Gjeometria është një degë e matematikës që studion strukturat në hapësirë dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre. Nga ana tjetër, ai gjithashtu përbëhet nga seksione, dhe një prej tyre është stereometria. Ai parashikon studimin e vetive të figurave vëllimore të vendosura në hapësirë: një kub, një piramidë, një top, një kon, një cilindër etj.
Një kon është një trup në hapësirën Euklidiane që kufizon një sipërfaqe konike dhe një rrafsh mbi të cilin shtrihen skajet e gjeneratorëve të tij. Formimi i tij ndodh në procesin e rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë rreth ndonjë prej këmbëve të tij, prandaj i përket trupave të revolucionit.
Përbërësit e konit
Dallohen llojet e mëposhtme të konëve: të zhdrejtë (ose të zhdrejtë) dhe të drejtë. I pjerrët është ai boshti i të cilit kryqëzohet me qendrën e bazës së tij jo në një kënd të drejtë. Për këtë arsye, lartësia në një kon të tillë nuk përkon me boshtin, pasi është një segment që ulet nga maja e trupit në rrafshin e tij.baza në 90°.
Ai kon, boshti i të cilit është pingul me bazën e tij, quhet kon i drejtë. Boshti dhe lartësia në një trup të tillë gjeometrik përputhen për faktin se kulmi në të ndodhet mbi qendrën e diametrit të bazës.
Koni përbëhet nga elementët e mëposhtëm:
- Rrethi që është baza e tij.
- Anë.
- Një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e bazës, e quajtur maja e konit.
- Segmente që lidhin pikat e rrethit të bazës së trupit gjeometrik dhe majës së tij.
Të gjithë këta segmente janë gjeneratorë të konit. Ata janë të prirur nga baza e trupit gjeometrik, dhe në rastin e një koni të drejtë, projeksionet e tyre janë të barabarta, pasi kulmi është i barabartë nga pikat e rrethit bazë. Kështu, mund të konkludojmë se në një kon të rregullt (të drejtë), gjeneratorët janë të barabartë, domethënë kanë të njëjtën gjatësi dhe formojnë të njëjtat kënde me boshtin (ose lartësinë) dhe bazën.
Meqenëse në një trup të zhdrejtë (ose të pjerrët) rrotullimi kulmi është i zhvendosur në raport me qendrën e planit bazë, gjeneratorët në një trup të tillë kanë gjatësi dhe projeksione të ndryshme, pasi secili prej tyre është në një distancë të ndryshme nga çdo dy pika të rrethit bazë. Përveç kësaj, këndet ndërmjet tyre dhe lartësia e konit do të jenë gjithashtu të ndryshme.
Gjatësia e gjeneratorëve në një kon të djathtë
Siç është shkruar më parë, lartësia në një trup gjeometrik të drejtë rrotullimi është pingul me rrafshin e bazës. Kështu, gjenerata, lartësia dhe rrezja e bazës krijojnë një trekëndësh kënddrejtë në kon.
P lartësia:
l2 =r2+ h2 ose l=√r 2 + h2
ku l është një gjenerator;
r – rrezja;
h – lartësia.
Gjenerativ në një kon të zhdrejtë
Bazuar në faktin se në një kon të zhdrejtë ose të zhdrejtë gjeneratorët nuk janë të së njëjtës gjatësi, nuk do të jetë e mundur të llogariten ato pa ndërtime dhe llogaritje shtesë.
Së pari ju duhet të dini lartësinë, gjatësinë e boshtit dhe rrezen e bazës.
Duke pasur këto të dhëna, ju mund të llogarisni pjesën e rrezes që shtrihet midis boshtit dhe lartësisë, duke përdorur formulën nga teorema e Pitagorës:
r1=√k2 - h2
ku r1 është pjesa e rrezes ndërmjet boshtit dhe lartësisë;
k – gjatësia e boshtit;
h – lartësia.
Si rezultat i shtimit të rrezes (r) dhe pjesës së saj që shtrihet midis boshtit dhe lartësisë (r1), mund të zbuloni anën e plotë të së djathtës trekëndëshi i formuar nga gjenerata e konit, pjesa e lartësisë dhe diametrit të tij:
R=r + r1
ku R është këmba e trekëndëshit e formuar nga lartësia, gjenerata dhe një pjesë e diametrit të bazës;
r – rrezja bazë;
r1 – pjesë e rrezes ndërmjet boshtit dhe lartësisë.
Duke përdorur të njëjtën formulë nga teorema e Pitagorës, mund të gjeni gjatësinë e gjeneratorit të konit:
l=√h2+ R2
ose, pa llogaritur R veçmas, kombinoni dy formulat në një:
l=√h2 + (r + r1)2.
Pavarësisht nëse është një kon i drejtë apo i zhdrejtë dhe çfarë lloj të dhënash hyrëse, të gjitha metodat për gjetjen e gjatësisë së gjeneratorit gjithmonë zbresin në një rezultat - përdorimin e teoremës së Pitagorës.
Seksion kone
Seksioni boshtor i një koni është një plan që kalon përgjatë boshtit ose lartësisë së tij. Në një kon të drejtë, një seksion i tillë është një trekëndësh dykëndësh, në të cilin lartësia e trekëndëshit është lartësia e trupit, anët e tij janë gjeneratorët dhe baza është diametri i bazës. Në një trup gjeometrik barabrinjës, seksioni boshtor është një trekëndësh barabrinjës, pasi në këtë kon diametri i bazës dhe gjeneratorëve janë të barabartë.
Rafshi i seksionit boshtor në një kon të drejtë është rrafshi i simetrisë së tij. Arsyeja për këtë është se maja e tij është mbi qendrën e bazës së tij, domethënë rrafshi i seksionit boshtor e ndan konin në dy pjesë identike.
Meqenëse lartësia dhe boshti nuk përputhen në një trup të pjerrët, rrafshi i seksionit boshtor mund të mos përfshijë lartësinë. Nëse është e mundur të ndërtohet një grup seksionesh boshtore në një kon të tillë, pasi për këtë duhet të respektohet vetëm një kusht - ai duhet të kalojë vetëm përmes boshtit, atëherë vetëm një seksion boshtor i aeroplanit, i cili do t'i përkasë lartësisë së ky kon, mund të vizatohet, sepse numri i kushteve rritet, dhe, siç dihet, dy rreshta (së bashku) mund t'i përkasinvetëm një avion.
Zona e seksionit
Seksioni boshtor i konit të përmendur më parë është një trekëndësh. Bazuar në këtë, zona e saj mund të llogaritet duke përdorur formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi:
S=1/2dh ose S=1/22rh
ku S është zona e prerjes tërthore;
d – diametri i bazës;
r – rrezja;
h – lartësia.
Në një kon të zhdrejtë ose të zhdrejtë, seksioni përgjatë boshtit është gjithashtu një trekëndësh, kështu që sipërfaqja e prerjes tërthore në të llogaritet në mënyrë të ngjashme.
Vëllimi
Meqenëse një kon është një figurë tre-dimensionale në hapësirën tre-dimensionale, ne mund të llogarisim vëllimin e tij. Vëllimi i një koni është një numër që karakterizon këtë trup në një njësi vëllimi, domethënë në m3. Llogaritja nuk varet nëse është i drejtë apo i zhdrejtë (i zhdrejtë), pasi formulat për këto dy lloje trupash nuk ndryshojnë.
Siç u tha më herët, formimi i një koni të drejtë ndodh për shkak të rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë përgjatë njërës prej këmbëve të tij. Një kon i prirur ose i zhdrejtë formohet ndryshe, pasi lartësia e tij zhvendoset nga qendra e planit bazë të trupit. Megjithatë, ndryshime të tilla në strukturë nuk ndikojnë në metodën e llogaritjes së vëllimit të tij.
Llogaritja e volumit
Formula për vëllimin e çdo koni duket si kjo:
V=1/3πhr2
ku V është vëllimi i konit;
h – lartësia;
r – rrezja;
π - konstante e barabartë me 3, 14.
Për të llogaritur vëllimin e një koni, duhet të keni të dhëna për lartësinë dhe rrezen e bazës së trupit.
Për të llogaritur lartësinë e një trupi, duhet të dini rrezen e bazës dhe gjatësinë e gjeneratorit të tij. Meqenëse rrezja, lartësia dhe gjenerata kombinohen në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia mund të llogaritet duke përdorur formulën nga teorema e Pitagorës (a2+ b2=c 2 ose në rastin tonë h2+ r2=l2 , ku l - gjenerata). Në këtë rast, lartësia do të llogaritet duke nxjerrë rrënjën katrore të diferencës midis katrorëve të hipotenuzës dhe këmbës tjetër:
a=√c2- b2
Dmth, lartësia e konit do të jetë e barabartë me vlerën e fituar pas nxjerrjes së rrënjës katrore nga diferenca midis katrorit të gjatësisë së gjeneratorit dhe katrorit të rrezes së bazës:
h=√l2 - r2
Duke llogaritur lartësinë duke përdorur këtë metodë dhe duke ditur rrezen e bazës së saj, mund të llogarisni vëllimin e konit. Në këtë rast, gjeneratori luan një rol të rëndësishëm, pasi shërben si një element ndihmës në llogaritjet.
Ngjashëm, nëse e dini lartësinë e trupit dhe gjatësinë e gjeneratorit të tij, mund të gjeni rrezen e bazës së tij duke nxjerrë rrënjën katrore të diferencës midis katrorit të gjeneratorit dhe katrorit të lartësisë:
r=√l2 - h2
Më pas, duke përdorur të njëjtën formulë si më sipër, llogarisni vëllimin e konit.
Vëllimi i konit i pjerrët
Meqenëse formula për vëllimin e një koni është e njëjtë për të gjitha llojet e një trupi rrotullues, ndryshimi në llogaritjen e tij është kërkimi i lartësisë.
Për të gjetur lartësinë e një koni të pjerrët, të dhënat hyrëse duhet të përfshijnë gjatësinë e gjeneratorit, rrezen e bazës dhe distancën midis qendrësbaza dhe kryqëzimi i lartësisë së trupit me rrafshin e bazës së tij. Duke e ditur këtë, mund të llogaritni lehtësisht atë pjesë të diametrit të bazës, e cila do të jetë baza e një trekëndëshi kënddrejtë (i formuar nga lartësia, gjenerata dhe rrafshi i bazës). Pastaj, përsëri duke përdorur teoremën e Pitagorës, llogarisni lartësinë e konit dhe më pas vëllimin e tij.
