Derivati i kosinusit gjendet në analogji me derivatin e sinusit, baza e vërtetimit është përcaktimi i kufirit të funksionit. Ju mund të përdorni një metodë tjetër, duke përdorur formulat e reduktimit trigonometrik për kosinusin dhe sinusin e këndeve. Shprehni një funksion në terma të një tjetri - kosinus në terma të sinusit dhe dalloni sinusin me një argument kompleks.
Shqyrtoni shembullin e parë të nxjerrjes së formulës (Cos(x))'
Jepni një rritje të papërfillshme Δx argumentit x të funksionit y=Cos(x). Me një vlerë të re të argumentit х+Δх, marrim një vlerë të re të funksionit Cos(х+Δх). Atëherë rritja e funksionit Δy do të jetë e barabartë me Cos(х+Δx)-Cos(x).
Raporti i rritjes së funksionit ndaj Δх do të jetë: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Le të bëjmë transformime identike në numëruesin e thyesës që rezulton. Kujtoni formulën për ndryshimin në kosinuset e këndeve, rezultati do të jetë produkti -2Sin (Δx / 2) herë Sin (x + Δx / 2). Ne e gjejmë kufirin e lim koeficientit të këtij produkti në Δx pasi Δx priret në zero. Dihet se e para(quhet i mrekullueshëm) kufiri lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) është i barabartë me 1, dhe kufiri -Sin(x+Δx/2) është i barabartë me -Sin(x) si Δx tenton në zero. Shkruani rezultatin: derivati i (Cos(x))' është i barabartë me - Sin(x).
Disa njerëz preferojnë mënyrën e dytë për të nxjerrë të njëjtën formulë
Njihet nga kursi i trigonometrisë: Cos(x) është i barabartë me Sin(0, 5 ∏-x), në mënyrë të ngjashme Sin(x) është i barabartë me Cos(0, 5 ∏-x). Pastaj dallojmë një funksion kompleks - sinusin e këndit shtesë (në vend të kosinusit x).
Marrim produktin Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', sepse derivati i sinusit x është i barabartë me kosinusin X. I drejtohemi formulës së dytë Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) të zëvendësimit të kosinusit me sinus, duke marrë parasysh se (0.5 ∏-x)'=-1. Tani marrim -Sin(x). Pra, gjendet derivati i kosinusit, y'=-Sin(x) për funksionin y=Cos(x).
Derivati katror i kosinusit
Një shembull i përdorur zakonisht ku përdoret derivati kosinus. Funksioni y=Cos2(x) është i vështirë. Fillimisht gjejmë diferencialin e funksionit të fuqisë me eksponentin 2, do të jetë 2·Cos(x), më pas e shumëzojmë me derivatin (Cos(x))', i cili është i barabartë me -Sin(x). Marrim y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kur zbatojmë formulën Sin(2x), sinusin e një këndi të dyfishtë, marrim thjeshtimin përfundimtarpërgjigja y'=-Sin(2x)
Funksionet hiperbolike
Ato përdoren në studimin e shumë disiplinave teknike: në matematikë, për shembull, lehtësojnë llogaritjen e integraleve, zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Ato shprehen me funksione trigonometrike me imagjinareargument, pra kosinusi hiperbolik ch(x)=Cos(i x), ku i është njësia imagjinare, sinusi hiperbolik sh(x)=Sin(i x).
Derivati i kosinusit hiperbolik llogaritet mjaft thjesht.
Merrni parasysh funksionin y=(ex+e-x) /2, ky dhe është kosinusi hiperbolik ch(x). Ne përdorim rregullin për gjetjen e derivatit të shumës së dy shprehjeve, rregullin për nxjerrjen e faktorit konstant (Const) nga shenja e derivatit. Termi i dytë 0,5 e-x është një funksion kompleks (derivati i tij është -0,5 e-x), 0,5 eх - mandati i parë. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' mund të shkruhet në një mënyrë tjetër: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, sepse derivati (e - x)' është e barabartë me -1 herë e-x. Rezultati është një ndryshim, dhe ky është sinusi hiperbolik sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).
Le të shohim një shembull se si të njehsoni derivatin e funksionit y=ch(x
3+1).Sipas rregullit të diferencimit hiperbolik të kosinusit me argument kompleks y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', ku (x3+1)'=3 x 2+0. Përgjigje: derivati i këtij funksioni është 3 x
2sh(x3+1).
Derivatet tabelare të funksioneve të konsideruara y=ch(x) dhe y=Cos(x)
Gjatë zgjidhjes së shembujve, nuk ka nevojë t'i diferenconi çdo herë sipas skemës së propozuar, mjafton të përdorni përfundimin.
Shembull. Diferenconi funksionin y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Lehtë për t'u llogaritur (përdor të dhëna tabelare), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
