Për ta bërë më të lehtë për lexuesin të imagjinojë se çfarë është një hiperboloid - një objekt tredimensional - së pari duhet të merrni parasysh hiperbolën e lakuar me të njëjtin emër, e cila përshtatet në një hapësirë dydimensionale.
Një hiperbolë ka dy boshte: atë real, i cili në këtë figurë përkon me boshtin e abshisës, dhe atë imagjinar, me boshtin y. Nëse mendërisht filloni të ktheni ekuacionin e një hiperbole rreth boshtit të saj imagjinar, atëherë sipërfaqja "e parë" nga kurba do të jetë një hiperboloid me një fletë.
Nëse, megjithatë, fillojmë të rrotullojmë hiperbolën rreth boshtit të saj real në këtë mënyrë, atëherë secila nga dy "gjysmat" e kurbës do të formojë sipërfaqen e saj të veçantë dhe së bashku do të quhet një dy- hiperboloid me fletë.
Të përftuara nga rrotullimi i lakores së rrafshët përkatëse, ato quhen përkatësisht hiperboloidë të rrotullimit. Ata kanë parametra në të gjitha drejtimet pingul me boshtin e rrotullimit,që i përkasin kurbës së rrotulluar. Në përgjithësi, ky nuk është rasti.
Ekuacioni hiperboloid
Në përgjithësi, një sipërfaqe mund të përcaktohet nga ekuacionet e mëposhtme në koordinatat karteziane (x, y, z):
Në rastin e një hiperboloidi të rrotullimit, simetria e tij rreth boshtit rreth të cilit ai rrotullohet shprehet në barazinë e koeficientëve a=b.
Karakteristikat e hiperboloidit
Ai ka një mashtrim. Ne e dimë se kthesat në një plan kanë vatra - në rastin e një hiperbole, për shembull, moduli i diferencës në distancat nga një pikë arbitrare në një hiperbolë në një fokus dhe e dyta është konstante sipas përkufizimit, në fakt, e fokusit pikë.
Kur lëvizni në hapësirën tre-dimensionale, përkufizimi praktikisht nuk ndryshon: fokuset janë përsëri dy pika, dhe ndryshimi në distancat prej tyre në një pikë arbitrare që i përket sipërfaqes hiperboloidale është konstante. Siç mund ta shihni, vetëm koordinata e tretë u shfaq nga ndryshimet për të gjitha pikat e mundshme, sepse tani ato janë vendosur në hapësirë. Në përgjithësi, përcaktimi i një fokusi është i barabartë me identifikimin e llojit të kurbës ose sipërfaqes: duke folur për mënyrën se si janë vendosur pikat e sipërfaqes në lidhje me vatrat, ne në fakt i përgjigjemi pyetjes se çfarë është një hiperboloid dhe si duket.
Vlen të kujtohet se një hiperbolë ka asimptota - vija të drejta, drejt të cilave degët e saj priren në pafundësi. Nëse, kur ndërtohet një hiperboloid i revolucionit, njeriu rrotullon mendërisht asimptotat së bashku me hiperbolën, atëherë përveç hiperboloidit, do të merret edhe një kon i quajtur asimptotik. Koni asimptotik ështëpër hiperboloidet me një fletë dhe me dy fletë.
Një karakteristikë tjetër e rëndësishme që ka vetëm një hiperboloid me një fletë janë gjeneratorët drejtvizorë. Siç nënkupton edhe emri, këto janë linja, dhe ato shtrihen plotësisht në një sipërfaqe të caktuar. Dy gjeneratorë drejtvizor kalojnë nëpër secilën pikë të një hiperboloidi me një fletë. Ato i përkasin përkatësisht dy familjeve të linjave, të cilat përshkruhen nga sistemet e mëposhtme të ekuacioneve:
Kështu, një hiperboloid me një fletë mund të përbëhet tërësisht nga një numër i pafund i drejtëzave të dy familjeve, dhe secila drejtëz e njërës prej tyre do të kryqëzohet me të gjitha vijat e tjetrës. Sipërfaqet që korrespondojnë me veti të tilla quhen të rregulluara; ato mund të ndërtohen duke përdorur rrotullimin e një vije të drejtë. Përkufizimi përmes renditjes së ndërsjellë të vijave (gjeneratorëve drejtvizorë) në hapësirë mund të shërbejë gjithashtu si një përcaktim i qartë i asaj që është një hiperboloid.
Vetitë interesante të një hiperboloidi
Kurbat e rendit të dytë dhe sipërfaqet e tyre përkatëse të rrotullimit kanë secila veti optike interesante të lidhura me vatrat. Në rastin e një hiperboloidi, kjo formulohet si më poshtë: nëse një rreze lëshohet nga një fokus, atëherë, duke u reflektuar nga "muri" më i afërt, ajo do të marrë një drejtim të tillë sikur të vinte nga fokusi i dytë.
Hiperboloidet në jetë
Me shumë mundësi, shumica e lexuesve filluan njohjen e tyre me gjeometrinë analitike dhe sipërfaqet e rendit të dytë nga një roman fantashkencë nga Alexei Tolstoy"Inxhinieri hiperboloid Garin". Sidoqoftë, vetë shkrimtari ose nuk e dinte mirë se çfarë ishte një hiperboloid, ose sakrifikoi saktësinë për hir të artit: shpikja e përshkruar, për sa i përket karakteristikave fizike, është më tepër një paraboloid që mbledh të gjitha rrezet në një fokus (ndërsa vetitë optike të hiperboloidit shoqërohen me shpërndarjen e rrezeve).
Të ashtuquajturat struktura hiperboloide janë shumë të njohura në arkitekturë: këto janë struktura që janë në formë një hiperboloid me një fletë ose një paraboloid hiperbolik. Fakti është se vetëm këto sipërfaqe të rrotullimit të rendit të dytë kanë gjeneratorë drejtvizor: kështu, një strukturë e lakuar mund të ndërtohet vetëm nga trarët e drejtë. Përparësitë e strukturave të tilla janë në aftësinë për të përballuar ngarkesa të rënda, për shembull, nga era: forma hiperboloidale përdoret në ndërtimin e strukturave të larta, për shembull, kullat televizive.
