyre, që do të thotë se duhet të zbuloni pikat ekstreme.
Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e parë dhe e barazojmë me zero. Rezultati është një ekuacion i thjeshtë: 25 - 2X=0.
Nga ajo mësojmë se njëra nga anët X=12, 5.
Prandaj, një tjetër: 25 – 12, 5=12, 5.
Rezulton se zgjidhja e problemit do të jetë një katror me brinjë 12,5 cm.
Si të gjeni shpejtësinë maksimale
Le të shqyrtojmë një shembull tjetër. Imagjinoni që ekziston një trup, lëvizja drejtvizore e të cilit përshkruhet me ekuacionin S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, ku distanca udhëtuar shprehet në metra, dhe koha është në sekonda. Kërkohet të gjendet shpejtësia maksimale. Si ta bëjmë atë? Të shkarkuara gjeni shpejtësinë, domethënë derivatin e parë.
Marrim ekuacionin: V=- 3t2 + 18t – 24. Tani, për të zgjidhur problemin, përsëri duhet të gjejmë pikat ekstreme. Kjo duhet të bëhet në të njëjtën mënyrë si në detyrën e mëparshme. Gjeni derivatin e parë të shpejtësisë dhe barazoni atë me zero.
Marrim: - 6t + 18=0. Prandaj t=3 s. Kjo është koha kur shpejtësia e trupit merr një vlerë kritike. Të dhënat e marra i zëvendësojmë në ekuacionin e shpejtësisë dhe marrim: V=3 m/s.
Por si të kuptojmë se kjo është pikërisht shpejtësia maksimale, sepse pikat kritike të një funksioni mund të jenë vlerat maksimale ose minimale të tij? Për të kontrolluar, ju duhet të gjeni një të dytëderivat i shpejtësisë. Shprehet si numri 6 me shenjën minus. Kjo do të thotë se pika e gjetur është maksimumi. Dhe në rastin e një vlere pozitive të derivatit të dytë, do të kishte një minimum. Pra, zgjidhja e gjetur doli të jetë e saktë.
Detyrat e dhëna si shembull janë vetëm një pjesë e atyre që mund të zgjidhen duke qenë në gjendje të gjeni pikat ekstreme të një funksioni. Në fakt, ka shumë të tjera. Dhe një njohuri e tillë hap mundësi të pakufizuara për qytetërimin njerëzor.
