Në fjalën "pafundësi" çdo person ka asociacionet e tij. Shumë vizatojnë në imagjinatën e tyre detin që shkon përtej horizontit, ndërsa të tjerë kanë para syve një pamje të një qielli të pafund me yje. Matematikanët, të mësuar të veprojnë me numra, e imagjinojnë pafundësinë në një mënyrë krejtësisht të ndryshme. Për shumë shekuj ata janë përpjekur të gjejnë sasinë më të madhe fizike të nevojshme për matje. Një prej tyre është numri Graham. Sa zero ka në të dhe për çfarë përdoret, ky artikull do të tregojë.
Numër pafundësisht i madh
Në matematikë, ky është emri i një ndryshoreje të tillë x , nëse për çdo numër të dhënë pozitiv M mund të specifikohet një numër natyror N i tillë që për të gjithë numrat n më të madh se N pabarazia |x | > M. Megjithatë, jo, për shembull, numri i plotë Z mund të konsiderohet pafundësisht i madh, pasi do të jetë gjithmonë më i vogël se (Z + 1).
Disa fjalë për "gjigantët"
Numrat më të mëdhenj që kanë kuptim fizik konsiderohen të jenë:
- 1080. Ky numër, i cili zakonisht quhet quinquavigintillion, përdoret për të treguar numrin e përafërt të kuarkeve dhe leptoneve (grimcat më të vogla) në Univers.
- 1 Google. Një numër i tillë në sistemin dhjetor shkruhet si njësi me 100 zero. Sipas disa modeleve matematikore, nga koha e shpërthimit të madh deri në shpërthimin e vrimës së zezë më masive, duhet të kalojnë nga 1 deri në 1.5 vjet googol, pas së cilës universi ynë do të kalojë në fazën e fundit të ekzistencës së tij, d.m.th. supozojmë se ky numër ka një kuptim të caktuar fizik.
- 8, 5 x 10185. Konstanta e Planck është 1.616199 x 10 vështruese-35 vështruese, d.m.th. në shënimin dhjetor duket si 0.0000000000000000000000000000000616199 m. Ka rreth 1 gjatësi googol Planck në një inç. Është vlerësuar se rreth 8,5 x 10185 Gjatësitë e plankut mund të përshtaten në të gjithë universin tonë.
- 277 232 917 – 1. Ky është numri kryesor më i madh i njohur. Nëse shënimi i tij binar ka një formë mjaft kompakte, atëherë për ta përshkruar atë në formë dhjetore, do të marrë jo më pak se 13 milion karaktere. Ai u gjet në vitin 2017 si pjesë e një projekti për kërkimin e numrave Mersenne. Nëse entuziastët vazhdojnë të punojnë në këtë drejtim, atëherë në nivelin aktual të zhvillimit të teknologjisë kompjuterike, në të ardhmen e afërt nuk ka gjasa të jenë në gjendje të gjejnë një numër Mersenne një renditje me madhësi më të madhe se 277 232 917- 1, edhe pse e tillëfituesi me fat do të marrë 150,000 USD.
- Hugoplex. Këtu marrim vetëm 1 dhe shtojmë zero pas tij në shumën 1 googol. Ju mund ta shkruani këtë numër si 10^10^100. Është e pamundur të paraqitet në formë dhjetore, sepse nëse e gjithë hapësira e Universit është e mbushur me copa letre, në secilën prej të cilave 0 do të shkruhej me një madhësi fonti “Word” prej 10, atëherë në këtë rast vetëm gjysma e të gjitha 0 pas 1 do të merren për numrin googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Ky është një numër që tregon numrin e viteve pas të cilave, sipas teoremës së Poincare-së, Universi ynë, si rezultat i luhatjeve kuantike të rastësishme, do të kthehet në një gjendje afër ditës së sotme.
Si u krijuan numrat e Graham
Në vitin 1977, popullarizuesi i mirënjohur i shkencës Martin Gardner botoi një artikull në Scientific American në lidhje me provën e Graham për një nga problemet e teorisë së Ramse. Në të, ai e quajti kufirin e vendosur nga shkencëtari numrin më të madh të përdorur ndonjëherë në arsyetimet serioze matematikore.
Kush është Ronald Lewis Graham
Shkencëtari, tani në të 80-at, ka lindur në Kaliforni. Në vitin 1962, ai mori një doktoraturë në matematikë nga Universiteti i Berklit. Ai punoi në Bell Labs për 37 vjet dhe më vonë u transferua në AT&T Labs. Shkencëtari bashkëpunoi në mënyrë aktive me një nga matematikanët më të mëdhenj të shekullit të 20-të, Pal Erdős, dhe është fitues i shumë çmimeve prestigjioze. Bibliografia shkencore e Graham përmban më shumë se 320 punime shkencore.
Në mesin e viteve 70, shkencëtari ishte i interesuar për problemin që lidhej me teorinëRamsey. Në vërtetimin e tij, u përcaktua kufiri i sipërm i zgjidhjes, i cili është një numër shumë i madh, i quajtur më pas pas Ronald Graham.
Problemi i hiperkubit
Për të kuptuar thelbin e numrit Graham, së pari duhet të kuptoni se si është marrë.
Shkencëtari dhe kolegu i tij Bruce Rothschild po zgjidhnin problemin e mëposhtëm:
Ekziston një hiperkub n-dimensionale. Të gjitha çiftet e kulmeve të tij janë të lidhura në atë mënyrë që të fitohet një grafik i plotë me 2kulme. Secila nga skajet e saj është me ngjyrë blu ose të kuqe. Kërkohej të gjendej numri minimal i kulmeve që duhet të kishte një hiperkub në mënyrë që çdo ngjyrosje e tillë të përmbajë një nëngraf të plotë monokromatik me 4 kulme të shtrira në të njëjtin plan.
Vendim
Graham dhe Rothschild vërtetuan se problemi ka një zgjidhje N' që plotëson kushtin 6 ⩽ N' ⩽N ku N është një numër i mirëpërcaktuar, shumë i madh.
Kufiri i poshtëm për N u rafinua më pas nga shkencëtarë të tjerë, të cilët vërtetuan se N duhet të jetë më i madh ose i barabartë me 13. Kështu, shprehja për numrin më të vogël të kulmeve të një hiperkubi që plotëson kushtet e paraqitura më sipër u bë 13 ⩽ N'⩽ N.
Shënimi i shigjetës së Knuth
Para përcaktimit të numrit Graham, duhet të njiheni me metodën e paraqitjes simbolike të tij, pasi as shënimi dhjetor dhe as binar nuk janë absolutisht të përshtatshëm për këtë.
Aktualisht, shënimi i shigjetës së Knuth përdoret për të përfaqësuar këtë sasi. Sipas saj:
ab=a "shigjeta lart" b.
Për funksionimin e fuqizimit të shumëfishtë, u prezantua hyrja:
a "shigjeta lart" "shigjeta lart" b=ab="një kullë e përbërë nga a në sasinë b copa."
Dhe për pentation, d.m.th. përcaktim simbolik i fuqisë së përsëritur të operatorit të mëparshëm, Knuth përdori tashmë 3 shigjeta.
Duke përdorur këtë shënim për numrin Graham, ne kemi sekuenca "shigjeta" të vendosura në njëra-tjetrën, në shumën prej 64 copë.
Shkalla
Numri i tyre i famshëm, i cili ngacmon imagjinatën dhe zgjeron kufijtë e ndërgjegjes njerëzore, duke e çuar atë përtej kufijve të Universit, Graham dhe kolegët e tij e morën atë si një kufi të sipërm për numrin N në vërtetimin e hiperkubit. problemi i paraqitur më sipër. Është jashtëzakonisht e vështirë për një person të zakonshëm të imagjinojë se sa e madhe është shkalla e tij.
Çështja e numrit të karaktereve, ose siç thuhet ndonjëherë gabimisht, zero në numrin e Grahamit, është me interes për pothuajse të gjithë ata që dëgjojnë për këtë vlerë për herë të parë.
Mjafton të themi se kemi të bëjmë me një sekuencë në rritje të shpejtë që përbëhet nga 64 anëtarë. Edhe termi i parë i tij është i pamundur të imagjinohet, pasi përbëhet nga n "kulla", të përbërë nga 3-to. Tashmë "kati i poshtëm" i tij prej 3 treshe është i barabartë me 7,625,597,484,987, pra i kalon 7 miliardë, që do të thotë për katin e 64-të (jo anëtar!). Kështu, aktualisht është e pamundur të thuhet saktësisht se cili është numri Graham, pasi nuk mjafton për ta llogaritur atë.fuqia e kombinuar e të gjithë kompjuterëve që ekzistojnë sot në Tokë.
Rekordi u thye?
Në procesin e vërtetimit të teoremës së Kruskalit, numri i Grahamit "u hodh nga piedestali". Shkencëtari propozoi problemin e mëposhtëm:
Ekziston një sekuencë e pafundme pemësh të fundme. Kruskal vërtetoi se ekziston gjithmonë një seksion i ndonjë grafiku, i cili është edhe pjesë e një grafi më të madh dhe kopje e saktë e tij. Kjo deklaratë nuk ngre asnjë dyshim, pasi është e qartë se gjithmonë do të ketë një kombinim saktësisht të përsëritur në pafundësi
Më vonë, Harvey Friedman e ngushtoi disi këtë problem duke marrë parasysh vetëm grafikë të tillë aciklikë (pemë) që për një të veçantë me koeficient i ka më së shumti (i + k) kulme. Ai vendosi të zbulojë se cili duhet të jetë numri i grafikëve aciklikë, në mënyrë që me këtë metodë të detyrës së tyre të jetë gjithmonë e mundur të gjendet një nënpemë që do të ngulitej në një pemë tjetër.
Si rezultat i hulumtimit për këtë çështje, u zbulua se N, në varësi të k, rritet me një shpejtësi të jashtëzakonshme. Në veçanti, nëse k=1, atëherë N=3. Megjithatë, në k=2, N tashmë arrin 11. Gjëja më interesante fillon kur k=3. Në këtë rast, N "zbret" me shpejtësi dhe arrin një vlerë që është shumë herë më i madh se numri i Grahamit. Për të imagjinuar sa i madh është, mjafton të shkruani numrin e llogaritur nga Ronald Graham në formën e G64 (3). Atëherë vlera Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), do të jetë e rendit të G(G(187196)). Me fjalë të tjera, fitohet një mega-vlerë, e cila është pafundësisht më e madhenjë numër i paimagjinueshëm i Grahamit. Në të njëjtën kohë, edhe ajo do të jetë më pak se pafundësia me një numër gjigant herë. Ka kuptim të flasim për këtë koncept më në detaje.
Pafundësi
Tani që kemi shpjeguar se çfarë është numri Graham në gishta, duhet të kuptojmë kuptimin që ka qenë dhe po investohet në këtë koncept filozofik. Në fund të fundit, "pafundësia" dhe "një numër pafundësisht i madh" mund të konsiderohen identike në një kontekst të caktuar.
Kontributin më të madh në studimin e kësaj çështjeje e dha Aristoteli. Mendimtari i madh i antikitetit e ndau pafundësinë në potencial dhe aktual. Me këtë të fundit, ai nënkuptonte realitetin e ekzistencës së gjërave të pafundme.
Sipas Aristotelit, burimet e ideve rreth këtij koncepti themelor janë:
- time;
- ndarja e vlerave;
- koncepti i kufirit dhe ekzistenca e diçkaje përtej tij;
- pashtershmëria e natyrës krijuese;
- të menduarit që nuk ka kufij.
Në interpretimin modern të pafundësisë, nuk mund të specifikoni një masë sasiore, kështu që kërkimi për numrin më të madh mund të vazhdojë përgjithmonë.
Përfundim
A mund të konsiderohen sinonime në njëfarë kuptimi metafora "Vështrim në pafundësi" dhe numri i Graham? Përkundrazi po dhe jo. Të dyja janë të pamundura të imagjinohen, edhe me imagjinatën më të fortë. Megjithatë, siç u përmend tashmë, nuk mund të konsiderohet "më së shumti, më". Një tjetër gjë është se për momentin, vlerat më të mëdha se numri Graham nuk kanë një të përcaktuarsensi fizik.
Gjithashtu, nuk ka vetitë e një numri të pafund, si p.sh.:
- ∞ + 1=∞;
- ka një numër të pafund të numrave tek dhe çift;
- ∞ - 1=∞;
- numri i numrave tek është saktësisht gjysma e të gjithë numrave;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Për ta përmbledhur: numri i Graham është numri më i madh në praktikën e provës matematikore, sipas Librit të Rekordeve Guinness. Megjithatë, ka numra që janë shumë herë më të mëdhenj se kjo vlerë.
Me shumë mundësi, në të ardhmen do të ketë nevojë për "gjigantë" edhe më të mëdhenj, veçanërisht nëse një person shkon përtej sistemit tonë diellor ose shpik diçka të paimagjinueshme në nivelin aktual të ndërgjegjes sonë.
