Çfarë janë numrat irracionalë? Pse quhen kështu? Ku përdoren dhe çfarë janë ato? Pak mund t'u përgjigjen këtyre pyetjeve pa hezitim. Por në fakt, përgjigjet ndaj tyre janë mjaft të thjeshta, megjithëse jo të gjithë kanë nevojë për to dhe në situata shumë të rralla
Thelbi dhe emërtimi
Numrat iracional janë thyesa dhjetore të pafundme jo periodike. Nevoja për të prezantuar këtë koncept është për faktin se konceptet e mëparshme ekzistuese të numrave realë ose realë, të plotë, natyrorë dhe racionalë nuk ishin më të mjaftueshëm për të zgjidhur problemet e reja në zhvillim. Për shembull, për të llogaritur sa është katrori i 2, duhet të përdorni dhjetore të pafundme jo të përsëritura. Përveç kësaj, shumë nga ekuacionet më të thjeshta gjithashtu nuk kanë zgjidhje pa prezantuar konceptin e një numri irracional.
Ky grup shënohet si I. Dhe, siç është tashmë e qartë, këto vlera nuk mund të përfaqësohen si një thyesë e thjeshtë, në numëruesin e së cilës do të ketë një numër të plotë, dhe në emërues - një numër natyror..
Për herë të parë ndonjëherëpërndryshe, matematikanët indianë e hasën këtë fenomen në shekullin e VII para Krishtit, kur u zbulua se rrënjët katrore të disa sasive nuk mund të tregoheshin në mënyrë eksplicite. Dhe prova e parë e ekzistencës së numrave të tillë i atribuohet Pitagorës Hippasus, i cili e bëri këtë në procesin e studimit të një trekëndëshi kënddrejtë isosceles. Një kontribut serioz në studimin e këtij grupi dhanë disa shkencëtarë të tjerë që jetuan para epokës sonë. Prezantimi i konceptit të numrave irracionalë solli një rishikim të sistemit ekzistues matematikor, kjo është arsyeja pse ata janë kaq të rëndësishëm.
Origjina e emrit
Nëse ratio në latinisht do të thotë "fraksion", "raport", atëherë parashtesa "ir"
i jep kësaj fjale kuptimin e kundërt. Kështu, emri i grupit të këtyre numrave tregon se ata nuk mund të lidhen me një numër të plotë ose thyesor, ata kanë një vend të veçantë. Kjo rrjedh nga thelbi i tyre.
Vend në klasifikimin e përgjithshëm
Numrat iracional, së bashku me numrat racional, i përkasin grupit të numrave realë ose realë, të cilët nga ana e tyre i përkasin numrave kompleksë. Nuk ka nënbashkësi, megjithatë, ka varietete algjebrike dhe transcendentale, të cilat do të diskutohen më poshtë.
Properties
Meqenëse numrat irracionalë janë pjesë e grupit të numrave realë, të gjitha vetitë e tyre që studiohen në aritmetikë (ato quhen edhe ligje bazë algjebrike) vlejnë për ta.
a + b=b + a (komutativiteti);
(a + b) + c=a + (b + c)(shoqërim);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (ekzistenca e numrit të kundërt);
ab=ba (ligji i zhvendosjes);
(ab)c=a(bc) (shpërndarja);
a(b+c)=ab + ac (ligji shpërndarës);
a x 1=a
a x 1/a=1 (ekzistenca e një numri invers);
Krahasimi kryhet gjithashtu në përputhje me ligjet dhe parimet e përgjithshme:
Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (transititeti i raportit) dhe. etj.
Sigurisht, të gjithë numrat irracionalë mund të konvertohen duke përdorur aritmetikën bazë. Nuk ka rregulla të veçanta për këtë.
Përveç kësaj, aksioma e Arkimedit zbatohet për numrat irracionalë. Ai thotë se për çdo dy sasi a dhe b, pohimi është i vërtetë se duke marrë a si term mjaft herë, mund të tejkaloni b.
Përdor
Pavarësisht se në jetën e zakonshme nuk duhet të përballesh shpesh me to, numrat irracionalë nuk mund të numërohen. Ka shumë prej tyre, por ato janë pothuajse të padukshme. Ne jemi të rrethuar nga numra irracionalë kudo. Shembuj të njohur për të gjithë janë numri pi, i barabartë me 3, 1415926 …, ose e, i cili në thelb është baza e logaritmit natyror, 2, 718281828 … Në algjebër, trigonometri dhe gjeometri, ato duhet të përdoren vazhdimisht.. Nga rruga, vlera e famshme e "seksionit të artë", domethënë raporti i pjesës më të madhe me atë më të vogël, dhe anasjelltas, është gjithashtu
i përket këtij grupi. "Argjendi" më pak i njohur - gjithashtu.
Ato janë të vendosura shumë dendur në vijën numerike, kështu që midis çdo dy vlerash të lidhura me grupin e vlerave racionale, sigurisht që do të ndodhë një iracionale.
Ka ende shumë probleme të pazgjidhura lidhur me këtë grup. Ekzistojnë kritere të tilla si masa e irracionalitetit dhe normaliteti i një numri. Matematikanët vazhdojnë të shqyrtojnë shembujt më domethënës për përkatësinë e tyre në një grup ose në një tjetër. Për shembull, besohet se e është një numër normal, domethënë, probabiliteti që shifra të ndryshme të shfaqen në regjistrimin e tij është i njëjtë. Sa i përket pi, kërkimet janë ende duke u zhvilluar në lidhje me të. Një masë e irracionalitetit quhet gjithashtu një vlerë që tregon se sa mirë mund të përafrohet ky apo ai numër me numra racional.
Algjebrike dhe transcendentale
Siç është përmendur tashmë, numrat irracionalë ndahen me kusht në algjebrikë dhe transcendentalë. Me kusht, duke qenë se, në mënyrë rigoroze, ky klasifikim përdoret për të ndarë grupin C.
Ky emërtim fsheh numra kompleks, të cilët përfshijnë numra realë ose realë.
Pra, një vlerë algjebrike është një vlerë që është një rrënjë e një polinomi që nuk është identikisht e barabartë me zero. Për shembull, rrënja katrore e 2 do të ishte në këtë kategori sepse është zgjidhja e ekuacionit x2 - 2=0.
Të gjithë numrat e tjerë realë që nuk e plotësojnë këtë kusht quhen transcendental. Për këtë shumëllojshmëripërfshini shembujt më të famshëm dhe të përmendur tashmë - numrin pi dhe bazën e logaritmit natyror e.
Interesante, as njëra dhe as e dyta nuk u konkluduan fillimisht nga matematikanët në këtë cilësi, irracionaliteti dhe transcendenca e tyre u vërtetuan shumë vite pas zbulimit të tyre. Për pi, prova u dha në 1882 dhe u thjeshtua në 1894, gjë që i dha fund polemikave 2500-vjeçare rreth problemit të katrorit të rrethit. Ende nuk është kuptuar plotësisht, kështu që matematikanët modernë kanë diçka për të punuar. Nga rruga, llogaritja e parë mjaft e saktë e kësaj vlere u krye nga Arkimedi. Para tij, të gjitha llogaritjet ishin shumë të përafërta.
Për e (numrat Euler ose Napier), prova e transcendencës së tij u gjet në 1873. Përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike.
Shembuj të tjerë përfshijnë vlerat sinus, kosinus dhe tangjente për çdo vlerë algjebrike jozero.
